2 Đặc trưng của nón pháp tuyến của tập chấp nhận được và
2.2.2. Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker không qua Điều kiện
John
Nhiều tác giả đã nghiên cứu điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm tối ưu của (1.2). Họ thiết lập các điều kiện Fritz John và đưa vào điều kiện chính quy để nhận được điều kiện Karush-Kuhn-Tucker. Ta có sơ đồ sau:
Cực tiểu ⇒ (FJ) ⇒ (KKT).
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng đặc trưng của NK(x), đã chứng minh trong Định lý 2.2, để nhận được điều kiện Karus-Kuhn-Tucker mà không cần sử dụng điều kiện Fritz John. Ta có sơ đồ dưới đây:
cực tiểu + (đặc trưng của NK)⇒ (KKT).
Định lí 2.4 Giả sử f có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f(x) tại
x ∈K. Nếu x là nghiệm tối ưu của (1.2) thì
0 ∈ cl(co(∂∗f(x)) +NK(x)). Chứng minh Ta có sup η∈∂∗f(x) hη, di ≥ 0,∀d ∈DK(x). (2.7) Bằng chứng minh phản chứng ta giả sử f+(x;d) = sup
η∈∂∗f(x)
hη, di < 0 với
d ∈DK(x) nào đó. Điều này kéo theo tồn tại t > 0 thỏa mãn x+td ∈ K và
f(x+td)< f(x). Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của x. Từ (2.7) ta có
sup
η∈∂∗f(x)
Do đó
sup
η∈co(∂∗f(x))
hη, di+ITK(x)(d) ≥ 0,∀d ∈Rn,
trong đó ITK(x)(.) là hàm chỉ (ITK(x)(d)(bằng 0 nếu d∈ TK(x) và ∞ nếu d /∈
TK(x)). Theo Hiriart-Urruty và Lemarecha ([4], Example V2.3.1),ITK(x)(d) = sup η∈NK(x) hη, di với mỗi d. Do đó sup η∈co(∂∗f(x))+NK(x) hη, di ≥ 0,∀d∈ Rn.
Từ đó, theo Hiriart-Urruty và Lemarechal ([4], Theorem V2.3.1), ta có
0 ∈ cl(co(∂∗f(x)) +NK(x)),
Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.2 Giả sử x∈ K, int K 6= ∅, (GLCQ) đúng, và f có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f(x) bị chặn tại x. Hơn nữa, giả sử gi với i /∈ I(x)
là nửa liên tục trên tại x. Nếu x là nghiệm tối ưu của (1.2) và cone(Γ(x))
là đóng, tồn tại λi ≥ 0, i ∈ I(x) sao cho
0 ∈ co(∂∗f(x)) + X
i∈I(x)
λico(∂∗gi(x)).
Chứng minh
Nó là hệ quả của Định lý 2.4 và nhận xét 2.1.
Định lý 2.4 và Hệ quả 2.2 là điều kiện cần tối ưu. Trong Định lý 2.5, ta có điều kiện đủ tối ưu với hàm mục tiêu giả lồi tiệm cận.
Định nghĩa 2.2 Giả sử h : Ω ⊆ Rn → R∪ {∞} có dưới vi phân suy rộng chính quy trên tại x ∈ Ω. Hàm h được gọi là giả lồi tiệm cận (asymptotic pseudoconvex) tại x nếu với mọi y ∈Ω,
({ζk} ⊆ co(∂∗h(x)), lim
k→∞hζk, y−xi ≥ 0) ⇒h(y) ≥ h(x).
Hàm h được gọi là giả lồi tiệm cận trên Ω nếu nó giả lồi tiệm cận tại mọi điểm của Ω.
Định lí 2.5 Giả sử f là giả lồi tiệm cận với dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f(x) tại x ∈ K. Nếu tồn tại λi ≥ 0, i ∈ I(x) sao cho
0 ∈ co(∂∗f(x)) + X
i∈I(x)
λico(∂∗gi(x)), (2.8) thì x là nghiệm tối ưu của (1.2).
Chứng minh
Theo phần đầu của chứng minh Định lý 2.2, (2.8) kéo theo 0 ∈
co(∂∗f(x)) +NK(x). Vì thế, −η ∈ NK(x) với η ∈ co(∂∗f(x)) nào đó. Từ đó ta nhận được
hη, y−xi ≥ 0,∀y ∈ K.
Định lý được chứng minh do tính giả lồi có tiệm cận của f tại x.
Hệ quả 2.3 Cho x ∈ K. Giả sử gi với i /∈ I(x) là nửa liên tục trên tại x,
int K 6= ∅ và (GLCQ) đúng tại x. Hơn nữa, giả sử rằng f có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f(x) bị chặn. Nếu x là nghiệm tối ưu của (1.2) và với mỗi i ∈ I(x), cone(∂∗gi(x)) là đóng, thì tồn tại λi ≥ 0, i ∈ I(x) sao cho
0 ∈ co(∂∗f(x)) + X
i∈I(x) λiBi,
trong đó Bi là cơ sở lồi compắc của cone(∂∗gi(x)). Nếu f là giả lồi tiệm cận tại x, thì điều kiện này là điều kiện đủ tối ưu.
Chứng minh
Áp dụng Hệ quả 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5.
Ta kết thúc phần này với một ví dụ. Trong ví dụ sau, hàm ràng buộc
g không là Lipschitz địa phương trong khi tập chấp nhận được là đóng và lồi.
Ví dụ 2.1 Xét bài toán tối ưu
trong đó f(x1, x2) = −x1 −x2 và g(x1, x2) = x1 +x2, x1, x2 ≤ 0, p
|x1|+p|x2|, trong các trường hợp còn lại Đặt K = {(x1, x2) : g(x1, x2)≤ 0}. Ta thấy g+((0,0); (v1, v2)) = v1 +v2, v1, v2 ≤ 0, +∞, trường hợp còn lại Hai tập hợp ∂∗f(0,0) = {(−1,−1)} và ∂∗g(0,0) = {(1 + t,1 + 1t) : t > 0} ∪ {(1,1)} là các dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f và g tại
x = (0,0). Hơn nữa, (0,0) ∈/ ∂∗g(0,0). Mặt khác, (1,1) ∈ ∂∗g(0,0). Do đó,
(0,0) ∈ ∂∗f(0,0) +∂∗g(0,0). Vì vậy (0,0) là điểm Karush-Kuhn-Tucker và do đó nó là nghiệm tối ưu.