Phương pháp bình phương tối thiểu tuyến tính kết hợp giải thuật di truyề n

5. NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH SAI SỐ HÌNH HỌC, ĐỘNG HỌC

5.1.2 Phương pháp bình phương tối thiểu tuyến tính kết hợp giải thuật di truyề n

truyền

Trong toán học, phương pháp bình phương tối thiểu, còn gọi là bình phương nhỏ nhất hay bình phương trung bình tối thiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê (error) giữa đường khớp và dữ liệu.

Phương pháp này giảđịnh các sai số (error) của phép đo đạc dữ liệu phân phối ngẫu nhiên. Định lý Gauss-Markov chứng minh rằng kết quả thu được từ phương pháp bình phương tối thiểu không thiên vị và sai số của việc đo đạc dữ liệu không nhất thiết phải tuân theo, ví dụ, phân bố Gauss. Một phương pháp mở rộng từ phương pháp này là bình phương tối thiểu có trọng số.

Phương pháp bình phương tối thiểu thường được dùng trong khớp đường cong. Nhiều bài toán tối ưu hóa cũng được quy về việc tìm cực trị của dạng bình phương, ví dụ như tìm cực tiểu của năng lượng hay cực đại của entropy.

Hình 5-1: Hình minh họa bình phương tối thiểu tuyến tính [35].

Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi, yi) với i = 1, 2, ..., n. Chúng ta cần tìm một hàm số f

thỏa mãn:

 

f x  y (5.8)

Giả sử hàm f có thể thay đổi hình dạng, phụ thuộc vào một số tham số, pj với j = 1, 2, ..., m:

 





f x  f p x _(5.9)

Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số pj sao cho biểu thức sau đạt cực tiểu:

 



Đôi khi thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương, người ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương trung bình:

 



Bài toán thường có lời giải đáng tin cậy khi số lượng các tham số pj nhỏ hơn số lượng các dữ liệu (m < n).

Trong trường hợp, f là hàm tuyến tính của các tham sốpj, bài toán trở nên đơn giản hóa rất nhiều, rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính. Xem thêm bình phương tối thiểu tuyến tính.

Nếu f không là hàm tuyến tính của các tham số, bài toán trở thành một bài toán tối ưu hóa tổng quát. Bài toán tổng quát này có thể dùng các phương pháp như phương pháp tối ưu hóa Newton hay phương pháp trượt dốc, công cụ giải thuật di truyền.

Áp dụng vào bài toán tìm sai số trong luận án này, từ phương trình (5.2) ta thấy rằng, để tìm được nghiệm ta cần tìm bộ giá trị



thuật khớp đường cong bằng giải thuật di truyền (Genetic algorithm - GA) để nhận được lời giải là giá trị sai số hình học, động học của các khâu, khớp robot.

Trong trường hợp bài toán tìm sai số hình học, động học của các khâu, khớp robot, ta thấy rằng các nghiệm cần tìm là giá trị các sai số nằm trong hàm f x

 

y

Theo phương pháp bình phương tối thiểu tuyến tính ta thiết lập được hàm mục tiêu bình phương tối thiểu trung bình L như sau:

2 1 ( ) 0 j 1, 2, ..., m j m R j j L de J de  



Sau khi thiết lập được hàm mục tiêu, ta sử dụng công cụ GA theo cách tự lập trình hoặc sử dụng công cụ sẵn có của một số phần mềm thương mại để tìm ra giá trị của các sai số hình học, động học. Ta có thể sử dụng kết quả tìm sai số này để cập nhật vào các tham số cấu trúc trong bộđiều khiển để tính toán động học, động lực học và điều khiển robot được chính xác hơn.

Quá trình xác định sai sô hình học, động học của các khâu, khớp robot được mô tả như sau: Từ cấu trúc robot khảo sát ta xác định các tham số cấu trúc danh nghĩa của robot đó, áp vào chương trình thiết lập mô hình sai số đã trình bày trong Chương 3 để đưa ra mô hình toán của các sai số hình học, động học các khâu, khớp của robot và sai lệch vị trí và hướng của khâu thao tác; sau đó ta chọn quỹ đạo để khảo sát và đo xác định sai lệch vị trí và hướng của khâu thao tác tại mỗi điểm khảo sát; thiết lập hàm mục tiêu từ số liệu đo sai lệch và mô hình toán sai sốđã được thiết lập, sử dụng công cụ GA giải và tìm ra giá trị các sai số thỏa mãn hàm mục tiêu.

5.2 Giải thuật di truyền