2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm
2.4Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm
Nội dung phần này là tóm tắt lại lại các định nghĩa và kết quả chính trong bản Preprint của nhóm Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu năm 2016 [2] đối với hệ không ô - tô - nôm. Trước tiên ta cần phát biểu lại các định nghĩa chính trong trường hợp không ô - tô - nôm.
Xét X là không giam metrix với metrix d. Ta kí hiệu f0n = fn−1◦ · · · ◦f0.
Định nghĩa 2.4.1. Ta nói phương trình
xn+1 = fn(xn), n ≥ 0 (2.10) là nhạy cảm tại x0 ∈ X nếu tồn tại hằng số δ > 0 sao cho với mọi lân cận U
của x0, tồn tại y0 ∈U và số nguyên dương N sao cho
d(f0N(y0), f0N(x0)) > δ
trong đó δ được gọi là hằng số nhạy cảm của hệ (2.10) tại x0.
Trong trường hợp tồn tại hằng sốδ > 0sao cho nó nhạy cảm tại mọi điểm trên tập khác rỗng S với hằng số nhạy cảm δ thì hệ (2.10) được gọi là nhạy cảm trên S ⊂ X.
Định nghĩa 2.4.2. Cho x0 là điểm cô lập trong X. Hệ (2.10) được gọi là nhạy cảm mạnh tại x nếu tồn tạiδ > 0 và lân cận U cuả x sao cho với mọi
y0 6= x0 cho trước thuộc U, với số nguyên dương N thì
d(f0N(y0), f0N(x0))> δ.
Khi đó δ được gọi là hằng số nhạy cảm mạnh của hệ (2.10) tại x0.
Định nghĩa 2.4.3. Giả sử {Dn}∞n=0,{En}∞n=0 là hai dãy các tập trong X
và hn : Dn → En là một ánh xạ liên tục đều với mỗi n≥ 0. Dãy các ánh xạ
{hn}∞n=0 được gọi là đồng liên tục trong {Dn}∞n=0 nếu với mọi >0, tồn tại
δ > 0 sao cho với mọi n≥ 0
d(hn(x), hn(y))<
mọi x, y ∈Dn mà d(x, y)< δ.
Định nghĩa 2.4.4. Cho I là khoảng không suy biến, bị chặn và fn : I →I
là một ánh xạ thuộc lớp C1 với mọi n ≥ 0. Số mũ Lyapunov của hệ (2.10) tại x0 được xác định bởi
λ(x0) := lim sup n→∞ 1 n n−1 X k=0 ln|(f0n)0(x0)| = lim sup n→∞ 1 n n−1 X k=0 ln|fk0(xk)|, trong đó {xk}∞
k=0 là quỹ đạo của (2.10) bắt đầu từ x0.
Tiếp theo là hai kết quả chính trong [2] là mở rộng các kết quả trước đó của Palmer vào năm 2010.
Định lý 2.4.1. Cho I là khoảng không suy biến, fn : I → I là một ánh xạ thuộc lớp C1 với mọi n ≥ 0 và x0 ∈ I. Giả sử {fn0}∞
0 là đồng liên tục trong
I và m :=inf{|fn0(xk)| : n, k ≥ 0}> 0. Nếu λ(x0)> 0 thì hệ (2.10) là nhạy cảm mạnh tại x0. Định nghĩa λ0(x0) := lim inf n→∞ 1 n n−1 X k=0 ln|fk0(xk)|
Định lý 2.4.2. Cho I là một khoảng không suy biến, đóng và bị chặn, fn :
I → I thuộc lớp C2 với mỗi n ≥ 0 và x0 ∈ I. Giả thiết rằng {fn00}∞n=0 là bị chặn đều trong I. Nếu −∞< λ(x0)< 0 và 2λ(x0)< λ0(x0) thì hệ (2.10) là ổn định tiệm cận mũ tại x0.
Ví dụ 2.4.1. Xét phương trình Logistic không ô tô nôm
xn+1 = rnxn(1−xn), n ≥0 (2.11) sinh bởi ánh xạ fn(x) =rnx(1−x), x∈ I := [0; 1].
Với 0 < rn ≤ 4, n > 0 thì fn(I) ⊂ I với mọi n ≥ 0. Ta có với n ≥ 0, fn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thuộc lớp C2 trong I, fn0(x) = rn(1 − 2x) và f00(x) = −2rn. Rõ ràng, 0 là điểm bất động của hệ (2.11) và f00(0) = rn, n ≥ 0 với
λ(0) = lim sup n→∞ 1 n n−1 X k=0 ln|fk0(0)| = lim sup n→∞ 1 n n−1 X k=0 lnrk Giới hạn 1nPn−1
k=0lnrk có thể không tồn tại, tuy nhiên giới hạn trên của nó có tồn tại. Từ đó, giới hạn trên được sử dụng trong Định nghĩa 2.4.4 là sử dụng được trong trường hợp này.
Trong trường hợp này, Ln ≤ rn ≤4, n ≥ 0trong đóL > 1là một hằng số, như vậy |fn0(0)| ≥L > 1 và |fn00(x)| = 2rn ≤8 với mọi n≥ 0. Suy ra {fn}∞n=0
là đồng liên tục trên I với λ(0) ≥ lnL > 0. Do đó, tất cả các giả thiết của Định lí 2.4.1 thỏa mãn hệ (2.11) với x0 = 0. Vậy hệ (2.11) là nhạy cảm mạnh tại 0.
Trong trường hợp 0< a≤ rn < b <1, n >0 với a, b là các hằng số dương và b2 < a, từ (2.4.1) ta có λ(0) ≤lnb < 0, λ(0) ≥lna > −∞. Do b2 < a nên 2λ(0)−λ (0)≤ 2lnb−lna =lnb 2 <0.
Ngoài ra,fn00(x) = 2rn < 2với mỗin≥ 0, kéo theo {fn00}∞n=0 bị chặn đều trong
I. Do đó, các giả thiết của Định lí 2.4.2 thỏa mãn với hệ (2.11) với x0 = 0. Vậy hệ (2.11) là ổn định tiệm cận mũ tại 0.
KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Trình bày lại những khái niệm cơ bản trong hệ động lực một chiều. 2. Chi tiết hóa chứng minh trong bài báo của Palmer.
3. Nêu ra một số ví dụ
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] C. Robinson, 2000, "Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos", CRC Press.
[2] Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu, 2016, "Lyapunov exponents, sensitiv- ity, and stability for non-autonomous discrete systems", Preprint. [3] H. Kocak and K. J. Palmer, 2010, "Lyapunov Exponential and Sensitive
Dependence", J. Dyn. Diff. Equat., 22, 381 - 398.
[4] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis and P. Stacey, 1992, "On De- vaney’s definition of Chaos", Amer. Math. Monthly, 99, 332 - 334. [5] T. Li and J. Yorke, 1975, "Period three implies chaos", Amer. Math.
Monthly, 82, 985 - 992.
[6] R. Devaney, 1989, "Chaotic Dynamical Systems", Addison - Wesley Publ. Co., New York and Reading, MA.
[7] V. I. Oseledec, 1968, "A multiplicative ergodic theorem. Liapunov char- acteristic numbers for dynamical systems", Trans. Moscow Math. Soc.