Nhc l¤i ành ngh¾a nhâm v nhâm Abel nh÷ sau
Tªp hñpA còng ph²p to¡n∗ ÷ñc gåi l nhâm n¸u thäa m¢n i·u ki»n sau
1) Måi x, y thuëc A th¼ x∗y v y ∗x thuëc A;
3) Câ ph¦n tû ìn và, ngh¾a l måi x thuëc A, tçn t¤i e thuëc A sao cho
x∗e =e∗ x= x;
4) Måi ph©n tû trong A ·u câ ph¦n tû kh£ nghich, ngh¾a l måi x thuëc
A, luæn tçn t¤i −x thuëc A sao cho x∗(−x) =ẹ
Tªp hñp A còng ph²p to¡n ∗ ÷ñc gåi l nhâm Abel n¸u nâ l mët nhâm câ t½nh ch§t giao ho¡n, ngh¾a l måi x, y thuëc A, ta câ x∗y = y∗x.
Cho K l tr÷íng sè thüc hay phùc.
ành ngh¾a 1.17 H m p : T → K ÷ñc gåi l hçi quy (regressive) n¸u
1 +µ(t)p(t)6= 0 vîi måi t ∈ Tk.
ành lþ 1.10 Tªp hñp < = <(T, K) gçm t§t c£ c¡c h m hçi quy tr¶n T
còng vîi ph²p to¡n ⊕ ÷ñc x¡c ành bði
(p⊕q)(t) := p(t) +q(t) +µ(t)p(t)q(t)
lªp th nh mët nhâm Abel. Ph¦n tû kh£ nghàch cõa ph¦n tû q cõa nhâm n y ÷ñc kþ hi»u l
( q)(t) := −q(t)
1 +µ(t)q(t).
Ta gåi < = <(T, K) l nhâm hçi quỵ Ta ành ngh¾a (p q)(t) l (p⊕( q))(t).
V¼ th¸
(p q)(t) := p(t)−q(t)
1 +µ(t)q(t) vîi måi p, q ∈ <.
H» qu£ 1.1 Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû hçi quy d÷ìng cõa <(T, K) ÷ñc x¡c ành bði
<+ = <+(T, K) ={p ∈ <: 1 +µ(t)p(t)> 0, vîi måi t ∈ Tk}
l mët nhâm con cõa <(T, K).
ành ngh¾a 1.18 Mët m×m ma trªn Ặ) x¡c ành tr¶n thang thíi gian
T ÷ñc gåi l ma trªn hçi quy n¸u I + µ(t)Ăt) l kh£ nghàch vîi måi
t ∈ Tk.
Ð ¥y I = Im l ma trªn ìn và cõa Km×m.
Lîp t§t c£ c¡c ma trªn hçi quy ÷ñc k½ hi»u bði <(T, Km×m).
ành ngh¾a 1.19 Vîi c¡c m× m ma trªn Ặ), B(.) l hçi quy, vîi måi
t ∈ Tk, ta x¡c ành c¡c to¡n tû sau ¥y
(A⊕B)(t) =Ăt) +B(t) +µ(t)Ăt)B(t);
Ăt) =−[I +µ(t)Ăt)]−1.Ăt) = −Ăt)[I +µ(t)Ăt)]−1;
(A B)(t) = (A⊕ B)(t).
ành lþ 1.11 (<(T, Km×m),⊕) l mët nhâm.
Nhªn x²t 1.3 Tø ành lþ n y ta th§y r¬ng, n¸uA, B ∈ <(T, Km×m), th¼
A⊕B ∈ <(T, Km×m).