3 Đa thức Cantor trên hình quạt
3.3 Đa thức xếp trên hình quạt I(1/s)
Xét α > 0 hoặc α = ∞. Đối với mỗi số nguyên dương d, gọi Pd(α)
là tập hợp đa thức xếp bậcd trên I(α). Định lý Fueter-Pólya ở chương trước chỉ ra rằng P2(∞) = {F∞, G∞}.
Định lý 3.3.1. Với α > 0, không tồn tại đa thức xếp tuyến tính trên
I(α), tức là, P1(α) =∅.
Chứng minh. Với mọi số nguyên dương n, ta đặt
In(α) = {(x, y) ∈ I(α) : x ≤n}. Khi đó |In(α)| = n X j=0 ([αj] + 1)> n X j=0 αj = αn(n+ 1) 2 > αn2 2 .
Giả sử f(x, y) =ax+by+c là đa thức tuyến tính sao cho f(x, y) ∈ N0
đó
0≤ f(x, y) = ax+by +c ≤ (|a|+α|b|+|c|)n.
Như vậy, hàm tuyến tính f đưa một tập hợp lực lượng lớn hơn(α/2)n2
vào một tập hợp lực lương nhỏ hơn hoặc bằng Cn, trong đó C = |a|+α|b|+|c|+1. Rõ ràng hàm này không thể là đơn ánh khin > 2C/α. Do đó không có đa thức xếp tuyến tính trên I(α).
Với mỗi s ∈ N0, gọi Λs và Ms là các ma trận được xác định như trong (3.1). Ta định nghĩa hàm Φ1: Pd(1/s) → Pd(∞), xác định như sau. Với mỗi F = F(x, y) đa thức bậc d, ta định nghĩa Φ1(F) là đa thức theo biến x, y cho bởi
Φ1(F)(x, y) := (F ◦Λs)(x, y) := F(x+sy, y).
(Ở đây để đơn giản ký hiệu ta cũng đã sử dụng Λs để chỉ ánh xạ tuyến tính xác định bởi ma trận Λ. Và chú ý rằng Λs " x y # = " x+sy y # .) Từ định nghĩa này ta thấy ngay Φ1(F) là một đa thức bậc d. Hơn nữa nếu F thuộc Pd(1/s), tức là F cảm sinh một song ánh từ I(1/s) đến
N0 thì từ Định lý 3.2.2, Φ1(F) là cảm sinh một song ánh từ I(∞)
đến N0, tức là Φ1(F) thuộc Pd(∞). Ta cũng định nghĩa được ánh xạ
Ψ1: Pd(∞) → Pd(1/s) xác định bởi, với G = G(x, y) đa thức bậc d
thì
Ψ1(G)(x, y) := (G◦Λ−s1)(x, y) = G(x−sy, y).
Khi đó ta kiểm tra được ngay rằng Ψ1 chính là ánh xạ ngược của Φ1. Tương tự như trên, ta định nghĩa hàm Φ2: Pd(1/s) →Pd(∞), xác định như sau. Với mỗiF = F(x, y) đa thức bậcd, ta định nghĩaΦ2(F)
là đa thức theo biến x, y cho bởi
Φ2(F)(x, y) := (F ◦Ms)(x, y) = F(sx+y, x).
G= G(x, y) đa thức bậc d thì
Ψ1(G)(x, y) := (G◦Ms−1)(x, y) := G(y, x−sy).
Ta cũng kiểm tra được ngay rằng Ψ2 chính là ánh xạ ngược của Φ2.
Định lý 3.3.2. Với mỗi s ∈ N0, gọi Λs và Ms là các ma trận được xác định như trong (3.1). Các ánh xạ Φ1 và Φ2 từ Pd(1/s) đến Pd(∞)
cho bởi F 7→ F ◦Λs và F 7→ F ◦Ms là các song ánh với nghịch đảo lần lượt là F 7→F ◦Λ−s1 và F 7→F ◦Ms−1.
Chứng minh. Điều này được suy ngay ra từ các thảo luận ở trên.
Định lý 3.3.3. Đối với mỗi số nguyên s ≥1, các đa thức
F1/s(x, y) = (x−(s−1)y)2 2 + x+ (3−s)y 2 và G1/s(x, y) = (x−(s−1)y)2 2 + 3x+ (1−3s)y 2
là các đa thức xếp bậc hai duy nhất trên I(1/s).
Chứng minh. Ta có F∞◦Λ−s1(x, y) =F∞(x−sy, y) =(x−(s−1)y)2 2 + (x−sy) + 3y 2 =F1/s(x, y) và G∞ ◦Λ−s1(x, y) =G∞(x−sy, y) =(x−(s−1)y)2 2 + 3(x−sy) +y 2 =G1/s(x, y)
P2(1/s). Do vậy P2(1/s) =F1/s, G1/s và F1/s và G1/s là các đa thức xếp bậc hai duy nhất trên I(1/s).
Ví dụ. Trên I(1) = {(x, y) ∈ N2
0 : 0 ≤ y ≤ x}, đa thức xếp bậc hai duy nhất là hai đa thức
F1(x, y) = x(x+ 1) 2 + y
và
G1(x, y) = x(x+ 1)
Kết luận
Luận văn đã trình bày những vấn đề chính sau đây
- Phát biểu và chứng minh định lý thặng dư Trung hoa, trình bày về luật thuận nghịch bậc hai.
- Trình bày chứng minh của Vsemirnov về định lý Fueter - Pólya khẳng định rằng đa thức xếp bậc hai trên N20 là đa thức Cantor. - Trình bày kết quả của Nathanson về đa thức xếp bậc hai trên vị
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Hữu Bạn (2014), Định lý thặng dư trung hoa, Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Tiếng Anh
[2] M. B. Nathanson (2014),Cantor polynomials for semigroup sec- tors, Journal of Algebra and Its Application 13, no. 5, 1350165 (14 pages).
[3] M. B. Nathanson (2016), Cantor polynomials and the Fueter- Pólya theorem, American Mathematical Monthly 123, 1001- 1012.
[4] J.-P. Serre (1973), A course in arithmetic, translated from the French, Graduate Texts in Mathematics, No. 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg.
[5] M.A. Vsemirnov (2001), Two elementary proofs of the Fueter- Pólya theorem on matching polynomials, (Russian) Algebra i Analiz 13no. 5, 1-15; translation in St. Petersburg Math. J. 13 (2002), no. 5, 705-715.
[6] M.A. Vsemirnov (2002), Errata: "Two elementary proofs of the Fueter-Pólya theorem on matching polynomials” (Russian) [Al- gebra i Analiz 13 (2001), no. 5, 1-15; MR1882861], (Russian) Algebra i Analiz 14, no. 5, 240; translation in St. Petersburg Math. J. 14 (2003), no. 5, 887.
Tiếng Đức
[7] R. Fueter and G. Pólya (1923),Rationale Abz¨ahlung der Gitter- punkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Z¨urich 58, 280-386.