dưới dạng tương đương sau:
Cho đường thẳng d = x(m)Ox và đường gấp khúc gồm m.n đoạn với độ dài
mỗi đoạn đã biết. Hãy dùng đường gấp khúc này cùng với đường thẳng d
giới hạn một miền có diện tích lớn nhất.
Đây lại là Bài toán 2.1.12 mà ta đã biết lời giải.
Nhận xét 2.1.3. Bài toán 2.1.13 đã giả thiết xOyd = π
m, m ∈ N∗, việc đưa thêm giả thiết này là nhằm mục đích sau khi áp dụng phép đối xứng trục (m−1) lần, ta nhận được góc xOx\(m) = π, Bài toán 2.1.13 đưa về Bài toán 2.1.12
Bài toán 2.1.14. Đa giác n đỉnh đã biết độ dài tất cả các cạnh
A1A2 = a1, A2A3 = a2, ..., An−1An = an−1, AnA1 = an.
Nếu diện tích nó lớn nhất, nó phải là đa giác nội tiếp.
Giải.
1. Cách thứ nhất.
Để giải bài toán, trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.1.3. Một đa giác có tính chất: bốn đỉnh liên tiếp bất kỳ của đa giác là tứ giác nội tiếp, thì đa giác đó là đa giác nội tiếp.
Chứng minh. Xét 4 đỉnh liên tiếp A1, A2, A3, A4, theo giả thiết thì tứ giác A1A2A3A4 là tứ giác nội tiếp một đường tròn C nào đó. Xét 4 đỉnh A2, A3, A4, A5, tứ giác này cũng nội tiếp đường tròn C vì 2 tứ giác có chung 3 đỉnh. Ta lại xét tứ giác A3A4A5A6, tứ giác này cũng là tứ giác nội tiếp đường tròn C, vì nó có chung 3 đỉnh A3, A4, A5 với đa giác trước đó. Lặp lại lý luận, ta có kết luận của bổ đề.
Bây giờ ta chứng minh bài toán. Giả sử ngược lại, đa giác không là đa giác nội tiếp. Khi đó, theo bổ đề 2.1.3 tồn tại 4 đỉnh Ai, Aj, Ak, Al
theo thứ tự không thuộc một đường tròn. Áp dụng phương pháp bản lề, ta coi 4 đỉnhAi, Aj, Ak, Al là 4 bản lề, nghĩa là 4 góc cAi,Acj,Ack,cAl
có thể thay đổi độ lớn, các đỉnh còn lại được gắn cứng, hay là 4 viên phân với các dây cung là các cạnh
AiAj, AjAk, AkAl, AlAi
rắn tuyệt đối. Co dãn tứ giác AiAjAkAl cho đến khi tứ giác đó trở thành tứ giác nội tiếp. Như vậy ta nhận được đa giác mới có các cạnh tương ứng với các cạnh đa giác ban đầu, nhưng có diện tích lớn hơn. Điều này trái với giả thiết diện tích đa giác đã đạt giá trị lớn nhất. 2. Cách thứ hai. (xem [2])
Giả sử có 2 đa giác P = A1A2...An và P′ = A′
1A′
2...A′
n có các cạnh tương ứng bằng nhau
A1A2 = A′1A′2, A2A3 = A′2A′3, ..., AnA1 = A′nA′1.
Nhưng trong các cặp góc tương ứng có những cặp góc không bằng nhau, tức là tồn tại cặp góc Ack và Ac′
k sao cho Ack 6= Ac′
k. Đa giác P là đa giác nội tiếp, còn đa giác P′ thì không nội tiếp (xem hình 2.13) Nối đỉnh Aj với tâm O đường tròn ngoại tiếp và kéo dài cho cắt đường tròn ngoại tiếp tại M, giả sử M thuộc cung A1A2. Trên đa giác P′
ta dựng tam giác A′1M′A′2 sao cho
A′1M′A′2 = A1MA2.
So sánh đa giác MA2A3...Aj với đa giác M′A′
2A′
3...A′
j hai đa giác này có các cạnh tương ứng bằng nhau, trừ cạnh AjM và cạnh A′jM′.
Suy ra:
dt(MA2A3...Aj) > dt(M′A′2A′3...A′j).
Tương tự như trên, ta cũng có:
dt(MAj...AnA1) > dt(M′A′j...A′nA′1).
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên
dt(MA1MA2A3...Aj...An−1An) >
dt(A′1M′A′2A′3...A′j...A′n−1A′n). (2.10) Vì A′1M′A′2 = A1MA2, trong mỗi vế đẳng thức trên chứa một tam giác, trừ mỗi vế tam giác này, ta nhận được
dt(A1A2A3...Aj...An−1An) >
dt(A′1A′2A′3...A′j...A′n−1A′n). (2.11)
Bài toán 2.1.14 được chứng minh.
2.2 Bài toán Diana
Theo Thần Thoại Hy Lạp, thì Diana là con gái Thần Rượu nho, nàng được vua cha ban cho một sợi dây thừng bằng da bò, nàng dùng sợi dây này vây một miếng đất ven biền. Một vấn đề đặt ra là phải vây làm sao để được mành đất có diện tích lớn nhất? Trong chương này ta sẽ giải Bài
Toán Diana và các tương tự của nó.
Bài toán 2.2.1. (1 sợi dây, 1 đoạn thẳng)Cho một sợi dây dài l và một đoạn thẳng AB = a. Hãy dùng sợi dây và đoạn thẳng giới hạn một miền phẳng có diện tích lớn nhất.
Giải. Ta gọi miền phẳng giới hạn bởi sợi dây và đoạn thẳng AB là F.
B A
C D