p(x)
32: end if
Phép giảm bậc sẽ dừng lại khi đa thức giảm về bậc 3 hoặc bậc 4, lúc này ta áp dụng công thức nghiệm trong Mục 1.1 để tìm nghiệm.
Ví dụ 3.2.2. Cho đa thứcp(x) = x5−2x4−81x+ 162. Một nghiệm x0 củap(x)
phải nằm trong hình tròn bán kính p1 = min{5· 162
181, 5 5 √ 162} = 2.766324 trong Mệnh đề . Xét (x1, x2, x3) = (−1,0,1). Ta có p[x1, x2] = p(x2)−p(x1) x2−x1 =−78 p[x2, x3] = p(x3)−p(x2) x3−x2 =−82 p[x1, x2, x3] = p[x2, x3]−p[x1, x2] x3−x1 =−2. Từ đó ta được a=p[x1, x2, x3] =−2 b=p[x2, x3] +p[x1, x2, x3] (x3−x2) =−84 c=p(x3) = 80. Ta có nghiềm gần x0 nhất là x= −2c b−√b2−4ac = 0,931712.
Tiếp theo ta tính được các xấp xỉ quanh 0.931712 là (x4, x5, x6) = (1.9,1.95,2.1). Tương tự như trên, ta tính được nghiệm gần nhất với x0 là 1.999. Ta sử dụng lược đồ Horner để giảm bậc, đặt
p1(x) = p(x)
x−1.999 =x
4−0,001x3−001999x2−0.003996001x−81.007988006.
Dùng công thức nghiệm trong Mục 1.1 cho đa thức bậc 4 ta được nghiệm của đa thức p1(x) là
x1 = 0.00013897775−2.9999082617i x2 = 0.00013897775 + 2.9999082617i x3 =−2.99988045619
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kết quả sau đây: • Công thức nghiệm của các đa thức bậc 1, 2, 3, 4.
• Nguyên lý đổi dấu Descartes và định lý Sturm về số nghiệm của đa thức thực.
• Phép biến đổi Tschirnhaus.
• Công thức nghiệm căn lồng của đa thức dạng ax2n+bxn−xm+c= 0. • Kết quả về chặn nghiệm của đa thức thực.
• Hai phương pháp số tìm nghiệm xấp xỉ là phương pháp Newton và phương pháp M¨uller.