Ch÷ìng 1 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach
2.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng
l ¡nh x¤ tüa co. Do vªy ành lþ 2.3.4 ¡p döng ÷ñc v d¹ th§y z = 1 l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T. Tuy nhi¶n khæng ¡p döng ÷ñc ành lþ 2.2.5.
2.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suyrëng rëng
C¡c k¸t qu£ cõa ph¦n n y ÷ñc tr½ch d¨n tø cæng tr¼nh [4].
ành ngh¾a 2.4.1. nh x¤ T : X → X ÷ñc gåi l nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric X n¸u tçn t¤i sè r ∈ [0; 1) sao cho
(1−r)d(x, T x) ≤ d(x, y) k²o theo d(T x, T y) ≤ rMG(x, y) (2.11) vîi måi x, y ∈ X, ð ¥y
MG(x, y) = max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x), d(T2x, x), d(T2x, T x), d(T2x, y), d(T2x, T y)}.
Sè r > 0 nhä nh§t thäa m¢n (2.11) ÷ñc gåi l h¬ng sè nûa tüa co suy rëng cõa T.
Nhªn x²t. N¸u T : X → X l ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng vîi h¬ng sè
r tr¶n khæng gian metric (X, d) v δ[O(x;n)] > 0 vîi n∈ N∗, th¼ tçn t¤i
j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
Bê · 2.4.2. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric v T : X → X l ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng vîi h¬ng sè r. Khi â n¸u tçn t¤i n ∈ N sao cho
δ[O(xn+1; 1)] > 0 th¼
δ[O(xn; 1)] ≤ rnδ[O(x0;n+ 1)],
ð ¥y d¢y {xn} trong X x¡c ành bði
xn = Tnx0 vîi måi n∈ N.
Chùng minh. Vîi méi n ∈ N, ta câ
(1−r)d(xn, T xn) ≤d(xn, T xn) = d(xn, xn+1).
V¼ T l nûa tüa co suy rëng n¶n
d(xn+1, xn+2) =d(T xn, T xn+1)
≤rmax{d(xn, xn+1), d(xn+1, xn+2), d(xn, xn+2)}.
Tø â suy ra
d(xn+1, xn+2) ≤rδ[O(xn; 2)] vîi måi n∈ N.
i·u n y k²o theo
δ[O(xn+1; 1)] ≤rδ[O(xn; 2)] vîi måi n ∈ N.
B¬ng quy n¤p, ta suy ra
d(xn+1, xn+2) ≤ rnδ[O(x0;n+ 1)] vîi måi n ∈ N.
Bê · 2.4.3. Gi£ sû t§t c£ c¡c gi£ thi¸t cõa Bê · 2.4.2 ÷ñc tho£ m¢n. Khi â
δ[O(x0;n+ 1)] ≤ 1
Chùng minh. Theo nhªn x²t ð tr¶n, tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k ≤ n+ 1 sao cho δ[O(x0;n+ 1)] = d(x0, xk). Khi â δ[O(x0;n+ 1)] = d(x0, xk) ≤ d(x0, x1) +d(x1, xk) = d(x0, x1) + δ[O(x1;n)] ≤ d(x0, x1) +rδ[O(x0;n+ 1)]. Do â, δ[O(x0;n+ 1)] ≤ 1 1−rd(x0, x1).
Bê · 2.4.4. Gi£ sû t§t c£ c¡c gi£ thi¸t cõa Bê · 2.4.2 ÷ñc tho£ m¢n. Khi â
d(T xn, T xn+1) ≤ r
1−rd(xn, xn+1).
Chùng minh. Tø b§t ¯ng thùc
(1−r)d(xn, T xn+1) ≤ d(xn, T xn) =d(xn, xn+1)
v T l nûa tüa co suy rëng,
d(T xn, T xn+1) ≤ rmax{d(xn, xn+1), d(xn+1, xn+2), d(xn, xn+2)} ≤ r[d(xn, xn+1) +d(xn+1, xn+2)] = r[d(xn, xn+1) +d(T xn, T xn+1)]. Tø â k²o theo d(T xn, T xn+1) ≤ r 1−rd(xn, xn+1).
ành lþ 2.4.5. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric T- ¦y õ theo quÿ ¤o v T : X → X l ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng vîi h¬ng sè r. Khi â
(i) T câ iºm b§t ëng duy nh§t z ∈ X; (ii) lim
n→∞Tnx = z vîi måi x ∈ X;
(iii) d(Tnx, z) ≤ (1r−n−r1)2d(x, T x) vîi måi x ∈ X v n ∈ N.
Chùng minh. (i) L§y x0 ∈ X cè ành. Ta ành ngh¾a d¢y {xn} trong X
x¡c ành bði
xn = Tnx0 vîi måi n∈ N.
N¸u tçn t¤i n ∈ N sao cho δ[O(xn; 1)] = 0 th¼
xn = xn+1 = T xn.
i·u n y chùng tä xn l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T.
N¸u δ[O(xn; 1)] > 0 th¼ theo Bê · 2.4.2 v Bê · 2.4.3 ta câ
d(xn, xn+1) ≤ r n−1 1−rd(x0, x1). M°t kh¡c, vîi m > n, ta câ d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) +d(xn+1, xn+2) +...+d(xm−1, xm) ≤ (rn−1 +rn +...+rm−1) 1 1−rd(x0, x1) ≤ r n−1 (1−r)2d(x0, x1). (2.12) V¼ r ∈ [0,1) n¶n lim n→∞ rn−1 (1−r)2d(x0, x1) = 0. Tø â suy ra lim n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Vªy d¢y {xn} l Cauchy trong X. V¼ X l T- ¦y õ theo quÿ ¤o n¶n tçn t¤i z ∈ X sao cho lim
n→∞xn = z.
Ta chùng minh vîi méi n ∈ N, ho°c
ho°c
(1−r)d(T xn, T xn+1) ≤ d(T xn, z).
Thªt vªy, gi£ sû tçn t¤i n∈ N sao cho
d(xn, z) < (1−r)d(xn, T xn) v d(T xn, z) < (1−r)d(T xn, T xn+1).
Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c v Bê · 2.4.4, ta câ
d(xn, T xn) ≤d(T xn, z) +d(T xn, z) < (1−r)d(xn, T xn) + (1−r)d(T xn, T xn+1) < (1−r)[d(xn, T xn) + r 1−rd(xn, T xn)] = (1−r)[1 + r 1−r]d(xn, T xn) = d(xn, T xn).
i·u n y m¥u thu¨n. Vªy vîi méi n∈ N, ho°c
(1−r)d(xn, T xn) ≤ d(xn, z) ho°c (1−r)d(T xn, T xn+1) ≤ d(T xn, z). N¸u (1−r)d(xn, T xn) ≤d(xn, z) th¼ d(T xn, T z) ≤ rmax{d(xn, z), d(xn, T xn), d(z, T z), d(xn, T z), d(z, T xn), d(T2xn, xn), d(T2xn, T xn), d(T2xn, z), d(T2xn, T z)} = rmax{d(xn, z), d(xn, xn+1), d(z, T z), d(xn, T z), d(z, xn+1), d(xn+2, xn), d(xn+2, xn+1), d(xn+2, z), d(xn+2, T z)}. Cho n→ ∞, ta thu ÷ñc d(z, T z) ≤rd(z, T z).
i·u n y k²o theo z = T z. Vªy z l iºm b§t ëng cõa T. N¸u (1−r)d(T xn, T xn+1) ≤ d(T xn, z) th¼
d(z, T xn+1), d(T2xn+1, xn+1), d(T2xn+1, T xn+1), d(T2xn+1, z), d(T2xn+1, T z)} = rmax{d(xn+1, z), d(xn+1, xn+2), d(z, T z), d(xn+1, T z), d(z, xn+2), d(xn+3, xn+1), d(xn+3, xn+2), d(xn+3, z), d(xn+3, T z)}. Cho n→ ∞, ta thu ÷ñc d(z, T z) ≤rd(z, T z).
i·u n y k²o theo z = T z. Vªy z l iºm b§t ëng cõa T. B¥y gií gi£ sû z v w l hai iºm b§t ëng cõa T. Bði
(1−r)d(z, T z) ≤ rd(z, w)
v T l nûa tüa co suy rëng n¶n
d(w, z) =d(T w, T z)
≤ rmax{d(w, z), d(w, T w), d(z, T z), d(w, T z), d(z, T w), d(T2w, z), d(T2w, T w), d(T2w, z), d(T2w, T z)}
= rd(w, z).
i·u n y k²o theo w = z. Vªy T câ mët iºm b§t ëng duy nh§t. (ii) V¼ x0 l tuý þ n¶n lim n→∞xn = lim n→∞Tnx = z vîi måi x ∈ X. (iii) Tø (2.12) ta câ d(Tnx, Tmx) = d(xn, xm) ≤ r n−1 (1−r)2d(x, T x)
måi x ∈ X v m, n ∈ N. Cho m → ∞ ta thu ÷ñc
d(Tnx, z) ≤ r
n−1
V½ dö 2.4.6. Gi£ sû X = {(0,0),(4,0),(0,4),(4,5),(5,4)}. X²t metric d
tr¶n X x¡c ành bði
d((x1, x2),(y1, y2)) =|x1 −y1|+|x2 −y2|.
Khi â (X, d) l khæng gian metric ¦y õ. X²t ¡nh x¤ T :X →X bði
T(0,0) = (0,0), T(4,0) = (0,4), T(0,4) = (0,0),
T(4,5) = (4,0), T(5,4) = (0,4).
D¹ th§y
d(T x, T y) ≤ 9
10MG(x, y)n¸u(x, y) 6= ((4,5),(5,4))v (y, x) 6= ((4,5),(5,4)).
Trong c¡c tr÷íng hñp cán l¤i, ta luæn câ
(1−r)d(x, T x) > d(x, y) vîi måi r ∈ [0,1)
n¶n T tho£ m¢n t§t c£ c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.4.5 v d¹ th§y z = (0,0)
l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T. M°t kh¡c, ta l¤i câ
d((T(5,4), T(4,5))) = 8 > rM((4,5),(5,4)) vîi måi r ∈ [0,1).
i·u n y chùng tä T khæng l ¡nh x¤ tüa co suy rëng. Do vªy khæng ¡p döng ÷ñc ành lþ 2.3.4.