Định nghĩa 2.2.18 Giả sử D là miền lồi trong mặt phẳng (x, y), tức là miền chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó. Hàm Φ(x, y),
được gọi là lồi trong D nếu nó xác định khắp nơi trong D và
Φx1 +x2 2 , y1 +y2 2 ≤ 1 2 Φ(x1, y1) + Φ(x2, y2) (2.32) đối với tất cả (x1, y1) và (x2, y2) của R2.
Định nghĩa trên khẳng định tổng quát hơn so với tính lồi riêng biệt đối với với x và đối với y; chẳng hạn xy là hàm lồi của x đối với mỗi y
và là hàm lồi của y đối với mỗi x nhưng không là hàm lồi của x và y.
Thường thường để thuận tiện người ta sử dụng một dạng khác của định nghĩa đã đưa ra.
Định nghĩa 2.2.19 Giả sử x, y, u, v cho trước, ta xét những giá trị t
(nếu chúng tồn tại) sao cho (xut, yvt) thuộc miền D. Bởi vì D lồi nên những giá trị đó của t lấp đầy một khoảng (có thể bằng không). Khi đó ta nói rằng Φ(x, y) lồi trong D nếu đối với mỗi x, y, u, v
là hàm lồi của t trong khoảng vừa nói.
Định nghĩa này tương đương với định nghĩa trước đây vì nếu
x+ut1 =x1, y +vt1 = y1, x+ut2 =x2, y +vt2 = y2 thì (2.32) có dạng χ t1 +t2 2 ≥ 1 2χ(t1) +χ(t2)
φ được gọi là lõm nếu −φ là hàm lồi.
Nếu z = Φ(x, y) là phương trình của mặt trong hệ tọa độ Đề-các
vuông góc thì (2.32) khẳng định rằng điểm giữa của cát tuyến bất kỳ của mặt nằm phía trên điểm tương ứng của mặt hoặc là trùng với nó. Nếu mặt liên tục, ta có thể suy ra rằng toàn bộ cát tuyến nằm phía trên mặt hoặc là trên mặt và điều khẳng định đó cũng đúng đối với trọng tâm của một số bất kỳ các điểm của mặt có trọng lượng tùy ý. Từ đó ta có định lý sau.
Định lý 2.2.20 Nếu Φ(x, y) lồi và liên tục thì
Φ Xqx,Xqy ≤ XqΦ(x, y). (2.34)
Cách chứng minh giống hệt như cách chứng minh của Định lý 2.2.2, nếu không kể những thay đổi hiển nhiên trong các ký hiệu.
Định lý sau tương ứng với các Định lý 2.2.13 và 2.2.14.
Định lý 2.2.21 Nếu Φ(x, y) hai lần khả vi trong miền mở D thì điều kiện cần và đủ để Φ lồi trong D là dạng toàn phương sau đây dương
Q = Φxxu2+ 2Φxyuv+ Φyyv2
đối với bất kì u, v và tất cả (x, y) trong D. Nếu Q dương thực sự thì
(2.34) có dấu bất đẳng thức, trừ trường hợp tất cả x và y bằng nhau.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Nếu (x, y) nằm trong D thì hàm χ(t) xác định theo phương trình (2.33) là lồi trong lân cận của điểm t = 0.
(2) Điều kiện đủ. Nếu X q = 1, X = Xqx, Y = Xqy thì Φ(xv, yv) = Φ(X, Y) + (xv −X)Φ0x + (yv −Y)Φ0y + 1 2(xv −X)2Φ1xx + 2(xv −X)(yv −Y)Φ1xy+ (yv −Y)2Φ1yy,
trong đó chỉ số 0 ký hiệu điểm (X, Y), chỉ số 1 là điểm nào đó của đoạn nối điểm đó với điểm (xv, yv). Do đó
X
qΦ(x, y) ≤ Φ(X, Y) = Φ Xqx,Xqy.
Nếu Q dương thực sự và có dấu bất đẳng thức thì xv = X, yv = Y
đối với tất cả v.
Chú ý rằng dạng Q dương khi và chỉ khi
Φxx ≥ 0, ΦxxΦyy −Φ2xy ≥ 0 (2.35)
và dương thực sự khi và chỉ khi
Φxx > 0, ΦxxΦyy −Φ2xy > 0. (2.36)