Trong phần nầy tác giả trình bày một số kết quả về tính chất đồng dư của p(n). Tài liệu tham khảo chính là [4].
Bằng cách quan sát tỉ mỉ bảng giá trị của p(n) của Macmahon với n từ 1 đến 200, Ramanujan đã đưa ra phỏng đoán đồng dư sau:
p(5m+ 4) ≡ 0 (mod 5), (1.19)
p(7m+ 5) ≡ 0 (mod 7), (1.20)
p(11m+ 6) ≡ 0 (mod 11). (1.21)
n : 4 9 14 19 24 . . . p(n) : 5 30 135 490 1175 . . .
Cũng có nhiều đồng dư với modul 52,72,112, chẳng hạn p(25m+ 24) ≡ 0 (mod 52)
.
Tất cả các đồng dư trên đều được thể hiện trong giả thuyết nổi tiếng của Ramanujan:
Nếuδ = 5a7b11c, 24n ≡1 (mod δ) thì p(n) ≡0 (mod δ).
Ramanujan đã chứng minh giả thuyết này với 52,72,112, trong khi Krec- mar vào 1933 đã chứng minh cho53 và G.N.Watson năm 1936 chứng minh cho 5a. Giả thuyết của Ramanujan được cho là đúng cho đến năm 1934, khi S.Chowla sử dụng bảng p(n) của H.Gupta với n ≤ 300 đã chỉ ra giả thuyết sai với n = 243, vì p(243) = 133978259344888 không chia hết cho
73 và 24.243 ≡1 (mod 73).
Năm 1936, Watson sửa đổi giả thuyết và chứng minh:
Nếu 24n≡ 1 (mod 7b) thì p(n) ≡0 (mod 7[(b+2)/2]).
Tính đúng đắn của Giả thuyết Ramanujan đã được kiểm nghiệm bởi Lehmer cho các giá trị đầu tiên của n kết hợp với các modun 113 và 114. Năm 1959, Lehmer chứng minh giả thuyết đối với 113. Cuối cùng năm 1967, A.O.L.Atkin giải quyết vấn đề bằng chứng minh (1.21) đối với 11c
tổng quát. Toàn bộ những trường hợp đúng của giả thuyết có thể được tổng hợp lại trong định lý sau:
Định lí 1.14. Nếu δ = 5a7b11c và 24n≡ 1 (mod δ) thì p(n) ≡ 0 (mod 5a7[(b+2)/2]11c).
Để nhận được những cách giải thích tổ hợp của đồng dư Ramanujan
(1.19)-(1.21), như đã nói trước đây, năm 1944 Dyson đưa ra định nghĩa “hạng của phân hoạch” là phần lớn nhất trừ đi số các phần. Ông phỏng đoán sự giải thích tổ hợp dưới đây của đồng dư (1.19)-(1.20) tương ứng: Định lí 1.15. Nếu viết π ∼ π0 khi hạng r, r0 của π và π0 là đồng dư (mod5) thì các lớp tương đương của phân hoạch của 5n+ 4 cảm sinh bởi
Định lí 1.16. Nếu viết π ∼ π0 khi hạng r, r0 của π và π0 là đồng dư (mod7) thì các lớp tương đương của phân hoạch của 7n+ 5 cảm sinh bởi
∼ có số lượng như nhau.
Năm 1953, Atkin và Swinnerton đã chứng minh Định lý 1.15, 1.16. Dyson nhận thấy hạng không tách phân hoạch của 11n+ 6 thành 11 lớp bằng nhau. Sau đó ông dự đoán phải có những thống kê phân hoạch khác (mà ông gọi là “crank” - c-hạng) để có thể cho một giải thích tổ hợp đồng dư thứ ba của Ramanujan (1.21).
Năm 1988, Andrews và Garvan định nghĩa c-hạng của một phân hoạch như sau:
Định nghĩa 1.7. Cho một phân hoạch π, giả sử l(π) ký hiệu phần lớn nhất của π, ω(π) ký hiệu số các số 1 trong π và µ(π) là số các phần của π lớn hơn ω(π). Khi đó “c-hạng” c(π) là
c(π) =
(
l(π) khi ω(π) = 0
µ(π)−ω(π) khi ω(π) 6= 0.
Họ đã đưa ra lời giải thích tổ hợp sau đây của đồng dư thứ ba của Ramanujan (1.21):
Định lí 1.17. Nếu viết π ∼ π0 khi c(r), c(r0) là đồng dư (mod 11) thì các lớp tương đương của phân hoạch của 11n+ 6 cảm sinh bởi ∼ có số lượng như nhau.
Năm 1986, Garvan đưa ra các giải thích tổ hợp khác của đồng dư Ra- manujan bằng cách sử dụng phân hoạch véc tơ. Ông định nghĩa phân hoạch véc tơ ~π của n là bộ ba (π1, π2, π3), ở đây π1 là các phân hoạch thành các phần phân biệt, π2 và π3 là các phân hoạch thông thường, sao cho tổng các phần của mỗi thành phần riêng lẻ của véc tơ ~π là n. Hạng của ~π được định nghĩa là số các phần của π2 trừ đi số các phần của π3. Giả sử Nv(m, t, n) ký hiệu số các phân hoạch véc tơ của n trong đó hạng đồng dư với m modulo t.
Nv(0,5,5n+ 4) = Nv(1,5,5n+ 4) = . . .= Nv(4,5,5n+ 4) = p(5n+ 4) 5 , (1.22) Nv(0,7,7n+ 5) = Nv(1,7,7n+ 5) = . . .= Nv(6,7,7n+ 5) = p(7n+ 5) 7 , (1.23) Nv(0,11,11n+ 6) = Nv(10,11,11n+ 6) = . . . = p(11n+ 6) 11 . (1.24)
Năm 1991, Agarwal và Subbarao nhận được vô hạn đồng dư kiểu Ra- manujan cho phân hoạch hoàn hảo. Một phân hoạch hoàn hảo của số n là một phân hoạch chứa trong nó đúng một phân hoạch của mỗi số nhỏ hơn n, nếu các phần lặp lại được xem là không phân biệt. Số phân hoạch hoàn hảo của n được ký hiệu bởi per(n).
Ví dụ 1.8.per(7) = 4vì có 4 phân hoạch hoàn hảo của 7 là413,421,231,17. Agrwal và Subbarao đã chứng minh định lý sau:
Định lí 1.18. (Agrwal và Subbarao) Với n ≥ 1, k ≥ 2 và q là số nguyên tố thì
per(nqk −1)≡ 0 (mod 2k−1). (1.25) Định lý đưa đến vô số đồng dư kiểu Ramanujan cho phân hoạch hoàn hảo. Ví dụ khi k = 3, q = 2, thay n bằng n+ 1 ở công thức (1.25) thì thu được: per(8n+ 7) ≡ 0 (mod 4). Đồng dư này về cấu trúc rất giống đồng dư Ramanujan (1.19) – (1.21).
Năm 1964, Cheema và Gordon đã tìm được những đồng dư sau đây đối với phân hoạch hai và ba dòng
Định lí 1.19. (Cheema và Gordon)
t2(ν) ≡ 0 (mod 5), ν ≡ 3,4 (mod 5) (1.26) và
t3(3ν + 2) ≡ 0 (mod 3). (1.27)
Nhiều đồng dư loại này đã được tìm ra bởi Gandhi vào năm 1967. Kết quả của ông được đưa ra trong định lý sau:
Định lí 1.20. (Gandhi) t2(2ν) ≡ t2(2ν + 1) (mod 2), (1.28) t3(3ν) ≡ t3(3ν + 1) (mod 3), (1.29) t4(4ν) ≡ t4(4ν + 1) ≡t4(4ν + 2) (mod 2), (1.30) t4(4ν + 3) ≡ 0 (mod 2), (1.31) t5(5ν + 1) ≡ t5(5ν + 3) (mod 5), (1.32) t5(5ν + 2) ≡ t5(5ν + 4) (mod 5). (1.33) Tương tự với các đồng dư của Ramanujan cho p(n), đồng dư liên quan F – phân hoạch màu và không màu cũng được tìm thấy. Dưới đây là hai đồng dư của Andrews tìm được vào năm 1984
φ2(5n+ 3) ≡ cφ2(5n+ 3) ≡ 0 (mod 5), (1.34) và
cφp(n) ≡ 0 (mod p2), (1.35) ở đây p nguyên tố, p\n .
Năm 1985, Kolitsch tổng quát hóa (1.35) và chứng minh đồng dư dưới đây X d\(m,n) µ(d)cφm d n d ≡ 0( mod m2). (1.36) Rõ ràng (1.36) quy về (1.35) khi m = p là số nguyên tố.
Đồng dư sau giữa F- phân hoạch màu và không màu được Garvan tìm ra 1986.
Cho p là số nguyên tố, thì
Ramanujan đã chứng minh nhiều đồng nhất thức khác quan hệ với tính chất đồng dư của phân hoạch, như
∞ X n=0 p(5n+ 4)qn = 5 ∞ Y n=1 (1−q5n)5 (1−qn)6 . (1.38) Kết quả này G.H.Hardy nhận xét là đại diện nghiên cứu tốt nhất của Ramanujan. Các nghiên cứu về đồng dư kiểu Ramanujan là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động.