Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình

Định nghĩa 2.4.1

Cho 𝑋, 𝑌 là hai không gian phức. Một tương ứng 𝑓: 𝑋 → 𝑌 thỏa mãn các điều kiện sau gọi là ánh xạ phân hình giữa hai không gian phức 𝑋, 𝑌.

1. Với mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓(𝑥) là tập con compact khác rỗng của 𝑌.

2. Đồ thị 𝐺𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌; 𝑦 = 𝑓(𝑥)} là một không gian con phức liên thông của 𝑋 × 𝑌 với 𝑑𝑖𝑚𝐺𝑓 = 𝑑𝑖𝑚𝑋;

3. Tồn tại một tập con trù mật 𝑋∗ của X sao cho 𝑓(𝑥) là điểm đơn với mọi 𝑥 ∈ 𝑋∗.

Bổ đề 2.4.1 [8]

Cho U là một tập mở trong ℂ𝑚 và cho 𝑉0, 𝑉1, 𝑉 là tập mở liên thông trong

không gian lồi X. Nếu 𝑓𝑧 có thác triển chỉnh hình trên V với mọi 𝑧 ∈ 𝑈, thì tồn tại một tập con mở 𝑈0 có độ đo đủ Lebesgue trong U và một ánh xạ chỉnh hình

𝑓:̃ 𝑈0× 𝑉1 → 𝑋 sao cho 𝑓 = 𝑓̃ trên 𝑈0× 𝑉0. Chứng minh.

Chọn một tập mở khác rỗng 𝑉0′ ⊆ 𝑉0 và đặt 𝑈′ = 𝑈\𝜋𝑈(𝐼𝑓 ∩ (𝑈 × 𝑉̅̅̅))0′ , trong đó 𝜋𝑈: 𝑈 × 𝑉 → 𝑈 là phép chiếu. Vì 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑓 ≤ 𝑚 − 1, nên 𝑈′ có độ đo đủ trong U. Đặt 𝑓′ = 𝑓|𝑈′×𝑉0′ thì 𝑓′: 𝑈′ × 𝑉0′ → 𝑋 là chỉnh hình và 𝑓𝑧′ là có thác triển chỉnh hình đến V với hầu hết z ∈ 𝑈′. Do đó, theo Định lý 1 trong [7] tồn tại một tập con mở 𝑈0 có độ đo đủ trong 𝑈′ và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓̃: 𝑈0× 𝑉1 → 𝑋 sao cho 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝑈0× 𝑉0′ và do đó theo nguyên lí duy nhất đối với ánh xạ chỉnh hình 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝑈0× 𝑉0.∎

Bổ đề 2.4.2[8]

Cho f : E→X là ánh xạ từ tập E⊂ ∆𝑚× ∆ vào một không gian phức X. Giả sử rằng

 Tồn tại một tập 𝐴1 có độ đo 0 trong ∆𝑚 sao cho 𝐸𝑧 có độ đo đủ trong ∆ và 𝑓𝑧 có thác triển chỉnh hình trên ∆ với mọi 𝑧 ∈ ∆𝑚\𝐴1,

 Tồn tại một tập 𝐴2 của độ đo 0 trong ∆ sao cho 𝐸𝑤 có độ đo đủ trong ∆𝑚

và 𝑓𝑤 là phân hình trên ∆𝑚 với mọi 𝑤 ∈ ∆\𝐴2.

Khi đó tồn tại các tập mở không rỗng 𝑈 ⊂ ∆𝑚, 𝑉 ⊂ ∆ và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓′: 𝑈 × 𝑉 → 𝑋 sao cho 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝐸 ∩ (𝑈 × 𝑉)\(𝐴1× 𝐴2).

Chứng minh.

Chọn một tập hợp đếm được {Ω𝑘} có tập con Stein mở của X cùng với các tập con mở Ω𝑘′ ⊆ Ω𝑘 sao cho ∪ Ω𝑘′ = 𝑋.

Đặt {𝑈𝑗} là cơ sở đếm được các tập con mở liên thông trong ∆𝑚. Kí hiệu 𝑓𝑤∗: ∆𝑚→ 𝑋 là thác triển phân hình của 𝑓𝑤 vào ∆𝑚 với 𝑤 ∈ ∆\𝐴2, và kí hiệu 𝑓𝑧∗: ∆→ 𝑋 là thác triển chỉnh hình của 𝑓𝑧 với 𝑧 ∈ ∆𝑚\𝐴1. Xét các tập

𝑄𝑗,𝑘 = {𝑤 ∈ ∆\𝐴2: 𝑓𝑤∗|𝑈𝑗 là chỉnh hình và 𝑓𝑤∗(𝑈𝑗) ⊂ Ω𝑘′ }.

Vì ∪ 𝑄𝑗,𝑘 = ∆\𝐴2, chúng ta có thể cố định j,k sao cho 𝑄𝑗,𝑘 có độ đo Lebesgue ngoài dương (trong ∆). Kí hiệu F là tập 𝑤 ∈ ∆ sao cho 𝑄𝑗,𝑘∩ 𝑁 có độ đo Lebesgue ngoài dương với mọi lân cận N của w. Khi đó F là đóng trong ∆ và có độ đo dương. Chọn một tập con compact 𝐾2 ⊂ 𝐹 có độ đo dương.

Viết 𝑈′ = 𝑈𝑗. Ta xác định 𝑓1: 𝑈′ × 𝐾2 → Ω̅̅̅̅ ⊂ 𝑋𝑘′ sao cho 𝑓1𝑤 là chỉnh hình với mọi 𝑤 ∈ 𝐾2 và

𝑓1(𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑧∗(𝑤) 𝑣ớ𝑖 (𝑧, 𝑤) ∈ (𝑈′\𝐴1) × 𝐾2.

Để xác định được 𝑓1, trước hết chúng ta chọn một tập con đếm được trù mật {𝑧𝜇} 𝑐ó 𝑈′\𝐴1. Bây giờ ta cho 𝑤0 ∈ 𝐾2 là cố định, và chọn một dãy các điểm 𝑤𝑣 ∈ 𝑄𝑗,𝑘 ∩ (∩𝜇 𝐸𝑧𝜇) với 𝑤𝑣 → 𝑤0.

Vì Ω𝑘 là song chỉnh hình với một đa tạp con của không gian Euclidean (sau khi co Ω𝑘 nếu cần) và 𝑓𝑤𝑣∗: 𝑈′ → Ω𝑘′ ⊆ Ω𝑘, bằng cách bỏ qua một dãy con nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng dãy { 𝑓𝑤𝑣∗} hội tụ đều trên các tập con compact của 𝑈′. Ta định nghĩa

𝑓1(𝑧, 𝑤0) = lim 𝑣→∞𝑓𝑤𝑣∗ (𝑧) với mọi 𝑧 ∈ 𝑈′. Rõ ràng 𝑓1𝑤0 là chình hình trên 𝑈′. Vì (𝑧𝜇, 𝑤𝑣) ∈ 𝐸 𝑣à 𝑧𝜇 ∉ 𝐴1, nên ta có 𝑓1(𝑧𝜇, 𝑤0) = lim 𝑣→∞𝑓(𝑧𝜇, 𝑤𝑣) = lim 𝑣→∞𝑓𝑧∗𝜇(𝑤𝑣) = 𝑓𝑧∗𝜇(𝑤0).

Với 𝜇 = 1,2,3, … do đó 𝑓1𝑤0 là không phụ thuộc vào cách chọn của 𝑤𝑣 mà thỏa mãn các điều kiện ở trên. Đăc biệt, mỗi điểm cố định 𝑝 ∈ 𝑈′\𝐴1, thay {𝑧𝜇} bởi {𝑧𝜇} ∪ {𝑝} và lập luận tương tự như trên, ta có

𝑓1(𝑝, 𝑤0) = 𝑓𝑝∗(𝑤0), và do đó 𝑓1là ánh xạ cần xác định.

Bây giờ chọn một tập mở Ω′ với Ω𝑘′ ⊆ Ω′′ ⊆ Ω𝑘. Vì 𝑓𝑧∗(𝐾2) ⊂ Ω′′ với 𝑧 ∈ 𝑈′\𝐴1, chúng ta có thể chọn một tập con mở liên thông 𝑉′ với 𝐾2 ⊂ 𝑉′ ⊂ ∆ như trên và một tập 𝑃 ⊂ 𝑈′\𝐴1 sao cho 𝑃 có độ đo Lebesgue ngoài dương và

𝑓𝑧∗(𝑉′) ⊂ Ω′′ với mọi 𝑧 ∈ 𝑃. Chúng ta chọn một tập compact 𝐾1 ⊂ 𝑈′ có độ đo dương như trên sao cho 𝑃 ∩ 𝑁 có độ đo Lebesgue ngoài dương với mọi tập mở 𝑁 giao với 𝐾1.

Chúng ta định nghĩa 𝑓2: 𝐾1× 𝑉′ → Ω̅̅̅̅′′như sau: với 𝑧 ∈ 𝐾1 là một điểm cố định và chọn một dãy{ 𝑧𝑣} ⊂ 𝑃 sao cho 𝑧𝑣 → 𝑧 và 𝑓𝑧∗𝑣 hội tụ đều trên các tập con compact của 𝑉′. Thế thì 𝑓2 được xác định như sau

𝑓2(𝑧, 𝑤) = lim

𝑣→∞𝑓𝑧∗𝑣(𝑤),

với 𝑤 ∈ 𝑉′. Rõ ràng, (𝑓2)𝑧 là chỉnh hình trên 𝑉′. Vì 𝑓𝑧∗𝑣(𝑤) = 𝑓1(𝑧𝑣, 𝑤) với 𝑤 ∈ 𝐾2, nên 𝑓2 = 𝑓1 trên 𝐾1 × 𝐾2 và do đó (𝑓2)𝑧 không phụ thuộc vào cách chọn 𝑧𝑣 → 𝑧. Hơn nữa bằng cách lập luận tương tự như trên ta có

𝑓2(𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑤∗(𝑧) 𝑣ớ𝑖 (𝑧, 𝑤) ∈ 𝐾1× (𝑉′\𝐴2).

Đặt 𝑆 = (𝑈′ × 𝐾2) ∪ (𝐾1× 𝑉′) và 𝑓̃:𝑆 → Ω̅̅̅̅ ⊂ Ω′′ 𝑘 được cho bởi 𝑓1 và 𝑓2. Theo lập luận ở trên, 𝑓̃𝑧 là chỉnh hình trên 𝑉′ với mọi 𝑧 ∈ 𝐾1 và 𝑓̃𝑤 là chỉnh hình trên 𝑈′ với mọi 𝑤 ∈ 𝐾2. Hơn nữa,

𝑓 = 𝑓̃ trên 𝐸 ∩ {[(𝑈′\𝐴1) × 𝐾2] ∪ [(𝐾1× (𝑉′\𝐴2)]}.

Ta có thể tim được các tập mở liên thông khác rỗng 𝑈 ⊂ 𝑈′, 𝑉 ⊂ 𝑉′. Và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓′: 𝑈 × 𝑉 → Ω𝑘 sao cho 𝑈 ∩ 𝐾1 và 𝑉 ∩ 𝐾2có độ đo dương và 𝑓′ = 𝑓 trên 𝑆 ∩ (𝑈 × 𝑉);vì vậy

𝑓′ = 𝑓 trên 𝐸 ∩ {[(𝑈\𝐴1) × (𝐾2∩ 𝑉)] ∪ [(𝐾1∩ 𝑈) × (𝑉\𝐴2)}

Đặc biệt, với 𝑧 ∈ 𝑈\𝐴1, 𝑓𝑧′ = 𝑓𝑧 trên 𝐸𝑧 ∩ 𝐾2∩ 𝑉 và vì vậy 𝑓𝑧′ = 𝑓𝑧 trên 𝐸𝑧 ∩ 𝑉; Tương tự với 𝑤 ∈ 𝑉\𝐴2, 𝑓′𝑤 = 𝑓𝑤 trên 𝐸𝑤 ∩ 𝐾1∩ 𝑈 và vì vậy 𝑓′𝑤 = 𝑓𝑤 trên 𝐸𝑤 ∩ 𝑈. Do đó 𝑓′ = 𝑓 trên 𝐸 ∩ (𝑈 × 𝑉\𝐴1× 𝐴2). ∎

Định lý 2.4.1[14]

Giả sử M là một không gian phức có tính chất thác triển phân hình. Giả sử U, V là các tập mở trong ℂ𝑚, ℂ𝑛 tương ứng và V0 là tập con mở của V. Giả sử f:U×V0 → M là một ánh xạ phân hình. Nếu fz có thác triển phân hình trên V với hầu hết z ∈ 𝑈 thì f có thác triển phân hình trên 𝑈 × 𝑉.

Chứng minh [8]:

Chúng ta có thể dễ dàng biến đổi định lý theo trường hợp 𝑉0 = ∆𝑛, 𝑉 = ∆𝑅𝑛, ở đó ∆𝑅= {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| < 𝑅} với R>1. Trước hết, chúng ta giả sử rằng 𝑛 = 1 theo bổ đề 2.4.2 ở trên, với r tùy ý, 𝑟 < 𝑅 tồn tại một tập mở 𝑈0 ⊂ 𝑈 có độ đo đủ sao cho f có thác triển chỉnh hình trên một tập mở Ω = (𝑈 × ∆) ∪ (𝑈0× ∆𝑟). Theo Bổ đề 2.4.1, bao chỉnh hình của Ω chứa U×∆𝑟 và do đó theo tính chất thác triển phân hình của X, f có thác triển phân hình đến U×∆𝑟. Vì 𝑟 < 𝑅 là tùy ý, f thác triển phân hình trên 𝑈 × ∆𝑅.

Bây giờ chúng ta chứng minh trường hợp tổng quát bằng quy nạp theo n:

Giả sử 𝑛 ≥ 2 và Định lý 2.4.1 đúng với 𝑉0 = ∆𝑛−1, 𝑉 = ∆𝑅𝑛−1. Cho 𝑓: 𝑈 × ∆𝑛→ 𝑋 là một ánh xạ phân hình sao cho 𝑓𝑧 có một thác triển phân hình trên ∆𝑅𝑛 với mọi 𝑧 ∈ 𝑈\𝐴, ở đó A⊂U có độ đo 0. Cho B là tập các điểm (𝑧, 𝜁) ∈ 𝑈 × ∆ sao cho {𝑧} × ∆𝑛−1× {𝜁} ⊂ 𝐼𝑓, và viết E= (𝐴 × ∆) ∪ 𝐵. Thì E có độ đo 0 trong 𝑈 × ∆ và ánh xạ phân hình f(𝑧,∙, 𝜁): ∆𝑛−1→ 𝑋 là xác định và có thác triển phân hình trên ∆𝑅𝑛−1 với mọi (𝑧, 𝜁) ∈ 𝑈 × ∆\𝐸. Theo giả thiết quy nạp (thay thế U bởi U×∆), ta có f có thác triển phân hình 𝑓′: 𝑈 × ∆𝑅𝑛−1× ∆→ 𝑋.

Tương tự với 𝐵′ là tập các (𝑧, 𝑤) ∈ 𝑈 × ∆𝑅𝑛−1 sao cho {(𝑧, 𝑤)} × ∆⊂ 𝐼𝑓′, và viết 𝐸′ = (𝐴 × ∆𝑅𝑛−1) ∪ 𝐵′. Khi đó 𝐸′ có độ đo 0 trong 𝑈 × ∆𝑅𝑛−1 và ánh xạ 𝑓′(𝑧, 𝑤,∙): ∆→ 𝑋 là xác định, hơn nữa 𝑓′ có thác triển chỉnh hình trên ∆𝑅 với mọi (𝑧, 𝑤) ∈ 𝑈 × ∆𝑅𝑛−1\𝐸′. Vì vậy, theo trường hợp 𝑛 = 1, 𝑓′ có thác triển phân hình 𝑓:̃ 𝑈 × ∆𝑅𝑛−1 × ∆𝑅→ 𝑋.

Vậy định lý được chứng minh.∎

Định lý 2.4.2[14]

Giả sử M là 1 đa tạp K𝑎̈hler compact lồi chỉnh hình . Giả sử f:𝔹𝑛→M là ánh xạ, 𝑓 là chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mọi đường thẳng phức l qua gốc và 𝑓 thuộc lớp 𝐶∞trong lân cận của gốc tọa độ . Khi đó f phân hình trong 𝔹𝑛.

Chứng minh.

Theo định lý Forelli, tồn tại 𝑟0 > 0 sao cho f là chỉnh hình trong 𝔹𝑟𝑛0. Đặt 𝔹∗𝑛 =𝔹𝑛\{𝑧𝑛 = 0}.

Xét ánh xạ chỉnh hình 𝜑: 𝔹∗𝑛 → ℂ𝑛 được cho bởi φ(𝑧1,..., 𝑧𝑛) = (𝑧1/𝑧2, . . . , 𝑧𝑛−1/𝑧𝑛, 𝑧𝑛). Đặt 𝜑(𝔹∗𝑛) = 𝑇 𝑣à xác định

𝜑1:𝔹∗𝑛 → 𝑇 𝑏ở𝑖 𝜑1(𝑧) = 𝜑(𝑧) 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑧𝜖 𝔹∗𝑛 . Khi đó 𝜑1 là song chỉnh hình.

Đặt 𝑔 = 𝑓 ∘ 𝜑1−1: 𝑇 → 𝑀

Và TR,h = {𝑡 = (𝑡′ , 𝑧𝑛) ∈ 𝑇: ‖𝑡′‖ < 𝑅 𝑣à 0 < |𝑧𝑛|2 < ℎ/(1 + 𝑅2)} sao cho R>0 và 0 < h ≤ 1. {𝑇𝑅,ℎ} là tích 2 tập mở nên nó cũng là một tập mở. Hiển nhiên khi h tăng thì bán kính tập mở thứ 2 cũng tăng. Do đó {𝑇𝑅,ℎ} là họ của các tập con mở tăng khi ℎ tăng và T=∪ {𝑇𝑅,1: 𝑅 ∈ 𝑄+∗}. Do 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑟𝑛0 nên ta có 𝑔 cũng là chỉnh hình trong 𝑇𝑅,𝑟

02 sao cho mọi 𝑅 > 0.

Theo định lý Forelli, tồn tại 𝑟𝑜 > 0 sao cho g là chỉnh hình trong {𝑇𝑅,𝑟

02} với mọi 𝑅 > 0.

Từ Định lý 2.4.1 suy ra g là phân hình trên 𝑇𝑅,1. Vì T=∪𝑅>0𝑇𝑅,1, nên g là phân hình trong T. Mặt khác, vì 𝔹𝑛 =∪𝑖=1𝑛 (𝔹𝑛\{𝑧𝑖 = 0}) ∪ 𝔹𝑟𝑛0, nên f là phân hình trong 𝔹𝑛.

KẾT LUẬN

Luận văn này nghiên cứu Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức. Đặc biệt là một số mở rộng của định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức kiểu Hartogs, đa tạp K𝑎̈hler phức compact lồi chỉnh hình và đa tạp phức lồi chỉnh hình. Luận văn đạt được một số kết quả như sau:

Trình bày một cách hệ thống một số kiến thức cơ sở của giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, khôn gian phức lồi chỉnh hình, không gian phức kiểu Hartogs, không gian K𝑎̈hler phức, không gian Stein. không gian phức có tính chất Forelli, ...

Trình bày được một cách chi tiết, rõ ràng một số mở rộng của định lý Forelli: + Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs

+ Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈hler phức compact lồi chỉnh hình. + Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. A. Andreotti, W. Stol (1971), Analytic and algebraic dependence of meromorphic functions.

[2]. E. M. Chirka (1989), Complex Analytic Sets, Kluwer Academic Published, 293-294.

[3]. Akira Fujiki (1978), Closedness of the Douady Spaces of Compact K𝑎̈hler Space, 7-8.

[4]. Robert C. Gunning and Hugo Rossi (1987), Analytic function of several

complex variables, 209-215.

[5]. M. Klimek (1991), Pluripotential Theory, London Math. Soc, Oxford Sci- ence Publication, 6-7.

[6]. S. Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren Math.

Wiss, 318.

[7]. B. Shiffman (1990), Hartogs theorem for separately holomorphic mappings into complex spaces, C.R.Acad.Sci.Paris Ser, 89-94.

[8]. B. Shiffman (1994), Separately meromorphic mappings into compact Kähler manifold, in : Contribution to Complex Analysis and Analytic Geometry, H. Skoda and J.M.Trepreau,Vieweg, Braunschweig, 243-250.

[9]. B. Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math.Ann, 249-258.

[10]. Th. Perternell (1974), Pseudoconvexity, the Levi problem and Vanishing Theorems, Encyclopaedia of Math, Sciences, “Several Complex Variables

VII”, 223-254.

[11]. D. D. Thai (1991), On the D* -extension and the Hartogs extension ,Ann.

Scuola Norm. Sup. Pisa 418, 13-18.

[12]. D. D. Thai and N. T. T. Mai (2000), Hartogs – type extension theorems

for separately holomorphic mappings on compact sets , Internat. J. Math.

[13]. D. D. Thai and P. N. Mai (2003), Convergence and extension theorems in

geometric function theory, Kodai Math. J. 26, 179-198.

[14]. P. N. Mai, D. D. Thái and Le Tai Thu (2004), The theorem of Forelli for