Cho tập thuộc tínhU. Một phụ thuộc hàm (PTH) trên U là công thức dạng
f: X Y; X, Y U
trong đó ta gọi X là vế trái và Y là vế phải của PTH f.
Cho quan hệ R(U) và một PTH f: X Y trên U. Ta nói quan hệ R thoả PTH f, hoặc PTH f đúng trong quan hệ R và viết R(f), nếu hai bộ tuỳ ý trong R
giống nhau trên X thì chúng cũng giống nhau trên Y,
R(XY) (u,vR): (u.X = v.X) (u.Y = v.Y)
Nếu f: X Y là một phụ thuộc hàm trên U thì ta nói tập thuộc tính Y phụ thuộc (hàm) vào tập X, hoặc tập thuộc tính X xác định hàm tập thuộc tính Y.
Nếu Y không phụ thuộc hàm vào X thì ta viết X !Y hoặc (XY).
Cho tập PTH F trên tập thuộc tính U. Ta nói quan hệ R(U) thoả tập PTH
F, và viết R(F), nếu R thoả mọi PTH trong F: R(F) (f F): R(f)
Cho trước tập thuộc tính U, ký hiệu SAT(F) là tập toàn thể các quan hệ trên U thoả tập PTH F.
Cho tập các quan hệ trên U, ký hiệu FD() là tập các PTH trên U đúng trong mọi quan hệ của .
Cho tập PTH F trên tập thuộc tính U. Bao đóng của F, ký hiệu F+ là tập nhỏ nhất các PTH trên U chứa F và thoả các tính chất F1 - F3 của hệ tiên đề Armstrong Ao sau đây:
X, Y, Z U:
F1. Tính phản xạ: Nếu X Y thì X Y F+
F2. Tính gia tăng: Nếu XY F+ thì XZYZ F+
Chú ý: Các PTH có vế trái chứa vế phải như mô tả trong (F1) được gọi là tầm thường. Các PTH tầm thường thoả trong mọi quan hệ.
Cho tập thuộc tính U. Một phụ thuộc hàm nới lỏng trên U là công thức dạng
f: (γ)X (δ)Y; X, Y U
trong đó ta gọi X là vế trái và Y là vế phải của phụ thuộc hàm nới lỏng f. Cho quan hệ R(U) và một phụ thuộc hàm nới lỏng f: (γ)X (δ)Y trên U. Ta nói quan hệ R thoả phụ thuộc hàm nới lỏng f, hoặc phụ thuộc hàm nới lỏng
f đúng trong quan hệ R và viết R(f), nếu hai bộ tuỳ ý trong R thỏa điều kiện γ
và giống nhau trên X thì chúng cũng giống nhau trên miền Y thỏa điều kiện δ,
R(XY) (γ)X, (δ)Y, (u,vR): (u.X = v.X) (u.Y = v.Y)
Nếu f: (γ)X (δ)Y là một phụ thuộc hàm nới lỏng trên U thì ta nói tập thuộc tính Y phụ thuộc (hàm) nới lỏng vào tập thuộc tính X, hoặc tập thuộc tính
X xác định hàm nới lỏng tập thuộc tính Y.
Một ví dụ về phụ thuộc hàm nới lỏng là phân loại học sinh. Hai học sinh có thể có điểm khác nhau nhưng vẫn được xếp vào cùng loại.
f: (a ĐTB b)ĐTB (true)Loại
Phụ thuộc hàm nới lỏng f cho biết hai học sinh có điểm trung bình (ĐTB) trong cùng một đoạn [a; b] thì có cùng loại đánh giá.
Một ví dụ khác là tính học bổng cho sinh viên. Hai sinh viên có thể có ĐTB khác nhau nhưng vẫn cùng nhận được mức học bổng (HB) như nhau.
g: (a ĐTB b)ĐTB (true)HB
Phụ thuộc hàm nới lỏng g cho biết hai sinh viên có ĐTB trong cùng một đoạn [a; b] thì có cùng mức học bổng.
Trong công trình của nhóm nghiên cứu Loredana Caruccio, Vincenzo Deufemia, và Giuseppe Polese [7] đã phân loại hầu hết các phụ thuộc hàm nới lỏng từ năm 1970 đến 2016. Trong công trình này, nhóm tác giả phân tích chi
tiết các tính chất và ứng dụng của PTH nới lỏng. Một phân chia chi tiết thành 19 loại PTH nới lỏng khác nhau cũng được liệt kê trong tài liệu này.