Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker
2.2 Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu
Trong phần này, ta có thể thấy rằng điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker sẽ trở thành điều kiện đủ khi ta đưa vào một vài giả thiết lồi suy rộng.
Định lý 2.2.1
Giả sử x¯ là một điểm chấp nhận được của bài toán (P). Giả sử rằng fk có một dưới vi phân suy rộng ∂∗fk(¯x) tại x,¯ ∀k ∈ J, gi có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗gi(¯x) tại x,¯ ∀i ∈ I(¯x), và h là khả vi Fréchet tạix¯. Hơn nữa, giả sử rằng (i) ∃ λ¯k ≥ 0 (∀k ∈ J) với λ = (λk)k∈J 6= 0,à¯i ≥ 0 (∀i ∈ I (¯x))và γ¯j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho 0∈ cl X k∈J ¯ λkconv∂∗fk(¯x) + X i∈I(¯x) ¯ àiconv∂∗gi(¯x)
+X j∈L ¯ γj∇hj(¯x) +N(C; ¯x) , (2.4) (ii) f là giả lồi Rn+ - tiệm cận vô hướng tại x¯ theo C; gi là tựa lồi và hj là tựa tuyến tính tại x¯theo C (∀i ∈ I (¯x), j ∈ L); C là tập lồi.
Khi đó x¯là cực tiểu Pareto yếu của (P). Chứng minh Từ (2.4) suy ra tồn tại ξ¯(n) k ∈ conv∂∗fk(¯x) (∀k ∈ J), η¯(in) ∈ conv∂∗gi(¯x) (∀i ∈ I(¯x)) và ζ¯(n) ∈ N(C; ¯x) sao cho lim n→∞ X k∈J ¯ λkξ¯k(n) + X i∈I(¯x) ¯ àiη¯i(n)+X j∈L ¯ γj∇hj(¯x) + ¯ζ(n) = 0. (2.5) Bởi vì gi là dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗gi(¯x)tại x¯ theoM, với mọi
∀i ∈ I(¯x), từ mệnh đề 1.1.1 ta suy ra với mọi ∀i ∈ M,
hηi, x −x¯i ≤ 0 (∀ηi ∈ ∂∗gi(¯x)),
do gi(x)−gi(¯x) ≤ 0(∀x ∈ M). Điều này dẫn đến
hηi, x−x¯i ≤ 0 (∀ηi ∈ conv∂∗gi(¯x)).
Do đó,
hη¯i(n), x−x¯i ≤ 0 (∀x ∈ M). (2.6) Vì hj (j ∈ L) là tựa tuyến tính tại x¯ theo C nên ta có
h∇hj(¯x), x−x¯i = 0 (∀x ∈ M). (2.7) Vì C lồi nên ta có x−x¯ ∈ T(C; ¯x) ∀x ∈ C. Vì vậy,
hζ¯(n), x −x¯i ≤ 0 (∀x ∈ M). (2.8) Kết hợp (2.5) - (2.9) ta suy ra lim n→∞hX k∈J ¯ λkξ¯(n) k , x−x¯i ≥ 0. (2.9) Vì fk có một dưới vi phân suy rộng ∂∗fk(¯x) tại x¯ và λ¯k ≥ 0 ∀k ∈ J, theo các quy tắc 4.1, 4.2 [9] ta suy ra ¯λTf có P
rộng tại x¯. Sử dụng tính giả lồi Rn+ - tiệm cận vô hướng của f, ta suy ra rằng
¯
λTf là giả lồi tiệm cận tại x¯theo M . Do đó từ (2.9) ta có
hλ, f¯ (x)i ≥ hλ, f¯ (¯x)i (∀x∈ M).
Từ đó suy ra x¯là cực tiểu Pareto yếu của (P).
Kết luận
Luận văn đã trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu của D. V. Lưu (2014) cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng, bao gồm:
- Các kiến thức về dưới vi phân suy rộng của Jeyakumar-Luc (1999); - Các điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu địa phương; - Các điều kiện chính quy;
- Các điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho cực tiểu Pareto yếu địa phương; - Các điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu.
Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn dưới ngôn ngữ các dưới vi phân là đề tài đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển.