Metric vi phân Caratheodory

2 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory và Sibony

2.2 Metric vi phân Caratheodory

2.2.1 Định nghĩa

Cho X một không gian phức, ta định nghĩa một hàm không âm FCX trên không gian tiếp xúc T X bởi:

FCX(v) = sup

f

kf∗vk, với v ∈ T X, (2.9)

trong đó kf∗vk là độ dài của vectơ tiếp xúc f∗v của D được đo bởi metric Poincaréds2 củaDvà cận trên đúng được lấy theo tất cả các ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(X,D). Cận trên đúng này đạt được với một ánh xạ f nào đó thuộc Hol(X,D), mà biến điểm π(v) ∈ X thành 0 ∈ D.

Rõ ràng, FCX thỏa mãn điều kiện lồi sau:

FCX(v +v0) ≤ FCX(v) +FCX(v0), với v, v0 ∈ TPX. (2.10) Ta gọi FCX là giả metric vi phân Caratheodory trên không gian phức X . +) Nhận xét: Nếu Ω là một miền trong Cn, p∈ Ω và ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Cn

thì metric vi phân Caratheodory trên Ω được xây dựng bởi FCΩ(p, ξ) = sup ( kf∗(p)ξk= n X i=1 ∂f(p) ∂zi ξi ;f ∈ Hol(Ω,D), f(p) = 0 ) . Tương tự như metric vi phân Kobayashi FKX, metric vi phân Caratheodory FCX cũng có tính chất giảm qua ánh xạ chỉnh hình và trùng với metric Bergman-Poincaré trên đĩa đơn vị D.

2.2.2 Định lý

(1) Nếu X và Y là các không gian phức, khi đó

FCY(f∗v) ≤FCX(v), với f ∈ Hol(X,Y) và v ∈ TX. (2) Cho đĩa đơn vị D với metric Poincaré ds2, ta có

(FCD)2 = ds2.

Mệnh đề sau chỉ ra tính nhỏ nhất của metric vi phân Caratheodory FCX.

2.2.3 Mệnh đề

Nếu F là một hàm độ dài trên X sao cho

kf∗vk ≤ F(v) với f ∈ Hol(X,D) và v ∈ TX, (2.11) khi đó FCX ≤F.

Nhận xét: Từ kết quả trên và tính chất của metric vi phân Kobayashi ta có

FCX ≤ F ≤FKX.

trong đó F là một hàm độ dài trên X thỏa mãn (2.11).

2.2.4 Định lý

Giả metric vi phân Caratheodory FCX : T X → R là liên tục.

Chứng minh. Cho vk ∈ TpkX là một dãy các vectơ hội tụ đến v ∈ TpX. Như chúng ta đã nhận xét ở trên, có một ánh xạ f ∈ Hol(X,D) sao cho FCX(v) =kf∗vk và f(p) = 0. Khi đó

Hơn nữa với mỗi vk có một ánh xạ fk ∈ Hol(X,D) sao cho FCX(vk) = kfk∗vkk và fk(pk) = 0.

Lấy một dãy con hội tụ, ta có thể đặt g = limfk. Khi đó FCX(v) ≥ kg∗vk = limkfk∗vkk= limFCX(vk).

Tương tự như biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi ta có định lí sau:

2.2.5 Định lý

Cho X là một không gian phức. Giả khoảng cách nội tại ciX cảm sinh bởi giả khoảng cách Caratheodory cX có được bằng lấy tích phân của giả metric Caratheodory FCX.

Chứng minh. Cho δ là giả khoảng cách thu được bằng phép lấy tích phân của FCX. Ta có

FCX(v) = supkf∗vk với f ∈ Hol(X,D) v ∈ TX. Lấy tích phân hai vế đẳng thức này ta nhận được

δ(p, q) ≥ ρ(f(p), f(q)), với f ∈ Hol(X,D), p,q ∈ X. Do tính chất nhỏ nhất của cX ta có

δ(p, q) ≥cX(p, q), với p, q ∈ X. Vì ρ là nội tại nên ta có

Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, ta xét đường cong γ(t) trong X. Gọi v là vectơ tốc độ của γ(t) tại t = t0. Cho f ∈ Hol(X,D) sao cho kf∗vk = FCX(v). Từ δ(γ(t0), γ(t)) ≥ ciX(γ(t0), γ(t)) ≥cX(γ(t0), γ(t)) ≥ ρ(f(γ(t0)), f(γ(t))), ta có được FCX(v) = limt→t0 δ(γ(t0), γ(t)) |t−t0| ≥ limt→t0 ciX(γ(t0),γ(t)) |t−t0| ≥limt→t0 cX(γ(t0), γ(t)) |t−t0| ≥tlim→t0 ρ(f(γ(t0)), f(γ(t))) |t−t0| = kf∗vk = FCX(v).

Cố định t = a, gọi LE(s) (tương ứng Lc(s)) là độ dài cung của cung γ từ t= a đến t = s được đo bởi FCX (hoặc δ). Khi đó

L0E(t0) =FCX(v).

Mặt khác, độ dài của γ từ t = t0 đến t = s được đo bởi δ ít nhất bằng độ dài của nó được đo bởi ciX. Do đó

LE(s)−LE(t0)

s−t0 ≥ Lc(s)−Lc(t0)

s−t0 ≥ cX(γ(t0), γ(s)) s−t0 . Cho s →t0, ta thu được

FCX(v) =L0E(t0) ≥L0c(t0) ≥ FCX(v).

Từ đó ta có đẳng thức L0E(t0) = L0c(t0) với mọi t0. Do đó LE(t) = Lc(t)

với mọi t, và δ = ciX. Định lý được chứng minh.

Định lý sau chứng tỏ nếu X không có kì dị thì FCX không chỉ liên tục mà còn Lipchitz địa phương.

2.2.6 Định lý

Với một đa tạp phức X, giả metric vi phân Caratheodory FCX là Lipchitz địa phương.

Chứng minh. Cho o ∈ X và cố định một hệ tọa độ địa phương trong một lân cận U của o. Ta có thể đồng nhất không gian tiếp xúc TpX tại p ∈ U với Cn. Do đó ta viết (p, ξ) ∈ U ×Cn với v ∈ TpU. Cho Br là hình cầu bán kính r quanh o đối với hệ tọa độ đã cho. Cho p, q ∈ Br/2 và ξ, η ∈ Cn. Giả sử FCX(p, ξ) ≥ FCX(q, ξ). Khi đó FCX(p, ξ)−FCX(q, ξ) = sup 2|f∗(p, ξ)| − sup 2|f∗(q, ξ)| 1− |f(q)|2 ≤2 sup ( |f∗(p, ξ)| − |f∗(q, ξ)| 1− |f(q)|2 ) ≤2 sup{ |f∗(p, ξ)| − |f∗(q, ξ)| } ≤2 sup|f∗(p, ξ)−f∗(q, ξ)| ≤ C r2 kp−qk.kξk.

trong đó, cận trên đúng được lấy theo tất cả các f ∈ Hol(X,D) sao cho f(p) = 0.

Bất đẳng thức cuối suy ra từ công thức tích phân Cauchy với đạo hàm bậc hai của f. Tương tự, sử dụng công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm lần thứ nhất của f ta thu được

FCX(q, ξ)−FCX(q, η) ≤FCX(q, ξ −η) = sup |f∗(q, ξ−η)| ≤ C 0

r kξ −ηk, trong đó cận trên đúng được lấy với mọi f ∈ Hol(X,D) sao cho f(q) = 0. Từ hai đánh giá trên ta suy ra định lý được chứng minh.