Mục này giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu với tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn; trình bày định lý hội tụ của phương pháp, đồng thời lấy ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.
2.3.1 Mô tả phương pháp
Xuất phát từ điểm ban đầu bất kỳ w1 ∈ X, ta xác định các xấp xỉ tiếp theo bởi dãy lặp (xem [13]):
wn+1 = wn −βn[Fnwn+εnAwn], n ≥ 1, (2.14) ở đây Fn = I −Tn và dãy {βn} thỏa mãn một số điều kiện xác định.
2.3.2 Sự hội tụ
Định lý 2.3.1 (xem [13]) Cho X là không gian Banach lồi đều và q- trơn đều với hằng số q cố định, 1 < q ≤ 2, F và A thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) 0 < βn < β0, εn & 0, lim
n→∞ |εn−εn+1| ε2 nβn = lim n→∞ |tn−tn+1| βnε2 ntn = 0; (ii) ∞ P n=0 εnβn = ∞, lim supn→∞Cqβnq−1(2+εnL)p εnη < 1, với Cq là hằng số
q-trơn đều của X.
Khi đó, dãy lặp {wn} được xác định bởi (2.14) hội tụ mạnh về điểm
p∗-nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (2.1).
Chứng minh. Giả sử xn là nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (2.3) với mỗi εn > 0. Khi đó,
kwn+1−xn+1k ≤ kwn+1−xnk+kxn−xn+1k. (2.15) Theo Bổ đề 1.1.19 và (2.3), ta có kwn+1−xnkp = kwn−βn[Fnwn+εnAwn]−xnkq = kwn−xn−βn[(I −Tn)wn−(I −Tn)xn +εn(Awn −Axn)]kq ≤ kwn−xnkq −qβnh(I −Tn)wn−(I −Tn)xn +εn[Awn−Axn], jq(wn −xn)i +Cqβnqk(I −Tn)wn−(I −Tn)xn+εn[Awn−Axn]kq.
Sử dụng tính j-đơn điệu của ánh xạ I −Tn và tính η-j-đơn điệu mạnh của ánh xạ A, ta nhận được
h(I −Tn)wn−(I −Tn)xn, jq(wn−xn)i
=kwn−xnkq−2h(I −Tn)wn −(I −Tn)xn, j(wn−xn)i ≥ 0 và
Suy ra kwn+1 −xnkq ≤ kwn−xnkq[1−qβnεnη +Cqβnq(2 +εnL)q]. Do đó, kwn+1−xnk ≤ kwn−xnk[1−qβnεnη+Cqβnq(2 +εnL)q]1/q. Vì Cqβnq(2 +εnL)q ≤ βnεnη và (1 +t)s ≤ 1−st với 0 < s < 1, nên kwn+1−xnk ≤ kwn−xnk 1− q−1 q εnβnη . (2.16) Từ (2.15), (2.16) và (2.5), ta thu được kwn+1−xn+1k ≤ 1− q −1 q εnβnη kwn−xnk + M1 εnη |εn −εn+1|+ 2|tn+1−tn| tn hay kwn+1−xn+1k ≤ (1−ζn)kwn−xnk +ζnηn với ζn = q−1 q βnεnη, ζnηn = M1 η |εn −εn+1| εn + 2 |tn −tn+1| εntn
thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 2.2.1 (với θn = 0) do các điều kiện (i) và (ii). Áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta thu được lim
n→∞kwn −xnk = 0. Sử dụng kết quả của Định lý 2.2.2, ta có kxn −p∗k → 0 khi n → ∞. Điều này dẫn đến
0 ≤ kwn−p∗k ≤ kwn −xnk+kxn−p∗k → 0 khi n → ∞. Từ đó suy ra wn → p∗ ∈ F thỏa mãn (2.1) khi n → ∞. Định lý được chứng minh.
2.3.3 Ví dụ minh họa
Dùng phương pháp (2.14) để giải bài toán (2.13) đã xét ở mục trước. Chọn xấp xỉ ban đầu w1 = (7,8.5,9.3) ∈ R3 và các dãy tham số
thỏa mãn các điều kiện của các Định lý 2.3.1. Kết quả tính toán cho phương pháp được thể hiện trong bảng sau đây:
n Nghiệm xấp xỉ wn err = kwn−p∗k 1 (7,8.5,9.3) 13.789 5 (0.11197,0.10772,5.0429) 4.0459 10 (0.073431,0.07346,3.4988) 2.501 50 (0.033006,0.033006,1.3598) 0.36277 100 (0.023457,0.023457,1.0865) 0.092629 200 (0.016662,0.016662,1.0117) 0.02629 500 (0.010588,0.010588,1.0002) 0.014975 1000 (0.0075062,0.0075062,1) 0.010615 10000 (0.0023849,0.0023849,1) 0.0033727 Bảng 2.2. Kết quả tính toán cho phương pháp (2.14)
Kết luận
Đề tài luận văn đã trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Cụ thể:
(1) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach (không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn đều, không gian có chuẩn khả vi Gâteaux và khả vi Gâteaux đều); ánh xạ đơn điệu và j-đơn điệu, ánh xạ giả co chặt, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn; tổng quan về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳn thức biến phân j-đơn điệu.
(2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach và các tính chất liên tục đều mạnh-yếu∗ của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j cùng một số điều kiện đặt lên các dãy tham số của phương pháp.
(3) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, trình bày chứng minh sự hội tụ của phương pháp. (4) Tính toán ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp (2.3)
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] R.P. Agarwal, D. O’Regan D., D.R. Sahu (2009), Fixed Point The- ory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[4] Y. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin.
[5] Q.H. Ansari, C.S. Lalitha, M. Mehta (2013), Generalized Convexity, Nonsmooth Variational Inequalities, and Nonsmooth Optimization, Chapman and Hall/CRC.
[6] K. Aoyama, H. Iiduka, W. Takahashi (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2006, Art. no. 35390.
[7] L.-C. Ceng, Q.H. Ansari, J.-C. Yao (2008), "Mann-type steepest- descent and modified hybrid steepest descent methods for varia- tional inequalities in Banach spaces", Numer. Funct. Anal. Optim., 29(9-10), 987–1033.
[8] F. Browder (1966), "Existence and approximation of solution of nonlinear variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 56(4), 1080–1086.
[9] R. Chen, Y. Song (2000), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroup", J. Comput. Appl. Math., 200, 566–575.
[10] V.K. Ivanov (1962), "On linear ill-posed problems", Dolk. Acad. Nauk SSSR Math, 145.
[11] M.M. Lavret’ev (1967), Some improperly posed problems in mathe- matical physics, Springer, New York.
[12] I.P. Ryazantseva (2002), "Regularization proximal algorithm for nonlinear equations of monotone type", Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 42(9), 1295–1303.
[13] Ng.T.T. Thuy, P.T. Hieu, and J.J. Strodiot (2017), "Explicit iter- ative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (Online).
[14] A.N. Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 151, 501– 504 (Russian).
[15] S. Reich (1973), "Asymptotic behavior of contractions in Banach spaces", J. Math. Anal. Appl., 44(1), 57–70.
[16] G. Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les en- sembles convexes", C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4413–4416.
[17] W. Takahashi, Y. Ueda (1984), "On Reich’s strong convergence the- orem for resolvents of accretive operators", J. Math. Anal. Appl., 104, 546–553.
[18] H.-K. Xu (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J. London Math. Soc. (2), 66(1), 240–256.
[19] H.-K. Xu (1991), "Inequalities in Banach spaces with applications", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 16(12), 1127–1138.