3 Vòng tròn Ford và liên hệ với định lý Pick, dãy Farey
3.3 Mối liên hệ giữa dãy Farey và vòng tròn Ford
Cho hai vòng tròn Ford C1 và C2 có các tâm là các phân số Farey liên tiếp, khi đó hai vòng tròn này tiếp xúc với nhau. Để kiểm chứng hai vòng tròn tiếp xúc nhau, ta cần phải chỉ ra lý do tổng quát của chúng. Thật vậy, các tâm của C1 và C2 là các phân số Farey liên tiếp chẳng hạn là ab < dc, nên chúng có tính chất bd−ac = 1. Do đó tâm của đường tròn C1 là ab với bán kính là 21b2, tâm đường tròn C2 là cd với bán kính là 21d2.
Ta xét đẳng thức ( 1 2d2 + 1 2b2)2 = (c d − a b) 2 + ( 1 2d2 − 1 2b2)2 ⇔ 1 4d4 + 2 4d2b2 + 1 4b4 = c 2 d2 − 2ac bd + a2 b2 + 1 4d4 − 2 4b2d2 + 1 4b4 ⇔ 4 4d2b2 = c 2 d2 − 2ac bd + a2 b2 ⇔ download by : skknchat@gmail.com
Rõ ràng đẳng thức cuối là đúng do giả thiết cd và ab là các phân số Farey liên tiếp. Vậy đẳng thức ban đầu là đúng, nghĩa là P Q = 21b2 + 21d2 là tổng hai bán kính của C1 và C2. Do đó C1 tiếp xúc với C2.
Vì vậy, các vòng tròn Ford có tâm được chỉ ra bởi các phân số Farey liên tiếp là các đường tròn tiếp xúc nhau.
Kết luận
Ở luận văn này, chúng ta đã xem xét định lý Pick, các phân số Farey và các vòng tròn Ford trong một số lĩnh vực. Trong lý thuyết toán học về fractal và "hỗn loạn" chẳng hạn, các phân số Farey thậm chí còn được sử dụng để thiết kế thiết bị âm thanh nổi. Điều ấn tuợng được thực hiện bởi vấn đề nghiên cứu này nhấn mạnh sự kết nối của toán học với thực tiễn ngay từ khi nó xuất hiện.
Trong luận văn này, ta tin rằng những chủ đề này có thể được sử dụng để kết nối các ý tưởng từ bản chất trực quan của hình học đến bản chất trừu tượng của đại số. Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ cấp cơ sở và chuyển sang lý luận toán cấp cao hơn thông qua việc sử dụng dãy Farey và vòng tròn Ford. Trong nhiều chương trình đào tạo, các chủ đề này được khám phá một cách riêng biệt. Thông qua luận văn này, ta đã phát hiện ra nhiều mối liên quan giữa các khái niệm. Những kết nối này rất quan trọng để ta có thể hiểu sâu hơn về toán học, và cũng hy vọng học sinh học toán cũng như vậy.
Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây:
1. Định lý Pick về tính diện tích 1 đa giác đơn.
2. Dãy Farey, vòng tròn Ford.
Tài liệu tham khảo
[B] Tiếng Anh
[1] T. Davis (2003),Pick Theorem, (tomrdavis@earthlink.net, Oct 27, 2003) (http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf)
[2] S. Das, K. Halder, S. Pratihar, P. Bhowmick (2015), Properties of Farey Sequence and their Applications to Digital Image Processing, (https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1509/1509.07757.pdf).
[3] J. Ainsworth, M. Dawson, J. Pianta, J. Warwick (2012), The Farey Se- quence, Year 4 Project School of Math. Uni. of Edinburgh March 15, 2012.
[4] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik (1994), "Concrete Mathemat- ics", ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY.
[5] J. Amen, S. Green, A. Schmidt (2006), Farey Se-
quences, Ford Circles and Pick’s Theorem Expository Paper,
(http://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1001&context=mathmidexppap).
[6] J. H. Conway, R. K. Guy (1996) Farey Fractions and Ford Circles, The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 152-156.
[7] A. Liu (1979), Lattice Points and Pick’s Theorem, Mathematics Maga- zine, 52, 232- 235 (Retrieved on July 6, 2006 from http://jstor.org).
[8] B. Paria, S. Pratihar, P. Bhowmic (2016), On Farey table and its com- pression for space optimization with guarnteed error bounds, Math. Appl. 5 (2016), 123–145 (DOI:10.13164/ma.2016.09).