TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BÀI TOÁN Trong “Croatian National Mathematics Competition Kraljevica, May-1996” tôi đã
TOÁN TUỔI THƠ 24 Đề bài : Hãy so sánh hai phân số
Đề bài : Hãy so sánh hai phân số
A = (nn + 1)/ (nn+1 + 1) và B = (nn - 1 + 1)/(nn+1 + 1) (n>1)
Lời giải :
Cách 1 (của bạn Nguyễn Ngọc Huy) : Xét hiệu
(do n > 1). Vậy B - A > 0 hay B > A.
Cách 2 (của bạn Trần Việt ánh) : Ta có
Đến đây ta thấy A và B có cùng tử số là số dương (nn + 1)(nn - 1 + 1), xét hiệu hai mẫu số : (nn + 1 + 1)(nn - 1 + 1) - (nn + 1)(nn + 1)
= nn + 1 - 2nn + nn - 1 = nn - 1(n - 1)2 > 0. Dễ dàng suy ra B > A.
Cách 3 (của bạn Đặng Huy Nghĩa) : Ta có
Vì n > 1 => nn > nn - 1 => nn + 1 > nn - 1 + 1
Cách 4 (của bạn Ngô Ngọc ánh) : Ta có
nB > nA => B > A.
Cách 5 (của bạn Nguyễn Mai Linh) : Sử dụng kết quả “với b, d dương, nếu a/b <
c/d thì a/b < (a + c)/(b + d)”. Ta có : Vì n > 1 nên suy ra
TOÁN TUỔI THƠ 25
Bài toán 1 : Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn (a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4). Chứng minh rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải : Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta có :
(a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4) <=> (a2 + b2 + c2)2 - 2(a4 + b4 + c4) > 0 <=> 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) - (a4 + b4 + c4) > 0 <=> (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b + c) > 0. Do a ≥ b ≥ c > 0 => a + b + c > 0 ; a + b - c > 0 ; c + a - b > 0 => b + c - a > 0. Suy ra a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài toán 2 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn (a2k + b2k + c2k)2 > 2(a4k + b4k + c4k). Chứng minh rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải : Theo kết quả của bài toán 1 ta có ak, bk, ck là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó nếu a + b Ê c thì ak + bk < (a + b)k ≤ ck là điều vô lí, suy ra a + b > c.
Tương tự ta có b + c > a và c + a > b. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tiếp tục mở rộng cho bộ n số dương a1, a2, ..., an ta có bài toán sau :
Bài toán 3 :
Cho n số dương a1, a2, ..., an thỏa mãn :
với n ≥ 3. Chứng minh rằng : Bất kì ba số nào trong n số trên đều là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải : + Với n = 3 : trở lại bài toán 1.
+ Với n > 3 : Không mất tính tổng quát, ta chứng minh cho ba số a1, a2, a3. Theo điều kiện đề bài và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có :
Theo bài toán 1 ta có a1, a2, a3 là độ di ba cạnh của một tam giác. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3 chính là đề thi Vô định Toán Trung Quốc năm 1988.
Nếu biết rằng b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bk > 0 và b1 < b2 + ... + bk thì b1, b2, ..., bk là độ dài các cạnh của một đa giác, các bạn sẽ chứng minh được bài toán tổng quát sau :
Bài toán 4 :
Cho n số dương a1, a2, ..., an thỏa mãn :
Chứng minh rằng : Bất kì k số nào trong n số trên đều là độ dài các cạnh của một đa giác lồi k cạnh (n ≥ k ≥ 3).