2 Bài toán vận tải với hai mục tiêu
2.2.2 Tìm các nghiệm cơ sở hữu hiệu của (MP)
Thuật toán sau đây cho phép tìm tất cả các nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải hai mục tiêu dạng chi phí - nút thắt (2.8) - (2.11).
Thuật toán gồm 7 bước:
Bước 1. Từ bài toán(M P)lập bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian.
Bước 2. Dùng thuật toán chắn giải bài toán theo mục tiêu thời gian vừa xây dựng. Giả sử nghiệm tối ưu nhận được làt0. Lưu ýt0 ≥ t1 = tmin (xem (2.6).
Bước 3. Từ bài toán(M P)lập bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí.
Bước 4. Dùng thuật toán thế vị giải bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí vừa thiết lập, đồng thời tính thời gian vận chuyển tương ứng với phương án tối ưu đã tìm được. Giả sử đó làtm.
Bước 5. Với mỗi thời hạnτ ∈ [t0, tm]tính hệ sốα = (tm−τ)/(tm−t0), biểu thị mức độ hài lòng đối với thời hạnτ.
Bước 6. Với mỗiτ ∈ [t0, tm]xây dựng bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí với hạn chế không chuyển hàng trên ô(i, j)màtij > τ và giải bài toán theo thuật toán thế vị.
Bước 7. Với mỗiτ một nghiệm tối ưu của bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí X(τ) nhận được ở Bước 6 có mức độ hài lòng α. Khi đó, (X(τ), τ) là một nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải hai mục tiêu(M P).
Ví dụ 2.2.Xét bài toán vận tải kích thước 3×4với hai mục tiêu (cước phí và thời gian) sau đây với dữ liệu của bài toán được cho trong Bảng 2.1: Các số ghi ở góc trên bên trái mỗi ô(i, j) là thời gian đi từ điểm phát i tới điểm thu j, còn số ghi ở góc dưới bên phải ô(i, j)là cước vận chuyển một đơn vị hàng từ i tới j. Lượng cung của các điểm phát ghi ở cột bên trái của bảng và lượng cầu của các điểm thu ghi ở dòng trên cùng của bảng.
1. Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian của(M P) cho ở Bảng 2.2.
2. Giải bài toán này theo thuật toán chắn (xem Ví dụ 2.1), ta nhận được phương án tối ưu với thời gian vận chuyển nhanh nhất làt0 = 66. (Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ hai mỗi ô của Bảng 2.2).
3. Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí của (MP) cho ở Bảng 2.3.
4. Giải bài toán này theo thuật toán thế vị (xem Mục 1.4), ta nhận được phương án tối ưu X∗ với cước phí vận chuyển nhỏ nhất là f∗ = 348. (Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ nhất mỗi ô của Bảng 2.3). Thời gian vận chuyển của phương án này là tX∗ = 95 (xem thời gian ở Bảng 2.2). Như vậy ta thấy t0 = 66, tm = 95. ĐặtM = {66, 68, 73, 95}.
5. Với mỗi τ ∈ M để tìm phương án của (M P) có thời gian vận chuyển bằngτ, ta lập và giải bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí với điều kiện (2.9) - (2.11) và có thêm hạn chế: cấm vận chuyển hàng trên các ô(i, j) màtij > τ (đặt cij = +∞nếutij > τ).
+ Ta bắt đầu vớiτ = 73 < 95. Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí tương ứng được cho ở Bảng (2.4).
6. Giải bài toán này theo thuật toán thế vị (xem Mục 1.4), ta nhận được phương án tối ưu X∗ với cước phí vận chuyển nhỏ nhất là f∗ = 351. (Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ nhất mỗi ô của Bảng 2.4).
+ Tiếp theo, với τ = 68 < 73 bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí tương ứng được cho ở Bảng 2.5.
Giải bài toán này theo thuật toán thế vị (xem Mục 1.4), ta nhận được phương án tối ưu X∗ với cước phí vận chuyển nhỏ nhất là f∗ = 356. (Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ nhất mỗi ô của Bảng 2.5).
+ Cuối cùng, vớiτ = 66 < 68bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí tương ứng được cho ở Bảng 2.6.
Giải bài toán này theo thuật toán thế vị (xem Mục 1.4), ta nhận được phương án tối ưu X∗ với cước phí vận chuyển nhỏ nhất là f∗ = 381. (Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ nhất mỗi ô của Bảng 2.6).
Tóm lại, chương này đã đề cập tới bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian và trình bày thuật toán chắn giải bài toán, nhờ đưa về giải dãy bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí (dùng thuật toán thế vị để giải). Sau đó, xét bài toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển. Cuối chương trình bày cách tìm các nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải hai mục tiêu cùng với ví dụ tính toán cụ thể.
Chương 3
Bài toán vận tải với ba mục tiêu
Chương này đề cập tới mô hình bài toán vận tải dạng nút thắt với ba tiêu chuẩn mục tiêu và trình bày thuật toán tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán. Nội dung của chương dựa chủ yếu vào tài liệu [6].
3.1 Nội dung bài toán
Xét mô hình bài toán vận tải ba tiêu chuẩn mục tiêu dạng nút thắt với hai hàm mục tiêu phân thức sau đây:
min{z1, z2, z3}, (3.1) trong đó z1 = m P i=1 n P j=1 cijxij max i,j {tij : xij > 0}, z2 = m P i=1 n P j=1 dijxij max
i,j {tij :xij > 0}, z3 = maxi,j {tij : xij > 0}, với các điều kiện
n X j=1 xij = ai, i = 1, . . . , m, (3.2) m X i=1 xij = bj, j = 1, . . . , n, (3.3) xij ≥ 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (3.4) m X i=1 ai = n X j=1 bj. (3.5)
trong đó cij là cước vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j, dij là thiệt hại (hao hụt chẳng hạn) khi vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát itới điểm thu j, tij là thời gian đi từ điểm phát i tới điểm thuj, ai là lượng cung của điểm phát i, bj là lượng cầu của điểm thu j và xij biểu thị lượng hàng được chuyển từ điểm pháti tới điểm thuj. Ở đây (3.5) là điều kiện cân bằng cung cầu.
z1 biểu thị chi phí vận chuyển trung bình (tính trên một đơn vị thời gian vận chuyển),z2 là thiệt hại trung bình trong quá trình vận chuyển (tính trên một đơn vị thời gian vận chuyển) vàz3là thời gian vận chuyển của phương ánX = (xij)m×n. Điều kiện (3.2) yêu cầu mọi điểm phát giao hết hàng, điều kiện (3.3) đảm bảo mọi điểm thu nhận đủ hàng và điều kiện (3.4) đòi hỏi lượng hàng vận chuyển không âm.
Các khái niệm nghiệm hữu hiệu (hữu hiệu yếu), nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải với nhiều hàm mục tiêu được hiểu theo nghĩa thông thường (tương tự các Định nghĩa 2.2 - 2.4).
Để giải bài toán (3.1) - (3.5) nhằm tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu, ta đưa bài toán về mô hình sau.
min{z1 = m X i=1 n X j=1 cijxij, z2 = m X i=1 n X j=1 dijxij, z3 = max i,j {tij : xij > 0}} (3.6)
với các điều kiện
n X j=1 xij = ai, i = 1, . . . , m, (3.7) m X i=1 xij = bj, j = 1, . . . , n, (3.8) xij ≥ 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (3.9) m X i=1 ai = n X j=1 bj. (3.10)
Định lý 3.1. Tập các nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán (3.1) - (3.5) và (3.6) - (3.10) hoàn toàn trùng nhau.
Chứng minh. Giả sử X1 = (x1ij)m×n là một nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán (3.1) - (3.5) vàt1 = max
i,j {tij : x1ij > 0}. Từ định nghĩa của nghiệm hữu hiệu cho thấy rằng với mỗi nghiệm chấp nhận đượcX2 = (x2ij)m×n của (3.1) - (3.5) và t2 = max i,j {tij : x2ij > 0}}thì các bất đẳng thức ( z1(X1) < z1(X2) và z2(X1) ≤ z2(X2) hoặc z1(X1) ≤ z1(X2) và z2(X1) < z2(X2). (3.11) trong đó0 ≤t2 ≤ t1, là đúng.
Giả sử X1 không phải là một nghiệm hữu hiệu của mô hình (3.6) - (3.10). Lập luận tương tự như trước, từ định nghĩa của nghiệm hữu hiệu suy ra rằng tồn tại nghiệm chấp nhận đượcX2 của (3.6) - (3.10) và t2 tương ứng sao cho các bất đẳng thức ( z1(X2) t2 < z1(X1) t1 và z2(X2) t2 ≤ z2(X1) t1 hoặc z1(X2) t2 ≤ z1(X1) t1 và z2(X2) t2 < z2(X1)t1. (3.12) trong đó 0≤ t2 ≤t1, là đúng.
Nhân các bất đẳng thức (3.12) với t1 và đặt k = t1/t2 ta thấy các bất đẳng thức sau đây là đúng ( kz1(X2) < z1(X1) và kz2(X2) ≤ z2(X1) hoặc kz1(X2) ≤ z1(X1) và kz2(X2) < z2(X1). (3.13) trong đó0 ≤t2 ≤ t1.
thức sau đây đúng
( z1(X2) < z1(X1) và z2(X2) ≤ z2(X1)
hoặc
z1(X2) ≤ z1(X1) và z2(X2) < z2(X1).
(3.14)
trong đó0 ≤t2 ≤ t1. Điều này trái với (3.11).
Bằng cách tương tự, có thể chứng minh rằng mỗi nghiệm cơ sở hữu hiệu của (3.6) - (3.10) cũng là một nghiệm cơ sở hữu hiệu của (3.1) - (3.5).
Ý tưởng trên được mở rộng cho mô hình bài toán vận tải dạng nút thắt với p (p ≥ 2) hàm mục tiêu phân thức. Khi đó, ta cũng có kết luận rằng có thể tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán ban đầu bằng cách tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của mô hình đơn giản hơn:
min{z1 = m X i=1 n X j=1 c1ijxij, . . . , zp = m X i=1 n X j=1 cpijxij, zp+1 = max i,j {tij : xij > 0}} (3.15)
với cùng các điều kiện (3.7) - (3.10).
Ở đây, các giá trị ckij (k = 1, . . . , p, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) được giải thích phù hợp với tiêu chuẩn mục tiêu tương ứng.
Tính đúng đắn của kết luận giống như trong Định lý 3.1 đối với mô hình (3.15), (3.7) - (3.10) được chứng minh tương tự.
Rõ ràng mô hình (3.6) - (3.10) là một trường hợp riêng của mô hình (3.15), (3.7) - (3.10). Vì thế, có thể dùng thuật toán giải mô hình (3.15), (3.7) - (3.10) để giải mô hình (3.6) - (3.10).
Mục tiếp theo sẽ trình bày phương pháp tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của mô hình (3.6) - (3.10).
3.2 Tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu
Theo Bổ đề 2.1, thời gian vận chuyển tối thiểu đối với mọi phương án của bài toán (3.6) - (3.10) bằngtmin, trong đótmin được xác định theo (2.6).
Ký hiệutmax = max{tij : i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}. Có thể thấy rằng tmin ≤ z3 ≤tmax.
Ký hiệu t1, . . . , tq là các giá trị khác nhau, xếp theo thứ tự tăng dần của mọi tij ∈ [tmin, tmax]vớit1 = tmin vàtq = tmax.
Thuật toán tìm tậpnghiệm cơ sở (tức tậpphương án cực biêntheo Định nghĩa 2.2) hữu hiệu của mô hình (3.6) - (3.10) là một thuật toán lặp, gồm một số hữu hạn vòng lặp. Mỗi vòng tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải thu hẹp hai mục tiêu: min{z1 = m X i=1 n X j=1 cijxij, z2 = m X i=1 n X j=1 dijxij} (3.16)
với các điều kiện (3.7) - (3.10) và điều kiện thu hẹp dạng:
xij = 0 với mọi(i, j) mà tij > τ, (3.17)
trong đóτ là một giá trị nào đó τ ∈ {t1, t2, . . . , tq}. Do đó số vòng lặp tối đa là q.
Giả sử tk là số nhỏ nhất trong dãy t1, t2, . . . , tq sao cho hệ điều kiện (3.7) - (3.10) và (3.17) vớiτ = tk có nghiệm.
Như đã biết (theo Định nghĩa 1.1 và Định lý 1.1), mỗi nghiệm cơ sở X = (xij)m×ncủa hệ ràng buộc (3.7) - (3.10) tương ứng với một tập gồm (m+n−1)
ô của bảng vận tải (Bảng 1.1) không chứa chu trình. Ký hiệu tập ô này làGX. Mỗi nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải thu hẹp (3.16), (3.17) với τ = tk, tk+1, . . . , tq sẽ là một nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải dạng nút thắt (3.6) - (3.10), với giá trị mục tiêu(z1, z2, τ).
Sau đây là thuật toán thực hiện ý tưởng của phương pháp giải vừa mô tả.
THUẬT TOÁN Bước 0. (Khởi sự):
Tínhtmintheo (2.6),tmax = max{tij : i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}. Sắp xếp các giá trị khác nhau củatij ∈ [tmin, tmax]theo thứ tự tăng dần
t1 = tmin < t2 < . . . < tq = tmax.
Đặt k = 1.
Bước 1. Tìm nghiệm cơ sở hữu hiệu ban đầu: Gánτ = tk.
Lập và giải bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phí (các ô(i, j)với cij = +∞xem như bị cấm)
C =
(
c1ij nếu tij ≤ τ
+∞ nếu tij > τ.
(3.18)
a. Nếu trị tối ưu bằng +∞thì quay lai thực hiện Bước 1 vớik ← k+ 1. b. Trái lại, tìm tất cả các lời giải của bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí này (nếu bài toán có nhiều lời giải). Lời giải nào có tổng cước phí tính theo C2 nhỏ nhất sẽ là một nghiệm cơ sở hữu hiệu ban đầu của (3.6) - (3.10), ký hiệuS1. Lưu giữ (ghi)S1 vào danh sáchL. Chuyển sang thực hiện Bước 2.
Bước 2. (Tìm các nghiệm cơ sở hữu hiệu kề S1): Các nghiệm cơ sở hữu hiệu kề S1 được tìm bằng cách chỉ dùng các ô không bị cấm(cij < +∞) và chỉ phân hàng vào các ô(i, j)có∆ij = 0 tính theoC1 hoặc C2. Ghi nghiệm hữu hiệu tìm được vào danh sáchL, nếu trước đó nó chưa có trongL.
Bước 3. Nếu k = q thì dừng thuật toán. Trái lại, đặt k ← k + 1. Sửa lại C theo (3.18) vớiτ = tk mới và chuyển sang thực hiện Bước 4.
Bước 4. (Khảo sát các nghiệm cơ sở hữu hiệu đã ghi trongL): Mỗi nghiệm cơ sở hữu hiệu trongL sẽ được xem xét để tìm các nghiệm cơ sở hữu hiệu mới ứng
với z3 = τ. Bằng cách lần lượt đưa các ô có cij = τ vào cơ sở và xét các giá trị mục tiêu tương ứng. Nếu giá trị này không bị vượt trội bởi giá trị mục tiêu của bất cứ nghiệm hữu hiệu nào đã ghi trongL, thì ta nhận được một nghiệm cơ sở hữu hiệu mới. Lưu giữ (ghi) nghiệm hữu hiệu này vào danh sáchL. Quay lại thực hiện Bước 3.
Tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải đa mục tiêu được chọn ra từ tập nghiệm cơ sở của các ràng buộc vận tải (3.7) - (3.10).
Định lý 3.2. Thuật toán nêu trên sẽ cho tập tất cả các nghiệm cơ sở hữu hiệu của bài toán vận tải đa mục tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10).
Chứng minh. Ký hiệu L là danh sách các nghiệm cơ sở hữu hiệu của mô hình (3.6) - (3.10) tìm được bằng cách áp dụng thuật toán đã nêu. Giả thiết tồn tại nghiệm cơ sở hữu hiệuS0 không được tìm bằng thuật toán đó và S0 6∈ L.
Giả sử S0 tương ứng với thời gian vận chuyển τ0 = tk với mộttk nào đó thuộc tập{t1, . . . , tq}. Một sự khảo sát rộng khắp nhánh cố định này dẫn tới ghi lại tất cả các nghiệm cơ sở của nhánht0. Như vậy, tất cả các nghiệm cơ sở tương ứng với thời giant0 đều được chứa trong tập này. Ta sẽ tách ra từ đó tập các nghiệm cơ sở hữu hiệu tương ứng với thời giant0, ký hiệuLt0 . Rõ ràngLt0 ⊂ L. Kết quả là nếu S0 ∈ Lt0 thì S0 là một nghiệm cơ sở hữu hiệu được tìm thấy theo thuật toán đã nêu, còn nếu S0 6∈ Lt0 thì S0 không phải là một nghiệm cơ sở và do đó không là nghiệm cơ sở hữu hiệu. Vì vậy, hoặcS0 không phải là một nghiệm cơ sở, hoặc S0 nằm trong danh sáchL và định lý được chứng minh.
Sau đây là một ví dụ cụ thể minh họa cho thuật toán đã trình bày.
3.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 3.1. Tìm tập nghiệm cơ sở hữu hiệu của mô hình bài toán vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10) vớim = 3điểm phát,n = 4điểm thu, véctơ cung
a, véctơ cầub, ma trận thời gianT và hai ma trận chi phíC1 và C2 cho sau đây: a = (8 19 17), b = (11 3 14 16), T = 10 95 73 52 68 66 30 21 37 63 19 23 , C1 = 1 2 7 7 1 9 3 4 8 9 4 6 , C2 = 4 4 3 4 5 8 9 10 6 2 5 1 .
Bước 0. Tínhtmintheo (2.6) ta được
tmin = max{10, 21, 19, 10, 63, 19, 21} = 63.
Sắp xếp các giá trị khác nhau của tij ≥ tmin theo thứ tự tăng dần:
t1 = 63, t2 = 66, t3 = 68, t4 = 73, t5 = 95 (q = 5).
Đặt k = 1.
Bước 1. (Tìm nghiệm cơ sở hữu hiệu ban đầu): Gán τ = tk. Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phíC tính theo (3.18), được cho ở Bảng 3.1: Cước phí ghi ở góc phải dòng thứ hai mỗi ô của bảng. (Đặt cij = +∞ với những ô(i, j)cótij > τ trừ các ô tô bóng mờ).
Giải bài toán này theo thuật toán thế vị (xem Mục 1.4), ta nhận được nghiệm cơ sở tối ưu duy nhất S1 với cước phíz1(S1) = 176(tính theo C1) vàz2(S1) = 298
(tính theo C2). Lượng hàng vận chuyển được ghi ở giữa dòng thứ nhất mỗi ô của