Theo H» qu£ 2.2.3 th¼ n¸u (X, ω) l mët a t¤p Kahler compact vîi sè chi·u n = 1 th¼ hai lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp(X, ω) v lîp n«ng l÷ñng Choquet húu h¤n Ep(X, ω) l tròng nhau. Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp, sè chi¸u n≥ 2, kh¯ng ành n y khæng cán óng núa. Trong ph¦n n y, chóng ta s³ nghi¶n cùu mët v i tr÷íng hñp cö thº º mæ t£ lîp Choquet-Monge-Amp±re.
ành ngh¾a 2.3.8. Cho X l mët sp x¸p x¤ £nh. Mët Q-divisor tr¶n
X l mët ph¦n tû D cõa
tùc l D ∈ DivQ(X) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng
D = XciAi,
trong â Ai l mët sp x¸p, ci ∈ Q.
D ÷ñc gåi l ample n¸u ci ≥ 0.
Trong tr÷íng hñp ¦u ti¶n, èi vîi c¡c h m câ ký dà compact th¼ lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp(X, ω) t÷ìng tü nh÷ lîp n«ng l÷ñng Choquet húu h¤n Ep(X, ω).
M»nh · 2.3.9. Gi£ sû D l mët Q-divisor v ample. Cho ϕ l mët h m ω- a i·u háa d÷îi bà ch°n trong mët l¥n cªn cõa D. Khi â, ta câ
ϕ ∈ Chp(X, ω) khi v ch¿ khi ϕ ∈ Ep(X, ω).
Chùng minh. Cho V l mët l¥n cªn cõa D sao cho trong â h m ϕ l bà ch°n. º cho ìn gi£n, chóng ta gi£ sû lîp èi çng i·u thù nh§t
c1(D) = {ω}. Gåi ω0 l mët d¤ng nh®n, nûa x¡c ành d÷ìng, âng çng lu¥n vîi ω sao cho ω0 ≡ 0 b¶n ngo i V. Gåi ρ l mët h m ω- a i·u háa d÷îi, nh®n sao cho ω0 = ω +ddcρ. Gi£ sû 0≤ ρ ≤M. Khi â, ta câ
−ddc(−ϕ)p+j = −(p+j)(p+j −1)(−ϕ)p+j−2dϕ∧dcϕ + (p+j)(−ϕ)p+j−1ωϕ ≤ (p+j)(−ϕ)p+j−1ωϕ. V¼ vªy Z (−ϕ)p+jωϕn−j ∧ ωj = Z (−ϕ)p+jωϕn−j ∧ωj−1 ∧ω0 + Z −(−ϕ)p+jωϕn−j ∧ωj−1 ∧ddcρ = O(1) + Z ρ ddc[−(−ϕ)p+j]∧ ωnϕ−j ∧ωj−1 ≤ O(1) + (p+j)M Z (−ϕ)p+j−1ωϕn−j+1∧ωj−1.
Ð ¥y, chóng ta kþ hi»u O(1) l sè h¤ng ¦u ti¶n R
(−ϕ)p+jωϕn−j ∧ ωj−1 ∧ω0 m bà ch°n, bði v¼ h m ϕ l bà ch°n tr¶n gi¡ cõa h m ω0.
B¬ng c¡ch quy n¤p, chóng ta nhªn ÷ñc méi sè h¤ng R
(−ϕ)p+jωϕn−j∧ ωj bà ch°n tr¶n bði R
(−ϕ)pωϕn. Do â, h m n«ng l÷ñng Choquet Chp(ϕ)
l húu h¤n khi v ch¿ khi R
Tø chùng minh cõa M»nh · 2.3.9 cho ta mët v½ dö v· mët h m ω - a i·u háa d÷îi ϕ (vîi ký dà compact) thäa m¢n ϕ ∈ Chp(X, ω) nh÷ng
ϕ /∈ Ep+n−1(X, ω). K¸t qu£ ti¸p theo cho chóng ta mët ph£n v½ dö v· mët h m ϕ ∈ Ep(X, ω) nh÷ng ϕ /∈ Chp(X, ω):
V½ dö 2.3.10. Gi£ sû X = CPn−1×CP1 v ω(x, y) := α(x) +β(y), trong â α l d¤ng Fubini-Study tr¶n CPn−1 v β l d¤ng Fubini-Study tr¶n
CP1. Cè ành u ∈ P SH(CPn−1, α)∩ C∞(CPn−1) v v ∈ E(CP1, β).
Khi â, ta câ h m ϕx¡c ành bði ϕ(x, y) := u(x) +v(y) vîi (x, y) ∈ X
thuëc lîp E(X, ω). Hìn núa, ta câ ωϕ = αu+βv v vîi måi 1 ≤ `≤ n ta câ
ωϕn−j = αnu−j + (n−j)αnu−j−1 ∧βv
v
ωϕn−j ∧ ωj = αun−j ∧αj + jαj−1 ∧αun−j ∧β + (n−j)αj ∧αun−j−1 ∧βv.
V¼ vªy, vîi j ≤ n−1 ta câ
ϕ ∈ Lp+j(ωϕn−j ∧ωj) ⇐⇒ v ∈ Lp+j(βv). Do â ϕ ∈ Chp(X, ω) ⇐⇒ v ∈ Ep+n−1(C P1, β), trong khi ϕ ∈ Ep(X, ω) ⇐⇒ v ∈ Ep(C P1, β). B¬ng c¡ch chån v ∈ Lp(βv)\Lp+n−1(βv), chóng ta nhªn ÷ñc mët h m
ω- a i·u háa d÷îi ϕ sao cho ϕ∈ Ep(X, ω) nh÷ng ϕ /∈ Chp(X, ω). Tr÷íng hñp cuèi còng, chóng ta nghi¶n cùu c¡c lîp h m vîi ký dà divisor thuëc c¡c lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp(X, ω) v lîp n«ng l÷ñng Choquet húu h¤n Ep(X, ω). Tr÷îc h¸t, chóng ta x¥y düng mët h m ω - a i·u háa d÷îi, bà ch°t tr¶n X vîi ký dà divisor nh÷ sau:
Cho D l mët Q-divisor v ample, gåi s l mët h m ch¿nh h¼nh ành ngh¾a nht ct LD v h l mët metric d÷ìng, nh®n cõa L. º ìn gi£n, chóng ta câ thº gi£ sû ë cong cõah l ω, do â theo cæng thùc Poincar²- Lelong, ta câ thº vi¸t
trong â [D] kþ hi»u l dáng t½ch ph¥n dåc theo D.
Gåi χ l mët h m lçi, t«ng v nh®n tr¶n X. °t ϕ = χ◦log|s|h. H m
h ÷ñc chu©n hâa sao cho χ0 ◦log|s|h ≤ 1/2. Tø â, suy ra ϕ l mët h m ω- a i·u háa d÷îi tr¶n D, bði v¼
ddcϕ = χ00 ◦L dL∧dcL+χ0 ◦L ddcL ≥ −χ0◦L ω ≥ −ω/2,
trong â L := log|s|h.
M»nh · 2.3.11. °t ϕ= χ◦log|s|h ∈ P SH(X, ω). Khi â, ta câ
ϕ∈ Chp(X, ω) khi v ch¿ khi ϕ ∈ Ep+n−1(X, ω).
Chùng minh. °t L = log|s|h. Khi â, ta câ
ω +ddcϕ = χ00 ◦L dL∧ dcL+χ0 ◦L[D] + (1−χ0 ◦L)ω.
Mët i·u ki»n c¦n º h m ϕ thuëc v o lîp n«ng l÷ñng húu h¤n l ωϕ
khæng thay êi c¡c tªp a cüc, v¼ vªy χ0(−∞) = 0 v
ω +ddcϕ = χ00 ◦L dL∧dcL+ (1−χ0 ◦L)ω.
V¼ 1
2 ≤1−χ0 ◦L ≤1 n¶n
ωϕn−j ∧ωj ∼ χ00◦L dL∧dcL∧ ωn−1 +ωn,
vîi 0 ≤ j ≤ n −1. Ð ¥y, chóng ta kþ hi»u µ ∼ µ0 c¡c ë o Radon d÷ìng µ, µ0 so s¡nh ÷ñc ·u, tùc l C−1µ ≤ µ0 ≤ Cµ vîi mët h¬ng sè d÷ìng C > 0. V¼ vªy, ta câ
ϕ ∈ Chp(X, ω) ⇐⇒ ϕ ∈ Lp+n−1(χ00 ◦L dL∧dcL ∧ωn−1)
⇐⇒ ϕ ∈ Lp+n−1(ωϕn) ⇐⇒ ϕ ∈ Ep+n−1(X, ω).
Vªy M»nh · 2.3.11 ÷ñc chùng minh.
V½ dö 2.3.12. Cho χ(t) = −(−t)α, 0 < α < 1. Khi â, ta câ
ϕ= −(−log|s|h)α ∈ Ep(X, ω) n¸u v ch¿ n¸u α < 1 p+ 1
v
ϕ = −(−log|s|h)α ∈ Chp(X, ω)n¸u v ch¿ n¸uα < 1 p+n
K¸t luªn
Luªn v«n "C¡c lîp h m Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact" ¢ ¤t ÷ñc nhúng k¸t qu£ sau ¥y:
1) Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· cõa lþ thuy¸t a th¸ và phùc v gi£i t½ch phùc nh÷ h m nûa li¶n töc tr¶n, h m a i·u háa d÷îi, to¡n tû Monge-Amp±re, h m tüa a i·u háa d÷îi, h m ω - a i·u háa d÷îi tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact (X, ω), ... Tr¼nh b y v chùng minh mët t½nh ch§t cì b£n v· c¡c h m n«ng l÷ñng Choquet, h m n«ng l÷ñng Monge - Amp±re, t½ch ph¥n Choquet, lîp Choquet-Monge-Amp±re v lîp n«ng l÷ñng húu h¤n.
2) Chùng minh mët °c tr÷ng cõa lîp Choquet-Monge-Amp±re tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact húu h¤n chi·u (ành lþ 2.2.2). Tø â, chùng minh mèi li¶n h» giúa c¡c lîp Choquet-Monge-Amp±re Chp(X, ω) v c¡c lîp c¡c h m ω - a i·u háa d÷îi câ p-n«ng l÷ñng húu h¤n tr¶n c¡c a t¤p Kahler compact húu h¤n chi·u Ep(X, ω) (H» qu£ 2.2.3). Chùng minh mët °c tr÷ng v· t½nh kh£ t½ch cõa c¡c h m thuëc lîp Choquet- Monge-Amp±re Chp(X, ω) (ành lþ 2.3.2) v mæ t£ £nh cõa to¡n tû Monge-Amp±re phùc t¡c ëng tr¶n c¡c lîp Choquet. C¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c M»nh · 2.3.3 v M»nh · 2.3.6.
T i li»u tham kh£o
[1] E. Bedford, B. A. Taylor (1982), "A new capacity for plurisubhar- monic functions". Acta Math. 149 , no. 1-2, 140.
[2] S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi (2008), "A priori estimates for weak solutions of complex Monge-Amp±re equations", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa C1. Sci. (5), Vol VII, 1-16.
[3] S. Benelkourchi, V. Guedj, A.Zeriahi (2009), "Plurisubharmonic functions with weak singularities", Complex analysis and digital ge- ometry, 57-74, Acta Univ. Upsaliensis Skr. Uppsala Univ. C Or- gan. Hist., 86, Proceedings of the conference in honor of C.Kiselman (Kiselmanfest, Uppsala, May 2006) Uppsala Universitet, Uppsala. [4] R. Berman, S. Boucksom, V. Guedj, A. Zeriahi (2013), "A
variational approach to complex Monge-Amp±re equations", Publ.Math.I.H.E.S. 117, 179-245.
[5] N.Bourbaki (1974), "El²ments de math²matiques, Topologie g²n²rale", Hermann, , livre III Chap 9.
[6] S. Boucksom, P. Eyssidieux, V. Guedj (2013), "An introduction to the Kahler-Ricci flow", Lecture Notes in Math., 2086 , Springer, Heidelberg.
[7] E. Di Nezza (2016), "Finite pluricomplex energy measures". Poten- tial Analysis, Volume 44, pages 155167.
[8] P. Eyssidieux, V. Guedj, A. Zeriahi (2008), "A priori L∞-estimates for degenerate complex Monge-Amp±re equations", International Mathematical Research Notes, Vol. 2008, Article ID rnn070, 8 pages. Doi:10.1093/imrn/rnn070.
[9] P. Eyssidieux, V. Guedj, A. Zeriahi (2009), "Singular Kahler- Einstein metrics". J. Amer. Math. Soc. 22, 607-639.
[10] Guedj, V., Sahin, S. Zeriahi (2017), "A. Choquet-Monge-Amp±re Classes", Potential Analysis, volume 46, pages 149165.
[11] V. Guedj, A. Zeriahi (2007), "The weighted Monge-Amp±re energy of quasiplurisubharmonic functions", J. Funct. An. 250, 442-482. [12] V. Guedj, A. Zeriahi (2005), "Intrinsic capacities on compact Kahler