2 Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc ha
2.3.2 Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai
Cho X là không gian Banach với X∗ là không gian đối ngẫu. Cho hàm số thực ψ : X → R hai lần khả vi liên tục (hàm số thuộc lớp C2). Xét tập hợp
C = {x ∈ X |ψ(x) 6 0}, (2.20) và giả sử rằngx ∈ C, ψ(x) = 0,∇ψ(x) = 06 .Vì ∇ψ(x) 6= 0, tồn tạiv0 ∈ X sao cho ∇ψ(x), v0 < 0. Vậy ràng buộc ψ(x) 6 0 thỏa mãn điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz tại x, và ta có
T(x;C) = {v ∈ X| h∇ψ(x), vi 6 0}. (2.21) Theo công thức (2.19), với mọi h ∈ T(x;C), tập tiếp xúc bậc hai của C tại x theo hướng h được xác định bởi công thức
TC2(x, h) = {w ∈ X | h∇ψ(x), wi+h∇2ψ(x)h, hi 6 0}. (2.22)
Hình 2.4
Dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ iC(·):
Chúng ta, nhắc lại rằng hàm chỉ của tập C được xác định bởi iC(x) =
(
0 nếu x ∈ C, +∞ nếu x /∈ C.
Ta đã biết rằng N(x;C) =∂iC(·)(x), ở đó N(x;C) là nón pháp tuyến qua giới hạn của C tại x. Ánh xạ đa trị
được gọi là ánh xạ dưới vi phân của hàm chỉ của C, hay ánh xạ nón pháp tuyến của C. Cho v ∈ N(x;C). Khi đó, do ∇ψ(x) 6= 0, tồn tại duy nhất y∗ ∈ R sao cho
v = ∇ψ(x)∗y∗ ∈ X∗. (2.23) Theo [9, Theorem 1.17], ta có
N(x;C) ={x∗ ∈ X∗|x∗ = λ∇ψ(x), λ > 0} (2.24) với mỗi x ∈ ∂C := {x ∈ X |ψ(x) = 0}.
Đối đạo hàm của N(·;C) tại (x, v) là ánh xạ đa trị
D∗N(·;C)(x, v) : X∗∗ ⇒ X∗ (2.25) được ký hiệu bởi ∂2iC(·)(x, v) và được gọi là dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ iC(·). Theo một kết quả trong [12, tr. 211], dưới vi phân bậc hai ∂2iC(·)(x, v) của hàm chỉ của tập hợp C tại (x, v) được cho bởi công thức sau ∂2iC(·)(x, v)(u) = y∗∇2ψ(x)∗u+R∇ψ(x) nếu y∗ > 0,hu,∇ψ(x)i = 0 ∅ nếu y∗ > 0,hu,∇ψ(x)i 6= 0 R+∇ψ(x) nếu y∗ = 0,hu,∇ψ(x)i > 0 R∇ψ(x) nếu y∗ = 0,hu,∇ψ(x)i = 0 {0} nếu y∗ = 0,hu,∇ψ(x)i < 0 ∅ nếu y∗ < 0 (2.26)
với mọi u ∈ X∗∗. Lưu ý rằng ta có thể coi X ⊂ X∗∗. Vì vậy, công thức (2.26) áp dụng được cho mọi phần tửu ∈ X. Theo định nghĩa về tính phản xạ, bao hàm thứcX ⊂ X∗∗ có dấu bằng khi X là không gian Banach phản xạ.
Định nghĩa 2.2. (Độ cong của siêu mặt) Số thực suy rộng
γ := infh∇2ψ(x)u, ui | hu,∇ψ(x)i = 0, kuk = 1 (2.27) được gọi là độ cong (curvature) của siêu mặt (hypersurface)
M = {x ∈ X |ψ(x) = 0}
Ví dụ 2.3. Cho ψ(x) = −xn+x21+· · ·+x2n−1, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Cho x = 0 ∈ Rn. Ta có
M = {x ∈ Rn| xn = x21 +· · ·+x2n−1}. Khi đó, độ cong của siêu mặt M tại điểm x = 0 thuộc M là
γ = inf ( hdiag(2, . . . ,2,0)u, ui|un = 0, n−1 X i=1 u2i = 1 ) = 2,
ở đó diag(2, . . . ,2,0) là ký hiệu ma trận đường chéo với n−1 phần tử 2 và 1 phần tử 0.
Hình 2.5: Độ cong củaM tại x là γ = 2.
Sau đây ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa các tập tiếp xúc bậc hai TC2(x, u) của tập C tại x và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ ∂2iC(·)(x, v) với v = ∇ψ(x)∗y∗ ∈ N(x;C), y∗ > 0 và u ∈ X thỏa mãn h∇ψ(x), ui = 0. Định lý 2.3. Giả sử rằng x ∈ C thỏa mãn các điều kiện ψ(x) = 0,∇ψ(x) = 06 . Nếu v = ∇ψ(x)∗y∗, y∗ > 0 và nếu u ∈ X, kuk = 1,
h∇ψ(x), ui = 0, thì
γ 6 1
y∗infx∗∈∂2iC(·)(x,v)(u)hu, x∗i 6 h−∇ψ(x), wi, ∀w ∈ TC2(x, u). (2.28)
Chứng minh. Trong các giả thiết của định lý, theo công thức (2.26) ta có
Vì h∇ψ(x), ui = 0, kuk = 1, và y∗ > 0, kết hợp điều đó với định nghĩa độ cong (2.27) ta có
1
y∗infx∗∈∂2iC(·)(x,v)(u)hu, x∗i = h∇2ψ(x)∗u, ui
= hu,∇2ψ(x)ui > γ.
Như vậy, bất đẳng thức thứ nhất trong (2.28) đã được chứng minh.
Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai trong (2.28), ta sẽ áp dụng công thức (2.22). Với mỗi w ∈ TC2(x, u), ta có
h∇ψ(x), wi +h∇2ψ(x)u, ui 6 0. Kết hợp điều này với (2.29), ta suy ra rằng
h−∇ψ(x), wi > h∇2ψ(x)u, ui = h∇2ψ(x)∗u, ui
= 1
y∗infx∗∈∂2iC(·)(x,v)(u)hu, x∗i.
Vậy bất đẳng thức thứ hai trong (2.28) nghiệm đúng. Bây giờ, ta tiếp tục tìm mối liên hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai TM2 (x;u) và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉiM(·) trong trường hợp M là một siêu mặt trơn C2.
Cho ψ : X →R là hàm hai lần khả vi liên tục như ở trên. Đặt M = {x ∈ X |ψ(x) = 0}.
Ta có M là một siêu mặt trong X. Giả sử rằng x ∈ M và ∇ψ(x) 6= 0. Sử dụng [9, Theorem 1.127] và lập luận tương tự như trong [12, tr.209–212] ta có
N(x;M) ={λ∇ψ(x)|λ ∈ R},
T(x;M) ={u ∈ X| h∇ψ(x), ui = 0},
và với mỗi v ∈ N(x;M) mà v = ∇ψ(x)∗y∗ (y∗ ∈ R được xác định một cách duy nhất theo v), ta có ∂2iM(·)(x, v)(u) = ( y∗∇2ψ(x)∗u+R∇ψ(x) nếu hu,∇ψ(x)i = 0 ∅ nếu hu,∇ψ(x)i 6= 0. (2.30)
Áp dụng công thức (2.22) cho trường hợp
C ≡ M = {x ∈ X|ψ(x) = 0},
ta có tập tiếp xúc bậc hai của M tại x theo hướng u ∈ T(x;M) là
TM2 (x, u) = {w ∈ X | h∇ψ(x), wi+h∇2ψ(x)u, ui = 0}. (2.31) Định lý 2.4. Giả sử rằng x ∈ M thỏa mãn điều kiện ∇ψ(x) 6= 0. Nếu
v = ∇ψ(x)∗y∗, y∗ 6= 0, u ∈ X mà kuk = 1, và h∇ψ(x), ui = 0, thì
γ 6 1
y∗infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = h−∇ψ(x), wi, ∀w ∈ TM2 (x, u). (2.32)
Chứng minh. Sử dụng công thức (2.30) khi h∇ψ(x), ui = 0, y∗ 6= 0, ta có
1
y∗infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = h∇2ψ(x)u, ui
= hu,∇2ψ(x)ui > γ. Như vậy, bất đẳng thức trong (2.32) đã được chứng minh.
Để chứng minh đẳng thức trong (2.32) ta sẽ áp dụng công thức (2.31). Với mỗi w ∈ TM2 (x, u), ta có
h∇ψ(x), wi +h∇2ψ(x)u, ui = 0. Kết hợp điều này với (2.30) ta suy ra rằng
h−∇ψ(x), wi = h∇2ψ(x)u, ui = h∇2ψ(x)∗u, ui
= 1
y∗infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i.
Vậy đẳng thức trong (2.32) đã được chứng minh. Ví dụ 2.4. Cho
C = {x= (x1, x2) ∈ R2|x21 −x2 6 0}.
Ta đi tính độ cong của C tại x = (0,0). Đặt g1(x) = x21 − x2, với mỗi u = (u1, u2) ∈ R2 mà kuk= 1 ta có
Vì hu,∇g1(x)i = u1 u2 0 −1 ! = −u2 = 0 nên u2 = 0. Do đó, γ = inf nD 2 0 0 0 ! u1 0 T , u1 0 T E u2 = 0,|u1| = 1 o = inf{2u21 |u1| = 1} = 2. Hình 2.6: Độ congγ = 2 Hình 2.7: Độ cong γ =−2 Tương tự, với C = {x = (x1, x2) ∈ R2| −x21 −x2 > 0}. Đặt g2(x) = −x21 −x2. Ta có độ cong của siêu mặt
M = {(x1, x2) ∈ R2| −x21 −x2 = 0}, tại x= (0,0) là
γ = inf{−2u21 | |u1| = 1} = −2.
Trường hợp đa tạp Lagrange: Cho
M = {x ∈ X |ψi(x) = 0, i = 1, m}
= {x ∈ X |ψ(x) = (ψ1(x), . . . , ψm(x)) = 0},
với ψi : X → R, i = 1, m, là các hàm trơn thuộc lớp C2, xác định trên không gian Banach X. Cho x ∈ M và giả sử rằng
Vì M thỏa mãn điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz (2.17) tại x, nên ta có công thức tính nón tiếp tuyến của M tại x như sau:
T(x;M) ={u ∈ X | h∇ψi(x), ui = 0, ∀i ∈ I(x)},
ở đó I(x) = {1, . . . , m}. Với mọi u ∈ T(x;M), theo công thức (2.19) ta có công thức tính tập tiếp xúc bậc hai của M tại x theo hướng u như sau: TM2 (x, u) = {w ∈ X| h∇ψi(x), ui+h∇2ψi(x)u, ui = 0, i = 1, m}. (2.34) Bây giờ ta sẽ tính dưới vi phân bậc hai ∂2iM(·)(x, v)(u) của hàm chỉiM(·) với u ∈ X∗∗, ở đó x ∈ M, v ∈ N(x, M) với N(x, M) = ( m X i=1 λi∇ψi(x)|λi ∈ R, ∀i = 1, m ) ,
là nón pháp tuyến Mordukhovich của M tại x. Đặt Y = Rm. Xét hàm véctơ
ψ :X →Y, x 7→ψ(x) = (ψ1(x), . . . , ψm(x))T. Cho ϕ : Y →R được xác định bởi
ϕ(y) = ( 0 nếu y = 0, +∞ nếu y 6= 0. Ta có N(x;M) =∂iM(x) =∂(ϕ◦ψ)(x). Do đó, ∂2iM(·)(x, v)(u) =∂2(ϕ◦ψ)(x, v)(u). (2.35) Từ (2.33) ta suy ra rằng ∇ψ(x) :X → Rm, x 7→ ∇ψ1(x)x, . . . ,∇ψm(x)xT, là ánh xạ tràn. Thật vậy, nếu ∇ψ(x)(X) 6= Rm thì do ∇ψ(x)(X) ⊂ Rm
là không gian con nên tồn tại y0 = (y10, y20, . . . , ym0 ) ∈ Rm\{0} sao cho
hy0,∇ψ(x)hi = 0, ∀h ∈ X. Khi đó, 0 = y01∇ψ1(x)h+· · ·+ym0 ∇ψm(x)h = m X i=1 y0i∇ψi(x)h, ∀h ∈ X.
Tức là
m
X
i=1
yi0∇ψi(x) = 0, mâu thuẫn với điều kiện (2.33).
Theo [9, Theorem 1.127] ( xem thêm [12, Theorem 2.1]), với mọi v ∈
∂(ϕ ◦ψ)(x) và với mọi y∗ = (y1∗, y2∗, . . . , ym∗ ) ∈ Rm là phần tử duy nhất sao cho
v = ∇ψ(x)∗y∗, y∗ ∈ ∂ϕ(y), ở đó
∂ϕ(y) := {y∗ ∈ Rm | ϕ(y)−ϕ(y) > hy∗, y−yi, ∀y ∈ Rm}, là dưới vi phân của ϕ tại y. Theo công thức (9) trong [12, tr. 210],
∂2(ϕ◦ψ)(x, v)(u) =∇2hy∗, ψi(x)∗u+∇ψ(x)∗∂2ϕ(y, y∗)(∇ψ(x)∗∗u), (2.36) với mọi u ∈ X∗∗. Từ đó ta có ∂2(ϕ◦ψ)(x, v)(u) = m X i=1 yi∗∇2ψi(x)∗u+∇ψ(x)∗(Rm) nếu ∇ψ(x)u = 0, ∅ nếu ∇ψ(x)u 6= 0. (2.37)
Nhận xét 2.5. Điều kiện ∇ψ(x)u = 0 tương đương với ∇ψi(x)u = 0 với mọi i = 1, m, hay u ∈ T(x;M).
Nhận xét 2.6. Với mọi x∗ ∈ ∇ψ(x)∗(Rm) ta có hx∗, ui = 0 với mỗi u ∈ker∇ψ(x) := {u ∈ X | ∇ψ(x)(u) = 0}. Thật vậy, nếu x∗ = ∇ψ(x)∗v, v ∈ Rm, thì
hx∗, ui = h∇ψ(x)∗v, ui = hv,∇ψ(x)ui = 0 với mỗi u ∈ ker∇ψ(x).
Nhận xét 2.7. Công thức v = ∇ψ(x)∗y∗, y∗ ∈ Rm có thể viết thành v = m X i=1 y∗i∇ψi(x). (2.38)
Thật vậy, ta có v = ∇ψ(x)∗y∗ khi và chỉ khi
hv, xi = h∇ψ(x)∗y∗, xi ∀x ∈ X, tức là hv, xi = hy∗,∇ψ(x)xi ∀x ∈ X. Do ∇ψ(x)x = (∇ψ1(x)x, . . . ,∇ψm(x)x)T, nên ta suy ra hv, xi = m X i=1 yi∗∇ψi(x)x ∀x ∈ X, khi và chỉ khi hv, xi = D m X i=1 yi∗∇ψi(x), xE ∀x ∈ X. Do vậy v = m X i=1 yi∗∇ψi(x). Định lý 2.5. Giả sử rằng M = {x ∈ X |ψi(x) = 0, i = 1, m} với ψi : X → R, i = 1, m, là các hàm thuộc lớp C2. Giả sử rằng x ∈ M và {∇ψi(x)| i = 1, m} là độc lập tuyến tính. Nếu v = ∇ψ(x)∗y∗, ở đó
ψ(x) := (ψ1(x), . . . , ψm(x))T là hàm véctơ, thì với u ∈ ker∇ψ(x) mà
kuk= 1, ta có
infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = h−v, wi, ∀w ∈ TM2 (x, u). (2.39)
Chứng minh. Với mọi w ∈ TM2 (x, u), theo (2.34) ta có các đẳng thức sau:
h∇ψi(x), wi+h∇2ψi(x)u, ui = 0, i = 1, m, vì vậy
Với y∗ = (y1∗, y2∗, . . . , ym∗ ) ∈ Rm được xác định duy nhất theo công thức v = ∇ψ(x)∗y∗, ta có yi∗h−∇ψi(x), wi = yi∗h∇2ψi(x)u, ui, i= 1, m. Cho i = 1,2, . . . , m và cộng các đẳng thức đó vế với vế, ta có m X i=1 yi∗h−∇ψi(x), wi = m X i=1 yi∗h∇2ψi(x)u, ui. (2.40)
Theo công thức (2.37) và Nhận xét 2.6, vì u ∈ker∇ψ(x) nên ta có
infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = m X i=1 yi∗h∇2ψi(x)∗u, ui = m X i=1 yi∗h∇2ψi(x)u, ui. (2.41) Từ (2.40) và (2.41) ta suy ra rằng infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = m X i=1 yi∗h−∇ψi(x), wi. (2.42)
Mặt khác, với v = ∇ψ(x)∗y∗ và với mọi w ∈ TM2 (x, u) thì
h−v, wi = h−∇ψ(x)∗y∗, wi = D − m X i=1 yi∗∇ψi(x), w E = m X i=1 yi∗h−∇ψi(x), wi. (2.43)
Từ (2.42) và (2.43) ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.3. Cho M = {x ∈ X|ψi(x) = 0, i = 1, m}. Ta gọi đại lượng
γ := max
i=1,m
sup|h∇2ψi(x)u, ui| : u ∈ ker∇ψ(x),kuk = 1 , (2.44)
với ψ : X → Rm, ψ(x) = (ψi(x), . . . , ψm(x))T, là độ cong trên (upper curvature) của M tại x.
Định lý 2.6. Giả sử rằng M là đa tạp Lagrange với ψi, i = 1, m, là các hàm thuộc lớp hàmC2. Giả sử rằng x ∈ M và hệ véctơ{∇ψi(x)|i = 1, m}
là độc lập tuyến tính. Nếu v = ∇ψ(x)∗y∗ thì với mọi u ∈ ker∇ψ(x) mà
kuk= 1, ta có
−√mky∗kγ 6 infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i 6 √mky∗kγ (2.45)
với γ là độ cong trên của M tại x.
Chứng minh. Với y∗ 6= 0, áp dụng kết quả (2.41) của phần chứng minh Định lý 2.5 ta có infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i = m X i=1 yi∗h∇2ψi(x)u, ui 6 m X i=1 |yi∗|.h∇2ψi(x)u, ui 6 γ m X i=1 |y∗i|, hay là infx∗∈∂2 NN(·;M)(x,v)(u)hu, x∗i 6 γ m X i=1 |y∗i|. (2.46) Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có m X i=1 |yi∗| 6 m X i=1 |y∗i|2 1 2 1 + 1 +· · ·+ 1 | {z } m số 12 6 ky∗k√m. (2.47) Kết hợp (2.46) với (2.47) ta có infx∗∈∂2iM(·)(x,v)(u)hu, x∗i 6 √mky∗kγ. Vậy (2.45) nghiệm đúng với mỗi y∗ 6= 0.
Nếu y∗ = 0 thì các dấu đẳng thức của (2.45) xảy ra vì ∂2iM(·)(x, v)(u) ={0}. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.8. Với các điều kiện ở Định lý 2.6, do Định lý 2.5 và Định lý 2.6 ta có
với mọi w ∈ TM2 (x, u), ở đây v =
m
X
i=1
yi∗∇ψi(x).
Như vậy, Định lý 2.6 cho ta các đánh giá cận trên và cận dưới của
Bản luận văn này trình bày một số nội dung trong Chương 1 của cuốn chuyên khảo [9], Chương 3 của cuốn giáo trình [10], và một vài kết quả mới. Các khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, tập tiếp xúc bậc hai được trình bày một cách có hệ thống, kèm theo các tính chất và mối quan hệ của chúng. Chúng tôi đã biên dịch các tài liệu và chứng minh chi tiết hơn các tính chất được quan tâm.
Các định lý 2.3–2.6 trong Mục 2.3 về mối quan hệ giữa dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ và tập tiếp xúc bậc hai là những kết quả mới. Trong thời gian sắp tới, Giáo sư hướng dẫn và tác giả luận văn sẽ cố gắng trình bày các kết quả này dưới dạng bản thảo một bài báo nhỏ.
Để phát triển thêm chủ đề của luận văn này, chúng tôi dự định xem xét hai câu hỏi sau:
- Mối quan hệ giữa dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ của tập lồi đa diện và công thức tính tập tiếp xúc bậc hai ở [10, Lemma 3.43] có thể được mô tả như thế nào?
- Có thể mở rộng các kết quả ở Mục 2.3 cho trường hợp tập hợp không có biên trơn hay không?
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tuyết Mai (2012), Các điều kiện cực trị bậc nhất và bậc hai của bài toán tối ưu, Luận văn Thạc sĩ toán học, Viện Toán học, Hà Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] J.-P. Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and ex- istence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions. In “Advances in Mathematics. Supplementary Studies” (L. Nachbin, Ed.), pp. 160–232.
[4] J.-P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkh¨auser, Berlin.
[5] J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Opti- mization Problems, Springer, New York.
[6] J. M. Browein and H. M. Strojwas (1986), Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach spaces, Part I: Theory, Canad. J. Math., Vol. 38, No. 2, pp. 431–452.
[7] F. H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York.
[8] B. S. Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for non- smooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol.183, pp. 250–288.
[9] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Dif- ferentiation, Vol. I: Basic Theory and Vol. II: Applications, Springer Verlag, Berlin.
[10] A. Ruszczynski (2006), Nonlinear Optimization, Princeton University Press, New York.
[11] J.-C. Yao and N. D. Yen (2009), Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality, Part 1: Basic Calculations, Acta Math. Vietnam. Vol. 34, pp. 157–172.
[12] J.-C. Yao and N. D. Yen (2010), Parametric variational system with a smooth boundary constraint set, in “Variational Analysis Generalized Differentiation in Optimization and Control” (R. Burachik and J.-C. Yao, Eds.), Springer Series “Optimization and Its Applications”, Vol. 47, pp. 205–221.