đi qua (điểm M).
- Chứng minh bốn điểm E, H, M, F cựng nằm trờn một đường trũn.
Lời giải:
Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm BC, AC, AB. Cú tam giỏc AEB đồng dạng tam giỏc AFC. Vỡ cỏc tứ giỏc AHBE, AHCF nội tiếp
AHE ABE ACF AHF.
Cú: EP=MN=1.AB
2 1
PM FN .AC
2 ;
Mặt khỏc EPM EPB BPM 2 BAC 2 MNC MNF
Do đú EPM = MNF, suy ra EMP MFN
Suy ra EMF EMP PMN NMF MFN MNC NMF
= 1800 FNC 2.NCF 2.ACF nhưng EHF 2.ACF EHF EMF. Vỡ H, M cựng nằm trờn nửa mặt phẳng bờ EF E, H, M, F cựng nằm trờn một đường trũn. Vậy đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HEF luụn đi qua một điểm cố định M (khỏc H) là trung điểm BC (ĐPCM).
Bài toỏn 2.17:
Cho đường trũn (O) và dõy cung AB. Lấy điểm E trờn dõy cung AB (E khỏc A và B). Qua E vẽ dõy cung CD của đường trũn (O). Trờn hai tia DA, DB lấy hai điểm P, Q đối xứng qua E. Chứng minh rằng đường trũn
E I I M O Q D P C B A
(I) tiếp xỳc với PQ tại E và đi qua C luụn đi qua một điểm cố định khi E di động trờn dõy cung AB.
í tưởng giải quyết bài toỏn
- Dự đoỏn điểm cố định mà cỏc đường trũn (I) luụn đi qua (điểm M). - Chứng minh cỏc đường trũn luụn đi qua điểm M.
Lời giải:
Gọi M là giao điểm của AB và đường trũn (I), EP là tiếp tuyến của (I), nờn CMA PEC QED (1).
Mặt khỏc BAC BDC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tam giỏc CMA đồng dạng với tam giỏc QED.
AM DE
CM QE (3).
Tương tự ta cúDEP BMC; ADC ABC, nờn tam giỏc BMC đồng dạng với tam giỏc DEP. Suy ra: BM DE DE