2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng
2.2.1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song và ba
ba điểm thẳng hàng
Ở đây ta chỉ xét ứng dụng của góc định hướng vào các bài toán : chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng vuông góc.
Để chứng minh hai đường thẳng song song hay ba điểm thẳng hàng, ta cần lưu ý các điều kiện tương đương sau ngoài các điều kiện đã nói đến trong Chương 1.
• Hai đường thẳng a, b cùng phương khi và chỉ khi (a, c) ≡ (b, c) (modπ) với đường thẳngctùy ý.
• Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi(AB, AC)≡ 0 (modπ).
• Ba điểmA, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi(AB, EF) ≡ (AC, EF) (modπ)
với đườngEF tùy ý.
Bài toán 2.5. Cho hai đường tròn(O) và(O0) cắt nhau tại A, B. Hai cát tuyến bất kỳd, d0lần lượt quaA, B cắt(O)và(O0)lần lượt tạiM, M0vàN,N0. Chứng minh rằngM N //M0N0.
Hình 2.5.
Lời giải. Ta có
(M N, M A) ≡ (BN, BA) (modπ) (2.8) vì AM N B nội tiếp. Lại có (M0A, M0N0) ≡ (BA, BN0) (modπ) vì AM0N0B nội tiếp. Hay là
(M A, M0N0) ≡(BA, BN) (modπ) (2.9) Cộng (2.8) và (2.9). Theo hệ thức Charles ta có(M N, M0N0) = 0nên suy raM N // M0N0.
Bài toán 2.6. Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giácABC khi và chỉ khi các hình chiếu củaM lần lượt xuống ba cạnh tam giácABC thẳng hàng.
Hình 2.6.
Lời giải. Ta có tứ giácHM ECnội tiếp khi và chỉ khi
(HE, HM) = (CE, CM) = (CB, CM) (modπ).
Tứ giácHM F Anội tiếp khi và chỉ khi
(HF, HM) = (AF, AM) = (AB, AM) (modπ).
Từ đó ta cóE, F, H thẳng hàng khi và chỉ khi
(HE, HM) = (HF, HM) (modπ),
tương đương với
(CB, CM) = (AB, AM) (modπ),
hay bốn điểmA, M, B, C đồng viên, tức làM nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Bài toán 2.7(Định lý Steine). Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O),M là một điểm thuộc(O). GọiA0, B0, C0 lần lượt là điểm đối xứng củaM quaBC, AC, AB. Chứng minh rằng A0, B0, C0 cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâmH của tam giácABC.
Hình 2.7.
Ta cóHc, Hb ∈(ABC). Ta đi tính góc định hướng
(HC0, HB0) = (HC0, HA) + (HA, HB0)
= −(HcM, HA)−(HbA, HbM) = 0 (modπ)(do tính đối xứng)
= (HA, HcM)−(HbA, HbM) = 0 (modπ)
doA, Hb, M, Cđồng viên. VậyA0, B0, C0 thẳng hàng.