Lỗi e
i trong chữ số xi bất kì có thể là 1 hoặc 2. Nói riêng, nếu chỉ có
một lỗi đơn ở chữ số thứ i, thì từ nhận được là z =x x ... x y x ...x , trong đó
yi ≡( xi +ei )(mod 3) .
Trong trường hợp này, tổng các số của z là
x1 +x2 + ... +xi −1 + yi +xi +1 + ... +xn
1 2 i −1 i i +1 n
≡x1 +x2 + ... +xi −1 + (xi +ei ) +xi +1 + ... +xn (mod 3) ≡ei (mod 3)
Vì thế, giả sử có một lỗi đơn xảy ra trong truyền tin thì mã phát hiện tất cả các lỗi đó bởi vì tổng các chữ số của từ nhận được không chia hết cho 3.
Thí dụ, xét thông tin gửi đi là 10210. Chữ số kiểm tra x6 được chọn
sao cho (2.3) được thỏa mãn, nghĩa là 1 + 0 + 2 + 1 + 0 +
x6
≡ 0(mod 3) . Suy
ra x6 = 2. Do đó, từ mã được truyền đi là 102102. Nếu từ nhận được là
112102 thì tổng các số của nó là một lỗi đã xảy ra.
1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 2 ≡ 1(mod 3) , chỉ ra
rằng
Đúng hơn, từ “chẵn lẻ” (parity) chỉ áp dụng cho “tính chẵn” (even- ness), hoặc “tính lẻ” (odd-ness). Mã chẵn lẻ được mở rộng tự nhiên cho mã với cơ số p bất kì với tổng các chữ số của mỗi từ đồng dư với 0 theo môđun p.
2.3. Mã vạch
Ví dụ 2.4 (Số hiệu hàng hóa Châu Âu-European Article Number) Mã vạch trong Hình 1.1 là ví dụ của mã nhận dạng hàng hóa được sử
dụng rộng rãi và được gọi là EAN (European Article Number), được công
nhận là chuẩn vào năm 1976. Nó đã được phát triển từ mã sản phẩm chung
UPC (Universal Product Code) được sử dụng ở Mỹ từ năm 1973.
Xét Hình 1.1. Mỗi số bao gồm 13 chữ số thập phân. Hai hay ba số đầu tiên là phân vùng quốc gia, chẳng hạn 30 là Pháp, 49 là Nhật, 50 là Anh, 80 là Italia, 888 là Singgapor, 885 là Thái Lan … và 893 là Việt Nam. Bốn hoặc
năm số tiếp theo là các số của nhà sản xuất, và ta có thể thấy trong Bảng 2.1, thí dụ 4980 đồng nhất với nhà xuất bản giáo dục và 6009 là công ty thuốc lá Sài Gòn. Năm số kế tiếp đưa ra con số duy nhất xác định các sản phẩm, chẳng hạn 42679 và 05015 tương ứng cho sách số học và thuốc lá Vinataba. Chữ số cuối cùng là số kiểm tra mà máy tính lưu trữ có thể kiểm tra xem số trên sản phẩm có đồng nhất với số của nhà máy không.
Bảng 2.1. Một số EAN
Sản phẩm Mã hàng
Sách Số học của NXB GD Vinataba của CT thuốc lá SG Vở ghi Hải Tiến
Tesco plain flour Abbot Ale
Maille Provencale mustard Sacla pesto sauce
Book in figure 8934980426791 8936009050154 8936014823033 5000119101594 5010549000213 3036817800295 8001060375109 9780138340940
Chú ý rằng, giá của sản phẩm không phải một phần của mã vạch. Thông tin này lưu trong bộ nhớ máy tính của cửa hàng và thông báo cho máy thu ngân điện tử giá của mặt hàng mà mã vạch của nó đã quét được.
Mã EAN cho văn hóa phẩm (ISBN) được bắt đầu với chữ số 978 hoặc 979. Chín chữ số tiếp theo là chín chữ số đầu tiên của ISBN (Hình 1.2).
Nếu một EAN được kí hiệu bởi x1 x2 ... x11 x12 x13 , trong đó
xi
là các chữ số
thập phân, thì chữ số kiểm tra x13 là được tính sao cho tổng kiểm tra:
S =x1 +x3 +x5 +x7 +x9 +x11 + 3( x2 +x4 +x6 +x8 +x10 +x12 ) +
x13
là bội của 10, nghĩa là S thỏa mãn phương trình kiểm tra: