II. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: 1 Sử dụng bất đẳng thức tam giác:
4. Sử dụng các bất đẳng thức đại số:
Bài 1: Cho tam giác ABC và O là điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
1) 2)
Dấu ‘=’ xảy ra khi nào? Giải:
1) Từ A kẻ AH BC, OK BC
OK//AH. Xét tam giác AHP ta có: (định lý talét)
SBOC=1/2.OK.BC; SABC=1/2.AH.BC
Tương tự ta có:
Điều phải chứng minh
2) Đặt: ha B A C O P Q R H K
Áp dụng bất đẳng thức: Ta được:
Mà nên
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm tam
giác ABC
Bài 2. Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC AC.BD Dấu = xảy ra khi tứ giác ABCD nội tiếp
Giải
Vẽ tia Ax sao cho Vẽ tia Dy sao cho
Gọi K là giao điểm của Ax và Dy
Xét cú: (cách dựng) (cách dựng) đồng dạng với (g.g) Vì và đồng dạng với KDC (c.g.c)
Từ (1)(2) ta có: AB.CD+ BC.AD=BD(KA+KC) Mà AK+KC AC
AB.CD +BC.AD AC.BD
Dấu = xảy ra AK+KC = AC K AC
tứ giác ABCD nội tiếp.
Ta có định lý Ptôlêmê: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng các tích các cạnh đối diện bằng tích hai đường chéo
5. Sử dụng một bài toán để chứng minh các bất đẳng thức khác
Bài toán: Cho b1 , b2 ... bn là các số dương còn a1 ,a2 ,....an là các số tuỳ ý Chứng minh rằng ta luôn có:
Dấu = xảy ra khi nào? Giải x y K A D C B
Áp dụng bất đẳng thức Côsi-Bunhiacôpxki ta có:
vì b1 , b2 ....,bn là các số dương nên tổng của chúng >0 Chia cả hai vế cho (b1 + b2 +...+bn ) ta được
(*) Dấu bằng xảy ra
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Chứng minh với a, b, c là ba cạnh của tam giác ta có: Giải
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có vế phải =
muốn chứng minh bất đẳng thức(1) ta phải chứng minh:
3
4(a2+b2+c2) ba+bc+ca bất đẳng thức này đúng Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
Bài tập tự giải
Bài 1: Chứng minh rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác Thì:
Bài 2. Cho tam giác ABC với ma, mb, mc là ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng :
Bài 3: Gọi a, b,c là ba cạnh của một tam giác. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc
Chứng minh rằng:
Điều làm tôi hài lòng nhất khi áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy là có nhiều học sinh đó nói “ bài toán bất đẳng thức cũng không quá khó như em nghĩ”. Các em học sinh có đủ tự tin hơn khi gặp bài toán bất đẳng thức. Hơn thế nữa, với những học sinh khá giỏi, các em rất say mê và cũng muốn cô giáo cho thêm nhiều bài toán hơn nữa về bất đẳng thức. Mỗi ngày, các em một hăng say, tự tìm tòi các bất đẳng thức mới, tự chứng minh và áp dụng.
Tuy nhiên, đây chỉ là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã tích luỹ được qua thời gian công tác chưa nhiều của mình. Chắc chắn những điều trên chưa thể gọi là tổng quát và cũng không tránh khỏi trong nội dung còn nhiều khuyết điểm. Tôi rất mong được sự trao đổi, góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, sự chỉ bảo của các thầy cô đi trước để tôi giảng dạy đạt kết quả cao hơn.