2.1 Lịch sử vấn đề
2.1.1 Lịch sử ra đời của bất đẳng thức hình học JackGarfunkel Garfunkel
Vào năm 1966 nhà toán học Mỹ là Jack Garfunkel đã làm thử một thí nghiệm thú vị sau đây: Ông chọn một cách ngẫu nhiên 500 tam giác và quyết định dùng máy tính điện tử kiểm tra thử xem từ 500 tam giác đó liệu có rút ra được một quy luật chung nào giữa các yếu tố của tam giác như cạnh, trung tuyến, phân giác, đường cao,. . . hay không? Kết quả là ông đã tìm ra một quy luật về mối liên hệ giữa các cạnh và đường đặc biệt trong tam giác. Kết quả đó là: Giả sử
a, b, c là các cạnh của ∆ABC; ha, mb, lc tương ứng là đường cao hạ xuống cạnh
a, trung tuyến ứng với cạnhb và phân giác trong của góc C của tam giác ABC. Khi đó ta luôn có mối quan hệ sau đây
ha+mb+lc ≤ √
3
2 (a+b+c).
Vậy vấn đề là ta cần phải xét xem giả thuyết của Jack Garfunkel là đúng hay sai? Gần chục năm sau, năm 1975 nhà toán học C.S. Gardner(Mỹ) đã chứng minh được rằng khẳng định của Jack Garfunkel là đúng đắn.
Hiện nay có nhiều bất đẳng thức liên quan đến nhà toán học Jack Garfunkel. Luận văn chỉ đề cập đến một bất đẳng thức là ha +mb +lc ≤
√ 3
2 (a+b+c) nên luận văn xin được phép gọi bất đẳng thức này là “Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel”
2.1.2 Mô tả thí nghiệm của Jack Garfunkel
Tác giả đã sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad để mô phỏng lại thí nghiệm của Jack Garfunkel. Dữ liệu đầu vào là độ dài ba cạnh của tam giác. Dữ liệu đầu ra là tổng độ dài ba cạnh của tam giác; tổng độ dài đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh khác nhau của tam giác ban đầu và so sánh các kết quả đó.
Kết quả thí nghiệm là: Khi thay đổi vị trí các đình tương ứng với các tam giác có độ dài các cạnh khác nhau ta đều thu được bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel. (Hàm dấu trong hình cho biết rằng nếu bất đẳng thức đúng thì sẽ trả lại 1; nếu dấu bằng xảy ra thì sẽ trả lại 0 và nếu bất đẳng thức sai thì trả lại −1).