Định nghĩa 3.2.1. Cho d là số nguyên cố định, d ¥ 2 ta định nghĩa
Sdpnq pan mod d, an 1 mod dq
và
Sd tpi mod d, j mod dq :pi, j, dq 1u.
Với số nguyên cố định d ¥ 2 được biểu diễn dưới dạng các thừa số nguyên tố dạng d ±pe`
` , e` ¥ 1, từ Định nghĩa 3.2.1. Đặt
Nd |Sd|, (3.12) và với mỗi 0 ¤ i d, đặt
Ndpiq |tj mod d : pi mod d, j mod dq P Sdu|. (3.13) Chúng ta đưa ra hai bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.2.2 ([3, Lemma 10]). Ánh xạ Sd : N Ñ Sd là một toàn ánh. Chứng minh. Giả sử α pi, jq P Sd với 0 ¤ i, j ¤ d 1. Chúng ta chỉ ra khi đó sẽ tồn tạiw P N sao cho pi, j wdq 1. Do đó, tồn tại nvới an i
và an 1 j wd, sao cho Sdpnq α.
Viết i ±`qf`
` , f` ¥ 1 với q` nguyên tố. Nếu q` | j thì q` - j. Tồn tại w ¥ 0 sao cho w d1pmodqf`
` q nếu q` | j và w 0pmodqf`
` q nếu
q` - j. Thì j wd 0pmodqf`
` q với mọi `, không có số nguyên tố i chia hết j wd. Bổ đề 3.2.3 ([3, Lemma 11]). Với 0 ¤ i ¤ d 1, Nd d2¹ ` p2` 1 p2` và Ndpiq d¹ p`|i p` 1 p` . (3.14)
Chứng minh. Để tính Nd chúng ta sẽ sử dụng định lý phần dư trung hoa bằng cách đếm các lựa chọn pi mod pe`
` , j mod pe`
` q với mỗi `. Biến
pi, jq trong mỗi phép chia p` cho cả i và j, và do đó lớp các tổng số là
pe`
` pe`1 `
2
với mỗi `.
Bây giờ cố định i. Nếu p` | i thì pi, jq P Sd nếu và chỉ nếu p` - i, không có giới hạn nào với j. Khi đó, chọn lần lượt hoặc pe`
` pe`1
` hoặc pe`
` với mỗi j.
Giả sử rằng α pi, jq P Sd, đặt Lpαq : pi, i jq và Rpαq pi j, jq, ở đó i j là giá trị thu gọn modd nếu cần. Thì Lpαq, Rpαq P Sd và bổ đề sau đây được suy ra một cách trực tiếp.
Bổ đề 3.2.4 ([3, Lemma 12]). Với mọi n, chúng ta có Sdp2nq LpSdpnqq
và Sdp2n 1q RpSdpnqq.
Định nghĩa 3.2.5. (Đồ thị có hướng Gd)
Đỉnh của Gd là các phần tử của Sd. Bờ của Gd bao gồm của pα, Lpαqq
và pα, Rpαqq với α P Sd. Chúng ta thấy Lkpαq pi, i kjq và Rkpαq pi kj, jq, đồng thời Ld Rd id, L1 Ld1 và R1 Rd1. Thật vậy, nếu pα, βq là bờ của Gd thì đó là độ dài d 1 tính từ β tới α.
Mỗi đỉnh của Gd có bậc ra hai, vì L1pαq, α
và R1pαq, α
là các đỉnh, mỗi đỉnh có bậc vào hai. ĐặtMd mαpdqβpdq
mαβ kí hiệu cho ma trận của Gd : Md là ma trận Nd Nd0 1 sao cho mαLpαq mαRpαq 1, với các phần tử còn lại bằng 0. Cho số dương r, viết
Mdr mpαβrq
(3.15)
thì mpαβrq là số dọc theo chiều dài r từ α đến β. Cuối cùng, với mỗi γ P Sd
và số nguyên U1 U2, đặt
Bpγ, U1, U2q |tm : U1 ¤ m U2&Sdpmq γu|. (3.16)
Bổ đề 3.2.6 ([3, Lemma 13]). Giả sử rằng α Sdpmq, β P Sd, r ¥ 1. Thì Bpβ; 2rm,2rpm 1qq mpαβrq bằng với số dọc theo chiều dài r trong Gd từ α đến β.
Chứng minh. Một chuyển động có độ dài 1 bắt đầu từ α là pα, Lpαqq và
pα, Rpαqq; điều đó được hiểu là pSdpnq, Sdp2nqq và pSdpnq, Sdp2n 1qq. Điều đó dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp.
Bổ đề 3.2.7 ([3, Lemma 14]). Cho số N đủ lớn, mpαβNq ¡ 0 với mọi α, β. Chứng minh. Đặt α0 p0,1q Sdp0q. Chú ý rằng Lpα0q α0, do vậy, nếu di chuyển dọc theo chiều dài ω từ α0 đến γ, thì các số di chuyển dọc theo mọi chiều dài ¥ ω. Từ Bổ đề 3.2.2, với mỗi α P Sd tồn tại nα sao cho
mọi γ khi đó một số di chuyển theo chiều dài r từ α0 đến γ, và đó cũng là số di chuyển theo chiều dài pd 1qr từ γ đến α0. Thật vậy, với bất kỳ
α, β P Sd, đó sẽ là số nhỏ nhất di chuyển theo chiều dài dr từ α đến β qua
α0.
Để ý rằng Ad 1
2Md là hai lần ngẫu nhiên và đầu vào của ANd
2NMdN các số dương với N đủ lớn. Thật vậy, Ad là bất khả quy, nó cũng có giá trị riêng của 1, và tất cả các giá trị riêng là phần bên trong của đường tròn đơn vị. Sau đây Md có một giá trị riêng của 2. Gọi
fdpTq Tk ck1Tk1 . . . c0 (3.17) là đa thức cực tiểu của Md. Gọi pd 2 là mô đun cực đại bậc hai vô nghiệm của fd, và cho 1 σd là bội cực đại của mọi nghiệm cực đại. Khi đó với r ¥ 0 và tất cả pα, βq,
mαβr k ck1mαβr k1 . . . c0mrαβ 0 (3.18) Tiếp theo từ định lý cơ bản của phép truy toán tuyến tính với một số hằng số cαβ,
mrαβ cαβ2r prσdprdq khi r Ñ 8. (3.19) Nói riêng, lim
rÑ8A
α
d Ad0 : rcαβs, và từ Ard 1 AdArd, thấy rằng mỗi cột của Ad0 là véc tơ riêng của , tương ứng với λ 1. Cũng như vậy véctơ riêng là hằng véctơ và từ Ad0 là hai lần ngẫu nhiên, chúng ta có thể kết luận điều đó với mọi pα, βq, cαβ 1
Nd. Tồn tại cd ¡ 0 sao cho r ¥ 0 và mọi
pα, βq, mrαβ 2r Nd cdrσd d ρrd. (3.20) Tính toán chỉ ra điều đó với các giá trị nhỏ d là nhỏ nhất, ρd 1
2 và
σd 0. Trong các tình huống, bằng cách chọn 2 ¡ ρd ¡ ρd nếu σd ¡ 0, chúng ta có thể thay thế rσd
d ρrd bởi ρrd trong cận trên. Kết hợp những điều đó, chúng ta có định lý sau đây.
Định lý 3.2.8 ([3, Theorem 15]). Tồn tại hằng số cd và ρd 2 thỏa mãn nếu m P N và α P Sd thì với mọi r ¥ 0,
Bpα; 2rm,2rpm 1qq 2r
N