3.5.1. Định nghĩa
Một đa tạp phức n chiều M được gọi là hyperbolic k-độ đo nếu với mỗi đa tạp con phức địa phương k chiều A của M, A ≠ φta có Ik ( A) > 0
Trường hợp k = n thì M được gọi là hyperbolic độ đo.
Đa tạp M được gọi là hyperbolic k- độ đo mạnh nếu mỗi tập compact K ⊂ M
có hằng số dương cK sao cho
E (p,α ) ≥
c α 2
với mọi p∈K và mọi α ∈Dk M .
p
k
2
p
k k
Trường hợp k = n thì M được gọi là hyperbolic độ đo mạnh.
Một đa tạp phức M được gọi là Ek hypebolic nếu Ek (p,α) ≥ 0 mỗi p∈M và mỗi α ∈ Dk M .
3.5.2. Định nghĩa
Đa tạp phức M được gọi là hầu hypebolic nếu tồn tại đa tạp con thực sự
V ⊂ M sao cho M là hypebolic tại mỗi điểm của M \ V
,
theo nghĩa với mỗi tập con compact K của M \V tồn tại một hằng số dương ck sao cho
E 1 (p, X ) ≥ c Xk 2 , ∀p ∈ K , X ∈T M p .
3.6.Một số tính chất 3.6.1. Định lý
i) Cho φ : M →N là ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức có số chiều lớn
hơn hoặc bằng k. Khi đó N
(φ ( ); φ ( )) ≤ M
( ;α ) ∀ ∈ ,∀α∈ k .
Ek p d α Ek p p M Dp M
ii) Nếu M là hình cầu đơn vị Bn, n ≥k , thì
E M (p,α )= α ,
trong đó α kí hiệu chuẩn mêtric Bergman trên Bn. .
Chứng minh. i) Lấy bất kì p ∈M , và α ∈ Dk M . Giả sử có ánh xạ chỉnh hình f : Bk → M , sao cho f (0) = p, f∗(γ )= α trong đó γ ∈D0 B . Vì φ : M → N
là ánh xạ chỉnh hình giữa hai đa tạp phức nên ta có
φ f : Bk →
N
thoả mãn
∗
và (φ f ) (γ)=φ∗(α) =dφ (α). Do đó khi lấy infimum theo f ta có
k p p p 0 0 N ( ( ); ( )) M ( ; ) Ek φ p dφ p ≤ Ek p α .
ii) Được suy ra từ định nghĩa của
3.6.2. Bổ đề
E M (p;α)và Mệnh đề 2.3.3 (Chương 2).
Cho 1 ≤ k
, l ≤n và cho α∈ΛkT M , β ∈ΛlT M . Khi đó
α ∧β ≤ α ⋅ β .
Nếu cả α, β đều là phân tích được và k + l ≤n,dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi α trực giao với β .
3.6.3. Định lý
Giả sử 1≤ k < n = dim
M.
Nếu M là hyperbolic k-độ đo mạnh thì M là hyperbolic (k+1)- độ đo mạnh.
Chứng minh.
Lấy ε > 0 bất kỳ.
Xét mêtric Hermit , trong TM rồi mở rộng lên T l M ( l =2,…,n). Lấy p ∈ M ,α∈ Dk +1M sao cho α = 1. Giả sử tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : Bk +1 → M sao cho f (0) = p và df (γ)= α với γ∈Dk +1Bk +1 thoả mãn γ =ε . Vì γ =ε và df (γ ) =1 , nên tồn tại một vectơ tiếp xúc u của Bk+1 tại 0 sao cho u = 1 và df (u ) ≤ ε −k 1+1 .
Lấy γ '∈Dk Bk +1 sao cho nó trực giao với u. Đặt γ =γ '∧ u . Ta có thể coi γ '
như là không gian tiếp xúc của Bk
tại 0. Do Bổ đề 3.6.2 ta có γ ' = ε và
1 = df (γ ) = df (γ ') ∧ df (u ) ≤ df (γ ') df (u )
−1
⇒ df (γ ') 1
0 0 p i Do đó γ' = ε và df (γ ')≥ ε k 1+1 −1 nếu ta đặt η = ε k +1γ ', thì η ∈ Dk Bk +1 , với k η =ε k +1 và df (η) =1.
Nếu M không là hyperbolic (k+1)- độ đo chặt, thì ta lấy dãy các số ε dần tới 0. Khi đó dãy η thuộc Dk Bk +1 với η = ε k k+1 và df (η) =1 mâu thuẫn với M
là hyperbolic k- độ đo chặt. Định lý được chứng minh.