Địa phương hóa là một công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun hữu hạn sinh. Nhắc lại một tính chất quen thuộc chỉ ra mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh M và địa phương hoá của nó tại một iđêan nguyên tố p
AssRp(Mp) ={qRp | q∈ AssRM,q⊆ p} với mọi p ∈ Spec(R).
Đối với các môđun Artin ta cũng muốn tìm một công thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Tuy nhiên một công thức như vậy chưa được tìm ra. Năm 1975, R.Y. Sharp [48] đã xét tính chất sau cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết hạn chế trên các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại
AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) = {qRp | q ∈ AttR(Hmi (M)),q ⊆p},
với mọi p ∈ Spec(R), với mọi i. Trong [48], R.Y. Sharp đã chứng tỏ bao hàm thức sau luôn đúng
AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) ⊆ {qRp | q ∈ AttR(Hmi (M)),q ⊆ p},
với mọi p ∈ Spec(R), với mọi i và ông gọi đó là tính chất dịch chuyển địa phương tổng quát yếu (xem [6, 11.3.8]. Hơn nữa, khi R là một vành thương của vành địa phương Gorenstein, ông đã chứng tỏ dấu đẳng thức xảy ra và gọi đó là tính chất dịch chuyển địa phương (xem [6, 11.3.2]). Mở rộng ta nói rằng môđun Hmi (M), với mỗi i ≥ 0 cho trước, thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương nếu đẳng thức
AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) = {qRp | q ∈ AttR(Hmi (M)),q ⊆p},
này thỏa mãn với mọip ∈ Spec(R).Tính chất dịch chuyển địa phương không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn xét (R,m) là miền nguyên, địa
phương Noether chiều 2được xây dựng bởi M. Ferrand và D. Raynaud [53] thỏa mãn Rb có iđêan nguyên tố nhúng bp chiều 1. Rõ ràngbp∩R = 0. Lại có theo Hệ quả 1.3.5, bp ∈ Att
b
RHm1(R). Vì vậy theo Bổ đề 1.3.3, ta có 0 =bp∩ R ∈ AttRHm1(R).
Lấy p là iđêan nguyên tố có độ cao 1 của R, ta có 0Rp ∈/ AttRp Hp0R
p(Rp).
Vì nếu trái lại ta có
1 = ht(p) = dimRp/0Rp ≤ dimRp/AnnRp Hp0Rp(Rp) ≤ 0,
vô lý. Vậy Hm1(R) không thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương. Hơn nữa cũng theo M. Ferrand và D. Raynaud [53], tồn tại một miền nguyên địa phương Noether, chiều 1mà không thể biểu diễn được như ảnh đồng cấu của một vành địa phương Gorenstein. Khi đó Hmi(N) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi R-môđun hữu hạn sinh N. Vì vậy một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào thì Hmi(M) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương? Để trả lời câu hỏi đó, trước hết ta đưa ra một số kết quả bổ trở về tập giả giá và tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương.
Giả sử (R,m) là ảnh đồng cấu của một vành địa phương Gorenstein (R0,m0), dimR = n,dimR0 = n0. Đặt KMi = ExtnR00−i(M, R0), i = 0,1, . . . , d. Đó là các R-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa theo Định lý đối ngẫu địa phương (Định lý 1.1.7), ta có đẳng cấu
Hpi−RdimR/p p (Mp) ∼= D Rp(ExtdimR 0 p0−(i−dimR/p) R0p0 (Mp, R0p0)) ∼ = DRp(ExtnR00−i p0 (Mp, R0p0)) ∼ = DRp(ExtnR00−i(M, R0)p) ∼ = DRp((KMi )p).
Vì vậyPsuppiR(M) = Supp(KMi ),PsuppiR−dimR/p
p (Mp) = Supp(KMi−dimR/p
p ).
Theo [58] Ki(M)p ∼= Ki−dimR/p
Mp . Vì KMi là các môđun hữu hạn sinh nên SuppKMi−dimR/p
Bổ đề sau đưa ra tính chất tương tự cho tập giả giá với điều kiện vành là catenary.
Bổ đề 4.2.1. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên. Nếu vành R/AnnRHmi(M) là catenary thì
PsuppiR−dimR/p
p (Mp) ⊇ {qRp|q∈ PsuppiR(M),q⊆ p},
với mọi p ∈ Spec(R). Dẫu đẳng thức xảy ra nếu R/AnnRM là catenary.
Chứng minh. Lấy p,q ∈ Spec(R) và q ⊆ p. Nếu q ∈ PsuppiR(M) theo chứng minh (i)⇒(ii) của Định lý 2.1.2, ta có q∈ V(AnnRHmi (M)).Vì vậy
p⊇ q ⊇AnnRHmi (M).
Vì R/AnnRHmi(M) là catenary nên
(i−dimR/p)−dimRp/qRp = (i−dimR/p)−htp/q
= (i−dimR/p)−(dimR/q−dimR/p) = i−dimR/q.
Ta có q∈ PsuppiR(M) suy ra Hqi−RdimR/q
q (Mq) 6= 0, suy ra
H(i−dimR/p)−dimRp/qRp
qRq (Mq) 6= 0 và suy ra qRp ∈ PsuppiR−dimR/p
p (Mp). Vì vậy PsuppiR−dimR/p
p (Mp) ⊇ {qRp|q∈ PsuppiR(M),q⊆ p},
Nếu qRp ∈ PsuppiR−dimR/p
p (Mp) thì Hq(Ri−dimR/p)−htp/q
q (Mq) 6= 0 vì
(Mp)qRp ∼= M
q. Điều này kéo theo q ∈ PsuppRi+dimR/q−dimR/p−htp/q(M).
Do đó, chứng minh như (i) ⇒ (ii) của Định lý 2.1.2, ta có
Vì R/AnnRM là catenary nên
(i−dimR/p)−dimRp/qRp = (i−dimR/p)−htp/q
= (i−dimR/p)−(dimR/q−dimR/p) = i−dimR/q.
Ta có qRp ∈ PsuppiR−dimR/p
p (Mp) suy ra H(i−dimR/p)−dimRp/qRp
qRq (Mq) 6= 0, suy ra Hqi−RdimR/q
q (Mq) 6= 0 và suy ra q ∈ PsuppiR(M). Điều này chứng tỏ PsuppiR−dimR/p
p (Mp) ⊆ {qRp|q ∈ PsuppiR(M),q ⊆ p}, với mọi p ∈ Spec(R) và với mọi i. Nếu vành R/AnnRM là catenary thì vành
R/AnnRHmi(M) cũng là catenary. Vì vậy dấu đẳng thức xảy ra.
Chú ý rằng giả thiết về tính catenary của vành R/AnnRM trong Bổ đề 4.2.1 không thể bỏ đi được. Ví dụ, xét (R,m) là miền nguyên địa phương Noether, chiều 3, không catenary (xem [3]). Khi đó theo Định lý 1.2.3, tồn tạip ∈ Spec(R)thỏa mãndimR/p+ htp = 2. Vì vậydimR/p = htp = 1.
Lấy q = 0. Ta có thể chứng tỏ rằng qRp ∈ Psupp2R−dimR/p
p (Rp) nhưng q ∈/ Psupp2R(R).
Mệnh đề sau chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (∗) cho môđun đối đồng điều địa phương của M và môđun đối đồng điều địa phương của địa phương hóa của nó, mối liên hệ giữa giả giá của M và của Mc.
Mệnh đề 4.2.2. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả sử R/AnnRHmi(M) là catenary. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗); (ii) Hpi−RdimR/p
p (Mp) thỏa mãn tính chất (∗), với mọi p ∈ Supp(M); (iii) PsuppiR(M) = {pb∩R|bp ∈ Psuppi
b
R(Mc)}.
chứng minh
PsuppiR−dimR/p
p (Mp) = V(AnnRpHpi−RdimR/p
p (Mp)).
Theo chứng minh (i) ⇒ (ii) của Định lý 2.1.2, ta có PsuppiR−dimR/p
p (Mp) ⊆V(AnnRp Hpi−RdimR/p
p (Mp)).
Ngược lại, lấyqRp ∈ V(AnnRpHpi−RdimR/p
p (Mp)). Khi đó theo Mệnh đề 1.3.1, tồn tại q0Rp ∈ AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) thỏa mãn qRp ⊇ q0Rp. Vì vậy q ⊇ q0 ∈ AttRHmi(M)
theo Định lý 1.3.4. Vì Hmi(M) thỏa mãn tính chất (∗) nên theo Định lý 2.1.2, ta có
q∈ V(AnnRHmi(M)) = PsuppiR(M).
Vì vậy qRp ∈ PsuppiR−dimR/p
p (Mp) theo Bổ đề 4.2.1. (ii) ⇒ (i) là hiển nhiên.
(i) ⇒ (iii). Giả sử p ∈ PsuppiR(M). Khi đó Hpi−RdimR/p
p (Mp) 6= 0. Lấy
b
p ∈ AssR/b pR,b thỏa mãn dimR/b pb = dimR/p. Ta có bp∩ R = p và đồng cấu tự nhiên Rp −→Rb
b
p là hoàn toàn phẳng. Do đó theo Định lý 1.1.4,
Hi−dimR/b bp bpRb b p (Mc b p) ∼= Hi−dimR/p pRp (Mp)⊗Rb b p 6= 0.
Điều này kéo theo bp ∈ Psuppi
b
R(Mc). Vì vậy PsuppiR(M) ⊆ {bp ∩ R|bp ∈
Psuppi
b
R(Mc)}.
Ngược lại, lấy bp ∈ Psuppi
b R(Mc). Vì Psuppi b R(Mc) = V(Ann b R(Hmi(M))),
nên theo Bổ đề 1.3.1, tồn tại bq∈ min Att
b
RHmi(M) thỏa mãn bp ⊇bq. Do đó
bp∩R ⊇bq∩ R ∈ AttRHmi(M),
theo Bổ đề 1.3.3. Vì vậy theo Mệnh đề 1.3.1 (ii) và Định lý 2.1.2, ta có
(iii) ⇒ (i). Theo Định lý 2.1.2 và chứng minh (i) ⇒ (ii) của định lý này, ta chỉ cần chứng minh
V(AnnRHmi (M)) ⊆ PsuppiR(M).
Lấy p ∈ V(AnnRHmi (M)). Khi đó theo (ii) của Mệnh đề 1.3.1, tồn tại
q∈ min AttRHmi(M), p ⊇ q.
Theo Bổ đề 1.3.3, tồn tại bq ∈ Att
b RHmi (M) thỏa mãn bq ∩ R = q. Vì Psuppi b R(Mc) = V(Ann b R(Hmi(M))) nên bq ∈ Psuppi b
R(Mc). Vì vậy theo giả thiết, ta có q ∈ PsuppiR(M), tức là Hqi−RdimR/q
q (Mq) 6= 0. Vì Rq-môđun
Hqi−RdimR/q
q (Mq)là môđun Artin khác không nên nó phải có một iđêan nguyên tố gắn kết (xem Mệnh đề 1.3.1). Chú ý rằng Rq ∼= (R
p)qRp. Do đó áp dụng Định lý 1.3.4 trên vành địa phương Rp ta có
Hpi−RdimR/q+ht(p/q)
q (Mp) 6= 0.
Vì R/AnnRHmi(M) là catenary nên dimR/q−htp/q = dimR/p. Do đó
0 6= Hpi−RdimR/q+ht(p/q) q (Mp) = Hpi−R(dimR/p+ht(p/q))+ht(p/q) p (Mp) = Hpi−RdimR/p p (Mp). Vậy p∈ PsuppiR(M).
Kết quả chính đầu tiên của tiết đưa ra điều kiện cần và đủ để môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương.
Định lý 4.2.3. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) Hmd(M) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương; (ii) Vành R/AnnRHmd(M) là catenary;
(iv) HpR
p (Mp) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương với mọi p ∈ Supp(M);
(v) HpdR−dimR/p
p (Mp) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi p ∈ Supp(M).
Chứng minh. (i) ⇒ (iii). Theo Định lý 2.1.2 và chứng minh (i) ⇒ (ii) của định lý này, ta chỉ cần chứng minh V(AnnR(Hmd(M)) ⊆ PsuppdRM. Lấy p ∈ V(AnnR(Hmd(M)). Vì vậy
p⊇ q∈ min AnnRHmd(M).
Do đó q∈ AttRHmd(M) theo Mệnh đề 1.3.1 (ii). Khi đó theo giả thiết, ta có
qRp ∈ AttRp HpdR−dimR/p
p (Mp).
Điều này kéo theo HpdR−dimR/p
p (Mp) 6= 0. Do đó p∈ PsuppdR(M). (iii) ⇔ (ii) theo Định lý 1.4.4.
(ii) ⇒ (i). Lấy p∈ Spec(R). Ta cần chứng minh AttRp(HpdR−dimR/p
p (Mp)) = {qRp|q ∈ AttR(Hmd(M)), q⊆ p}.
Theo Định lý 1.3.4, ta chỉ cần chứng minh AttRp(HpdR−dimR/p
p (Mp)) ⊇ {qRp|q ∈ AttR(Hmd(M)),q ⊆ p}.
Lấy q ⊆ p và q ∈ AttR(Hmd(M)). Theo Định lý 1.3.6, q ∈ AssR(M) và dimR/q= d. Điều này kéo theo qRp ∈ AssRp(Mp). VìR/AnnR(Hmd(M)) là catenary nên
dimRp/qRp = htp/q= dimR/q−dimR/p = d−dimR/p.
Từ đó suy ra theo Hệ quả 1.3.5, qRp ∈ AttRp(HpdR−dimR/p
p (Mp)).
(iii) ⇔ (v) theo Mệnh đề 4.2.2. (iv) ⇔ (v) tương tự (i) ⇔(iii).
Hiện tại chúng tôi chưa tìm được điều kiện cần và đủ để các môđun đối đồng điều địa phương cấp nhỏ hơn d thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương. Vì vậy kết quả sau đây có thể đưa ra một cách tiếp cận mới.
Định lý 4.2.4. Cho i ≥ 0là một số nguyên. Giả sử R/AnnRM là catenary. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) = {qRp | q ∈ min AttR(Hmi(M)),q ⊆ p}, với p ∈ Spec(R).
(ii) Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗); (iii) Hpi−RdimR/p
p (Mp) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi p ∈ Supp(M). Chứng minh. (i) ⇒ (ii) tương tự như chứng minh (i) ⇒ (iii) của Đinh lý 4.2.3.
(ii) ⇒ (i). Lấy qRp ∈ min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)). Vì Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗) nên Hpi−RdimR/p p (Mp) cũng thỏa mãn tính chất (∗) theo Mệnh đề 4.2.2. Do đó theo Định lý 2.1.2, PsuppiR−dimR/p p (Mp) = V(AnnRpHpi−RdimR/p p (Mp)).
Vì vậy qRp ∈ min PsuppiR−dimR/p
p (Mp) theo Mệnh đề 1.3.1. Mặt khác theo Định lý 1.3.4, ta có q ∈ AttR(Hmi(M)). Lấy q1 ∈ min AttRHmi (M) thỏa mãn q⊇ q1. Vì Hmi(M) thỏa mãn tính chất (∗) nên theo Định lý 2.1.2,
PsuppiR(M) = V(AnnRHmi(M)).
Do đóq1 ∈ PsuppiR(M).Theo Bổ đề 4.2.1, ta cóq1Rp ∈ PsuppiR−dimR/p
p (Mp).
Vì qRp ⊇ q1Rp và tính chất tổi tiểu của qRp, ta có q = q1. Vì vậy min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) ⊆ {qRp|q ∈ min AttR(Hmi(M)), q⊆ p}.
Ngược lại, lấyq⊆ pthỏa mãnq∈ min AttR(Hmi(M)).Khi đó theo Mệnh đề 1.3.1, q∈ min V(AnnRHmi(M)). Do đóq ∈ min PsuppiR(M) theo Định
lý 2.1.2. Theo Bổ đề 4.2.1, ta có qRp ∈ PsuppR
p (Mp). Giả sử qRp ⊇ q1Rp ∈ min PsuppiR−dimR/p
p (Mp).
Do vậy q ⊇ q1 và q1 ∈ PsuppiR(M) theo Bổ đề 4.2.1. Tính tối tiểu của q kéo theo q= q1. Do đó
qRp = q1Rp ∈ min PsuppiR−dimR/p
p (Mp).
Theo Mệnh đề 4.2.2, Hpi−RdimR/p
p (Mp) thỏa mãn tính chất (∗). Vì vậy theo Định lý 2.1.2 và Mệnh đề 1.3.1,
qRp ∈ min PsuppiR−dimR/p
p (Mp) = min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)).
(ii) ⇔ (ii) theo Mệnh đề 4.2.2.
Hệ quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa cấu trúc của vành và tính chất dịch chuyển địa phương của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, tính chất (∗) cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại của một môđun hữu hạn sinh và tính chất (∗) cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại của địa phương hoá môđun đó.
Hệ quả 4.2.5. Các mệnh đề sau là đúng:
(i) Nếu Hmi (M) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương với mọi i thì vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssR(M).
(ii) Giả sử(R,m)là catenary phổ dụng và có các thớ hình thức là Cohen- Macaulay. Khi đó
min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) = {qRp|q∈ min AttR(Hmi (M)),q ⊆ p} với mọi i và với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa, nếu AttRHmi(M) = min AttRHmi (M) với mọi i thì Hmi (M) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương với mọi i.
(iii) Hm(M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i nếu và chỉ nếu HpR
p(M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i và với mọi p ∈ Supp(M).
Chứng minh. (i) Vì Hmi (M) thỏa mãn tính chất dịch chuyển địa phương với mọi i, nên theo (i) ⇒ (ii) của Định lý 4.2.4, Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i. Vì vậy theo Định lý 2.2.1, R/AnnRM là catenary phổ dụng và
R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ AssR(M).
(ii) Vì (R,m) là catenary phổ dụng và có các thớ hình thức là Cohen- Macaulay nên theo Hệ quả 2.1.3, Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i. Do vậy khẳng định đầu tiên của (ii) được suy ra theo (ii) ⇒ (i) của Định lý 4.2.4. Với mệnh đề thứ hai của (ii), ta chỉ cần chứng minh
AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)) = min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)).
Lấy qRp ∈ AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)). Khi đó
qRp ⊇ q0Rp ∈ min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)).
Suy ra q ⊇ q0 ∈ AttRHmi (M) theo Định lý 1.3.4. Từ giả thiết, ta suy ra q = q0. Vì vậy qRp ∈ min AttRp(Hpi−RdimR/p
p (Mp)).
(iii) Vì Hmi (M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i nên theo Định lý 2.2.1 vành R/AnnRM là catenary. Vì vậy theo Mệnh đề 4.2.2, ta có HpiRp(M) thỏa mãn tính chất (∗) với mọi i và với mọi p ∈ Supp(M). Điều ngược lại là hiển nhiên.