Trong mục này, ta xét trường hợp z là số hữu tỷ u
v, trong đóu và v là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với u > v. Với Cn = pn
qn, như đã lưu ý trong Phần 3.2,pn và qn nói chung không là số nguyên. Khi z là số hữu tỷ, chúng ta có thể lập tỷ lệ pn và qn để lấy một tử số và mẫu số nguyên cho Cn, nhưng những việc lặp lại phức tạp hơn. Thay cho Định lý 3.2 chúng ta có:
Định lý 3.19. Một dãy các số nguyên cho trước {an} với ak ≥ 1 khi k ≥ 1 xác định các chuỗi {Pn} và {Qn} một cách quy nạp như sau:
P−1= 1, P0=a0, Pn = anPn−1+uPn−2, nếu n chẵn vanPn−1+uPn−2, nếu n lẻ, (3.14) Q−1= 1, Q0= 1, Qn = anQn−1+uQn−2, nếu n chẵn vanQn−1+uQn−2, nếu n lẻ. (3.15) Nếu Cn = Pn Qn thì với mọi n≥0, Cn = [a0, a1, . . . , a]z.
Các kết quả có liên quan khác từ Phần 3.1 dịch ra như sau.
Định lý 3.20. Với {an},{Pn},{Qn} xác định như trong Định lý 3.19, chúng ta có PnQn−1−Pn−1Qn =s(−1)n−1un, (3.16) PnQn−2−Pn−2Qn = (−1)nun−1, nếu n chẵn v(−1)nun−1, nếu n lẻ, (3.17) x= Pn−1xn+uPn−2 Qn−1xn+uQn−2 , nếu n chẵn vPn−1xn+uPn−2 vQn−1xn+uQn−2, nếu n lẻ, (3.18) v |Q2n−1 với mọi n, (3.19) gcd(Pn, Qn)|un với mọi n. (3.20)
Bằng quy nạp ta có mối quan hệ sau đây giữa Pn, Qn và pn, qn.
Bổ đề 3.21. Với mọi n ≥0,
Với các khai triển tuần hoàn, chúng ta có thể thay thế pn và qn bằng Pn và Qn.
Định lý 3.22. Giả sử z = u
v là một số hữu tỷ dương ở dạng tối giản. Nếu số thực dương x có một khai triển tuần hoàn hoàn toàn
x= [a0, . . . , an−1]z thì x phải thỏa mãn phương trình bậc hai
Qn−1x2+ (uQn−2−Pn−1)x−uPn−2= 0 nếu n là chẵn và
vQn−1x2+ (uQn−2−vPn−1)x−uPn−2= 0
khi n là số lẻ. Nếu x là số hữu tỷ thì (uQn−2+Pn−1)2−4un phải là một số chính phương khi n chẵn, (uQn−2+vPn−1)2 + 4vun phải là một số chính phương khi n
lẻ.
Định lý 3.23. Cho z = uv là một số hữu tỷ dương ở dạng tối giản. Nếu x là một số hữu tỷ với khai triển cfz tuần hoàn có độ dài lẻ, thì v là một bình phương.
Chứng minh. Nếu x không tuần hoàn hoàn toàn, chúng ta có thể thay thế x với một thương số hoàn chỉnh xk, là hoàn toàn tuần hoàn, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng x có một khai triển tuần hoàn hoàn toàn. Như đã lưu ý trong công thức (3.19), tất cả Qn có chỉ số lẻ chia hết cho v. Vì n là số lẻ chúng ta có thể viết Qn−2 =kv với một số nguyên k. Theo định lý trước,
(uQn−2+vPn−1)2+ 4vun =v2(ku+Pn−1)2+ 4vun (3.21) là một số bình phương. Mỗi số nguyên dương có thể được viết như là một bình phương nhân một số không chính phương, do đó giả sử v =s2t cho các nguyên s và t, trong đó t là không là một bình phương. Sử dụng (3.21) chúng ta có s2(A2t2+ 4tun) = m2 cho các số nguyên A và m. Nếu p là một thừa số nguyên tố lẻ của t thì p2 sẽ là ước của m2/s2 buộc p2 cũng là ước của 4tun. Vì t là nguyên tố vớiu nên phải có p2 là ước của t, một mâu thuẫn. Như vậy, bắt buộc, t= 2.Trong trường hợp này, m là chẵn và chúng ta có thể chia cho 4 để có được A2+ 2un = (2ms)2. Do đó, 2un là chẵn và hiệu của hai bình phương, buộc nó chia hết cho 4. Do đó, u là chẵn, mâu thuẫn vì u là nguyên tố vớiv. Vì t không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào, nên v =s2, thỏa mãn yêu cầu.
Sử dụng Định lý 3.23 chúng ta có thể phân loạixvà z màx có một khai triển tuần hoàn hoàn toàn theo chu kỳ 1.
Định lý 3.24. Nếu x và z là các số hữu tỷ, thì x= [n]z khi và chỉ khi
x= nw+k
w , z =
k(nw+k)
w2 ,
trong đó w, k, n là các số nguyên dương và k là nguyên tố với w. khai triển này là tốt nhất khi 1≤k < w.
Chứng minh. Nếu x0=x= nw+k
w và z = k(nw+k)
w2 , thì phép tính đơn giản với a0 =n cho thấy x1 =x0, cho ta một khai triển tuần hoàn. Để khai triển là tốt nhất, ta cần bxc=n, đòi hỏi 1≤k < w.
Tiếp theo, giả sử rằng x= [n]z, trong đó x và z là các số hữu tỷ. Theo Định lý 3.23 chúng ta có thể viết z = u
w2 với u và w các số nguyên dương. Theo Định lý 3.22 chúng ta có x= n+ √ n2+ 4z 2 = nw+√ n2w2+ 4u 2w .
Với x là số hữu tỷ, th phải có √n2w2+ 4u là một số nguyên. Vì nó lớn hơn nw chúng ta có thể viết √n2w2+ 4u=nw+m với m là một số nguyên. Bình phương lên ta thấy m phải chẵn, vì vậy đặt m = 2k. Bình phương lên một lần nữa và rút gọn ta được u=k(nw+k), chox và z các dạng như đã yêu cầu.
3.4 Khai triển tuần hoàn và số vô tỉ bậc hai giảmBổ đề 3.25. Giả sử x =x0 = [a0, a1, . . . , aj−1, aj, . . . , aj+k−1]z và x1 = x−za