Trong tiết này chúng ta chứng minh Định lý của Gauss: Vành đa thức trên miền phân tích duy nhất là miền phân tích duy nhất. Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất của miền phân tích duy nhất.
Chúng ta đều biết rằng, trong miền nguyên Z, mỗi số nguyên dương
n ¡ 1 đều có một phân tích tiêu chuẩn n pr1
1 prk
k , trong đó p1, ..., pk là những số nguyên tố đôi một phân biệt và r1, ..., rk là những số nguyên dương. Sự phân tích tiêu chuẩn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các phần tử. Vấn đề đặt ra là những miền nguyên nào có tính chất phân tích
duy nhất tương tự như vành các các số nguyên Z? Mục đích của tiết này
là giải quyết vấn đề trên. Những miền nguyên có tính chất này được gọi là miền phân tích duy nhất (Unique Factorization Domain). Đôi khi miền phân tích duy nhất còn được gọi là miền Gauss, vì Carl Friedrich Gauss là người đầu tiên nghiên cứu loại miền này.
Trong Chương 2, luôn giả thiết V là một miền nguyên, tức V là vành
giao hoán khác t0u và nếu a, b 0 là hai phần tử của V thì ab 0. Trước khi trình bày khái niệm miền phân tích duy nhất, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về ước, bội, phần tử nguyên tố, phần tử bất khả quy.
Định nghĩa 2.3.1 Cho a, bP V, b 0. Ta nói b là ước của a (hay a là bội của b), nếu tồn tại q P V sao cho a bq. Nếu tồn tại q P V để 1 bq thì
ta nói b là phần tử khả nghịch hay b là ước của đơn vị. Ta nói a và b liên kết, viết là a b, nếu đồng thời a là ước của b và b là ước của a. Nếu b là ước của a và a không là ước của b thì ta nói b là ước thực sự của a.
Chú ý rằng a và bliên kết với nhau nếu và chỉ nếu chúng chỉ khác nhau một nhân tử là ước của đơn vị, tức là tồn tại một phần tử khả nghịch
uP V sao cho a bu.
Định nghĩa 2.3.2 Cho p PV. Ta nói p là phần tử bất khả quy nếu p khác
0, không khả nghịch và không có ước thực sự. Ta nói p là phần tử nguyên tố nếu p khác0, không khả nghịch và nếu p là ước của tích ab thì p là ước của a hoặc p là ước của b với mọi a, bP V.
Trong miền nguyênZ,các phần tử bất khả quy là và chỉ là các số nguyên tố. Trong miền V bất kỳ, nếup là phần tử nguyên tố thì p là bất khả quy. Tuy nhiên chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, xét miền nguyên
V ta bi?
13 |a, b PZu
Các phần tử 2,7,1 i?
13 và 1 i?
13 là bất khả quy nhưng không là
phẩn tử nguyên tố, vì ta có phân tích
14 27 p1 i?
13qp1i?
13q
trong đó 2,7 là ước của tích p1 i?
13qp1i?
13q nhưng 2,7 không là ước
của 1 i?
13 và cũng không là ước của 1i?
13. Tương tự 1 i?
13 và
1i?
13 là ước của tích 27, nhưng không là ước của 2 và cũng không là ước của 7.
Định nghĩa 2.3.3 Miền nguyên V được gọi là miền phân tích duy nhất
nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều phân tích được thành
tích các phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và cũng không kể đến các nhân tử là ước của đơn vị. Miền phân tích duy nhất (Unique Factorization Domain) còn được gọi là miền nhân hóa hay miền Gauss.
Ví dụ 2.3.4 (i) Mỗi trường đều là miền phân tích duy nhất. (ii) Z là miền phân tích duy nhất.
(iii) Zris ta bi |a, b PZu là miền phần tích duy nhất.
(iv) Với ω 1
2
?
3
2 , miền nguyên Zrωs ta bω | a, b P Zu là miền phân tích duy nhất.
(v) Zri?
3s ta ib?
3 | a, bP Zu không là miền phân tích duy nhất vì
số 4 có hai phân tích bất khả quy là 4 22 p1 i?
3qp1i?
3q.
Định nghĩa 2.3.5 Cho a1, a2, a3, ... là dãy các phần tử của V sao cho ai 1
là ước của ai với mọi i ¥ 1. Ta nói a1, a2, a3, ... là dãy dừng nếu tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho an liên kết với an0 với mọi n ¥ n0. Miền V
được gọi là thỏa mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự nếu mọi dãy
a1, a2, a3, ... những phần tử của V thỏa mãn tính chất ai 1 là ước của ai với mọi i đều là dãy dừng.
Miền nguyên Z thỏa mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự.
Định nghĩa 2.3.6 Cho a1, ..., an P V. Một ước chung d P V của a1, ..., an
được gọi là ước chung lớn nhất nếu nó là bội của mọi ước chung khác
của a1, ..., an. Nếu 1 là ước chung lớn nhất của a1, a2, ..., an thì ta nói
a1, a2, ..., an lànguyên tố cùng nhau. Một bội chungmP V củaa1, a2, ..., an
được gọi là bội chung nhỏ nhất nếu m là ước của mọi bội chung khác của
a1, ..., an.
Sau đây là một số đặc trưng của miền phân tích duy nhất.
Bổ đề 2.3.7 Các mệnh đề sau là tương đương
i) V là miền phân tích duy nhất.
ii) V thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn nhất và điều kiện dãy dừng
iii) Mỗi phần tử khác không và không khả nghịch của V đều phân tích được thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy và mọi phần tử bất
khả quy của V đều là phần tử nguyên tố.
Trong các phần tiếp theo ta luôn giả sử V là miền phân tích duy nhất.
Định nghĩa 2.3.8 Một đa thức khác không trong vành Vrxs được gọi là
nguyên bản nếu các hệ số của nó có ước chung lớn nhất bằng 1.
Bổ đề 2.3.9 Tích của hai đa thức nguyên bản là đa thức nguyên bản.
Chứng minh. Cho hai đa thức nguyên bản fpxq anxn ... a1x a0
và gpxq bmxm ... b1x b0. Giả sử fpxqgpxq không là đa thức nguyên bản. Theo Bổ đề 2.3.7 ii) ước chung lớn nhất d của các hệ số của fpxqgpxq
là tồn tại và không khả nghịch. Do đó d có ước bất khả quy p. Do fpxq
nguyên bản nên tồn tại s ¤ n sao cho p |ai với mọi i ¤ s1 và as không chia hết cho p. Tương tự tồn tại r ¤ m sao cho p | bjvới mọi j ¤ r1 và
br không chia hết cho p. Chú ý rằng fpxqgpxq cm nxm n ... c1x c0,
trong đó ck ¸
i jk
aibj. Ta có
cr s pa0bs r ..., as1br 1q asbr pas 1bs1 ... as rb0q.
Do p bất khả quy nên theo Bổ đề 2.3.7 iii), p là phần tử nguyên tố suy ra
asbr không chia hết cho p. Theo cách chọn của r và s các tổng
pa0bs r ..., as1br 1q và pas 1bs1 ... as rb0q
đều chia hết cho p. Vì thế hệ số cr s của fpxqgpxq không chia hết cho p.
Điều này vô lý. l
Cho fpxq P Vrxs là đa thức khác 0. Theo Bổ đề 2.3.7 ii), tồn tại ước chung lớn nhất cP V của các hệ số của fpxq. Do đó ta có thể viết fpxq
cgpxq, trong đó gpxq là đa thức nguyên bản. Hơn nữa, nếu c1 P V thỏa mãn fpxq c1hpxq với hpxq P Vrxs là đa thức nguyên bản thì c1 phải là một ước chung lớn nhất của các hệ số của fpxq. Vì thế, c và c1 chỉ sai khác
nhau một ước của đơn vị, tức là c u.c1, trong đó u P V là một phần tử khả nghịch. Rõ ràng fpxq là đa thức nguyên bản nếu và chỉ nếu c khả nghịch.
Hệ quả 2.3.10 Cho fpxq, gpxq PVrxs là hai đa thức khác 0. Viết
fpxq cf1pxq, gpxq dg1pxq, fpxqgpxq ehpxq
với fpxq, gpxq, hpxq PVrxs là các đa thức nguyên bản. Khi đó tồn tại phần
tử khả nghịch u P V sao cho cd ue.
Chứng minh. Ta cófpxqgpxq pcdqf1pxqg1pxq.Theo Bổ đề 2.3.7,f1pxqg1pxq
là đa thức nguyên bản. Do cd và e là hai ước chung lớn nhất của các hệ
số của đa thức fpxqgpxq. Vì thế e và cd sai khác nhau một nhân tử khả
nghịch. l
Bổ đề 2.3.11 Giả sử gpxq PVrxs là đa thức nguyên bản và là ước của đa
thức afpxq, trong đó 0 a P V và fpxq P Vrxs. Khi đó gpxq là ước của
fpxq.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tạihpxq PVrxssao choafpxq gpxqhpxq. Viết fpxq cf1pxq, hpxq dh1pxq, trong đó c, dP V và f1pxq, h1pxq P Vrxs
là nguyên bản. Theo Hệ quả 2.3.10, tồn tại phần tử khả nghịch u P V
sao cho ac uc. Suy ra a | d và do đó a | hpxq. Viết hpxq ah2pxq. Khi đó afpxq gpxqhpxq agpxqh2pxq. Do a 0 và V là miền nguyên nên
fpxq gpxqhpxq và do đó gpxq | fpxq. l
Định lý 2.3.12 (Gauss) Nếu V là miền phân tích duy nhất thì vành đa
thức một biến Vrxs cũng là miền phân tích duy nhất.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.7 ta chỉ cần chứng minh mỗi đa thức khác
0 và không khả nghịch của Vrxs đều phân tích được thành tích của hữu
hạn đa thức bất khả quy và mọi đa thức bất khả quy của Vrxs đều là
phần tử nguyên tố. Cho fpxq PVrxs là một đa thức khác 0 và không khả nghịch. Ta chứng minh bằng quy nạp theo bậc của fpxq rằng fpxq có sự
phân tích thành tích của hữu hạn đa thức bất khả quy. Nếu degfpxq 0
thì fpxq aP V. Vì V là miền phân tích duy nhất nên a có thể phân tích thành tích hữu hạn phần tử bất khả quy trong V, và đó cũng là phân tích thành tích hữu hạn đa thức bất khả quy trongVrxs. Cho degfpxq n ¡ 0
giả thiết rằng các đa thức khác 0, không khả nghịch với bậc nhỏ hơn n
đều có sự phân tích thành tích hữu hạn đa thức bất khả quy trong Vrxs. Viết fpxq cf1pxq, trong đó c P V và f1pxq là đa thức nguyên bản. Do
V là miền phân tích duy nhất nên c có sự phân tích thành tích những
nhân tử bất khả quy trong V, do đó cũng là sự phân tích thành tích của
c thành tích của hữu hạn đa thức bất khả quy trong Vrxs. Vì ta chỉ cần chứng minh f1pxq có sự phân tích nhân tử bất khả quy. Nếu f1pxq bất khả quy thì fpxq có sự phân tích thành tích của hữu hạn đa thức bất khả quy. Giả sử f1pxq không bất khả quy. Khi đó f1pxq gpxqhpxq, trong đó
gpxq, hpxq P Vrxs là các đa thức không khả nghịch. Do f1pxq là đa thức nguyên bản nên gpxq, hpxq RV do đó deg gpxq n và deg hpxq n. Theo giả thiết quy nạp, gpxq và hpxq có sự phân tích thành tích những nhân tử bất khả quy. Vì thế f1pxq có sự phân tích thành tích những phần tử bất khả quy.
Cho ppxq P Vrxs là phần tử bất khả quy. Ta chứng minh ppxq là phần tử nguyên tố. Giả sửppxqlà ước của fpxqgpxq,trong đófpxq, gpxq P Vrxs. Giả sử deg ppxq 0, khi đó ppxq p PV. Viếtfpxq cf1pxq, gpxq dg1pxq và
fpxqgpxq ehpxq, trong đó c, d, e P V và f1pxq, g1pxq, hpxq là các đa thức nguyên bản. Vì p là ước của fpxqgpxq nên p là ước của e. Theo Hệ quả
2.3.10 tồn tại u P V là phần tử khả nghịch sao cho e ucd. Do đó p là
ước của cd. Vì V là miền phân tích duy nhất và p là bất khả quy nên theo Bổ đề 2.3.7 ta suy ra p là phần tử nguyên tố. Do đó p là ước của c hoặc p
là ước của d. Vì thế p là ước của fpxq hoặc p là ước của gpxq. Kí hiệu M
là tập các phần tử có dạng ppxqqpxq fpxqtpxq trong đó qpxq, tpxq PVrxs. Chú ý rằngppxq ppxq.1 fpxq.0. Vì thế ppxq PM. Suy raM chứa những đa thức khác 0. Gọi ϕpxq P M là đa thức khác 0 có bậc bé nhất. Gọi a là hệ số cao nhất của ϕpxq. Theo bổ đề (đa thức fpxq là bất khả quy nếu và
chỉ nếu fpx aq là bất khả quy với mọi a P V), tồn tại số nguyên k ¥ 0
và các đa thức hpxq, rpxq P Vrxs sao cho akfpxq ϕpxqhpxq rpxq, trong đó rpxq 0 hoặc deg rpxq deg ϕpxq. Vì ϕpxq PM nên ϕpxq có biểu diễn
ϕpxq ppxqqpxq fpxqtpxq, trong đó qpxq, tpxq PVrxs. Suy ra
rpxq akfpxq ϕpxqhpxq
akfpxq ppxqqpxqhpxq fpxqtpxqhpxq ppxqpqpxqhpxqq paktpxqhpxqqfpxq PM
Nếurpxq 0 thì deg rpxq degϕpxq, điều này là mâu thuẫn với cách chọn
ϕpxq. Do đó rpxq 0. Suy ra ϕpxq cϕ1pxq trong đó c P V và ϕ1pxq là đa thức nguyên bản nên theo Bổ đề 2.3.11 ta suy ra ϕ1pxq là ước của ppxq. Do đó ϕ1pxq là ước chung của fpxq và ppxq. Do ppxq là bất khả quy và
ppxq không là ước của fpxq nên ϕ1pxq khả nghịch trong Vrxs. Chú ý rằng các phần tử khả nghịch trong Vrxs là và chỉ là phần tử khả nghịch trong
V. Do đó ϕ1pxq khả nghịch trong V. Suy ra 0 ϕpxq cϕ1pxq P V. Vì
ϕpxq ppxqqpxq fpxqtpxq nên ϕpxqgpxq ppxqqpxqgpxq fpxqgpxqtpxq.
Do đó ppxq là ước của fpxqgpxq nên ppxq là ước của ϕpxqgpxq. Vì ppxq là bất khả quy bậc dương nên ppxq là đa thức nguyên bản. Lại do ϕpxq P V
nên theo Bổ đề 2.3.11 ta suy ra ppxq là ước của qpxq. Vì thế ppxq là phần
tử nguyên tố trong vành Vrxs. l
Hệ quả 2.3.13 Zrxs là miền phân tích duy nhất.
Chứng minh. Vì Z là miền phân tích duy nhất nên theo Định lý 2.3.12 thì
Zrxs cũng là miền phân tích duy nhất. l