Trong mục này ta nêu hai bài toán có thể dẫn về bài toán cây khung nhỏ nhất, và vì thể có thể giải được nhờ các thuật toán mô tả trong mục trước
a) Bài toán cây khung lớn nhất. Dễ dàng nhận thấy rằng trong các thuật toán trên ta không cần sử dụng đến đòi hỏi về dấu của độ dài. Vì thế có thể áp dụng chúng đối với đồ thị có các cạnh với độ dài có dấu tuỳ ý. Vì vậy, giả sử ta phải tìm cây lớn nhất (tức là có độ dài c(H) lớn nhất) thì chỉ cần đổi dấu tất cả các độ đo và áp dụng một trong hai thuật toán vừa mô tả.
b) Bài toán tìm mạng điện với độ tin cậy lớn nhất. Cho lưới điện có n nút. Đường dây nối nút i với nút j có độ tin cậy 1>p[i ,j]>0, i, j=1, 2, . . . , n. Gọi G = (V, E) là đồ thị tương ứng với lưới điện này. Hãy tìm cây khung H của đồ thị G với độ tin cậy
P p(e) eÎ H lớn nhất.
Bài toán này dẫn về bài toán tìm cây khung với tổng độ dài nhỏ nhất trên đồ thị G với độ dài của mỗi cạnh e Î E là –log p(e). Thực vậy, giả sử H là cây khung nhỏ nhất trên đồ thị với độ dài – log p(e), ta có
- å log p(e) ≤ - å log p(e) eÎ H e Î H’ với mọi cây khung H’ của đồ thị G. Từ đó suy ra
å log p(e) ≥ å log p(e) eÎ H e Î H’ do đó
log P p(e) ≥ log P p(e) eÎ H eÎ H’ hay là
P p(e) ≥ P p(e) eÎ H eÎ H’