Định lí:
Trong tam giác ABC. D,E,F lần lượt là giao điểm của các đường chia ba góc trong và cùng kề các cạnh tam giác ABC. Khi đó ta có tam giác DEF đều và được gọi là tam giác Morley.
Chứng minh:
đường chia trong ở B và C và lần lượt cắt tại D,I. Dễ thấy ID là phân giác của góc . Tại D dựng góc sao cho Di là phân giác của góc DEF và E thuộc CI và F thuộc BI DEF đều.
Lấy và lần lượt là điểm dối xứng với D qua CI và BI và dễ dàng c/m được là hình thang cân với
Vì định lí Morley chỉ có một trường hợp nên em xin phép chỉ sử dụng góc thường cho nó đơn giản:
Ta lại có là hình thang cân và trong đường tròn ngoại tiếp thì sđ A thuộc đường tròn . Từ đó ta có đpcm
Định lý Morley có thể mở rộng các đường chia trong thành các đường chia ngoài, và có thể là giao của đường chia trong với đường chia ngoài(mỗi trường hợp này lại cho ta một tam giác Morley khác nhau và theo thống kê có 36 tam giác Morley như vậy). Sau đó bài toán còn được phát triển và tương ứng được đặt thêm nhiều định nghĩa mới như "góc lửng", "tam giác ngoại lai", "tập hợp đẳng cấu", ...
Sau đây là bài toán mở rộng nhất định lý Morley:
Nếu chia n (n nguyên dương, n 3) tất cả các góc của một đa giác m cạnh, thì tất cả các giao của các đường thẳng là các đỉnh phân biệt của một hệ đa giác n cạnh đều, có thể phân chia làm họ, mỗi họ có đa giác có tâm thẳng hàng.
Cách chứng minh và các khái niệm liên quan xin xem thêm tại sách "Lãng mạn toán học" tác giả Hoàng Quý nhà xuất bản giáo dục
(Ai có ebook của quyển này up lên thì tốt quá.