2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình paraboli c
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.34)-(2.35) trongW21,0(QT) chúng ta chọn hệ cơ sở {ϕk(x)} trong W21(Ω) thừa nhận sự tiện lợi rằng nó đã được chuẩn hóa trong L2(Ω). Chúng ta sẽ tìm nghiệm gần đúng uN(x,t) trong chuẩnuN(x,t) =∑Nk=1cNk (t)ϕk(x)từ hệ thống quan hệ:
(utN,ϕt) + (ai juxNj+aiuN,ϕlxi) + (biuNxi+auN,ϕl) = (f,ϕi)−(fi,ϕixi) (2.49) vớil =1, . . . ,N và đẳng thức
cNl = (ϕ,ϕl) (2.50)
Quan hệ (2.49) đơn giản là một hệ thống của N các phương trình tuyến tính các ẩn số cl(t)≡cNl (t),t =1, . . . ,N mà số hạng nguyên tắc của nó là trong các dạngdc1(t)/dt, hệ số củack(t)là hàm số giới hạn củat và số hạng tự do hàm số tổng trên (0,T). Từ một định lý nổi tiếng, chúng ta biết rằng (2.49) và (2.50) xác định duy nhất hoàn toàn vào hàm số liên tục cNl (t) trên [0,T]. Chúng ta đặt giới hạn cho uN mà không phụ thuộc vào N. Để làm điều này, chúng ta hãy nhân mỗi phương trình của (2.49) với cNl thích hợp, cộng vào chúng từ1đếnN và sau đó hợp nhất vớit từ0đếnt ≤T, kết quả là chúng ta
đạt được (2.49) đối vớiu=uN. vì chúng ta chỉ ra ở trên, (2.49) ám chỉ (2.50) với
F(t) =2kfk2,1,Ql +2kFk2,Qt +kuN(·,0)k2,Ω. NhưngkuN(·,0)k2,Ω≤ kϕk2,Ω, do đó chúng ta có giới hạn
|uN|QT ≤c1 (2.51)
với c1 không đổi không phụ thuộc vàoN vì (2.64) chúng ta có thể lựa chọn dãy phụ
uNk , k= 1,2, . . . từ dãy
uN , N =1,2, . . . mà bởi hội tụ trong L2(QT) cũng như đạo hàm uNkk
x , tới một số phần tử u ∈ W21,0(QT). Phần tử u(x,t) này là nghiệm suy rộng lý tưởng của bài toán (2.38)-(2.39). Rồi chúng ta hãy nhân (2.49) với hàm số liên tiếp bất kỳ dl(t) với ddl/dt ∈
L2(0,T),dl(T) =0cộng vào phương trình có được từ1đếnN và sau đó hợp nhất kết quả từ0đếnT. Nếu chúng ta hợp nhất số hạng đầu tiên bởi các phần vớit, chúng ta sẽ đạt được đồng nhất thức: M(uN,Φ) = Z Ω uNΦ|t=0dx+ Z QT (fΦ− fiΦxi)dxdt, (2.52) quan hệ không là gì khác ngoài đẳng thức:
M uN− f −∂ fi ∂xi,ϕl =0, l =1, . . . ,N chuyển thành dạng tương ứng với sự lựa chọn khoảng của ta.
Kết quả lý luận là, chúng ta sẽ biết rằng dãy con trong
uN hội tụ tới u. Trong (2.50) ta xét η = ∑Nt=1d`(t)ϕ`(x). Tập hợp của tất cả các hàm số
η như vậy với d`(t) có đặc tính đã được chỉ ra ở trên. Tổng S∞
p=1Mp là trù mật trong không gian conWb21,0(QT) củaW21,0(QT) bao gồm tất cả các phần tử này củaW21,0(QT) mà triệt tiêu đối vớit =T. Đối vớiη ∈Mp trong (2.54) chúng ta có thể có giới hạn của dãy phụ
uNk được chọn ở trên, bắt đầu với Nk ≥ p. Kết quả là chúng ta có được (2.50) đối với u , với η ∈ Mp. Nhưng
∪∞
p=1Mp trù mật trongWb21,0(QT) không khó để kiểm tra (2.50) chứa tất cả
η ∈Wb21,0(QT); đó là u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trongWb21,0(QT) của (2.36)-(2.37).
Như vậy chúng ta đã chứng minh.
Định lí 2.4. Nếu các giả thiết (2.36)-(2.48) được thỏa mãn, thì bài toán
(2.34)-(2.35) có ít nhất một nghiệm suy rộng trongWb21,0(QT).