Trong quỏ trỡnh học toỏn ở bậc THCS, cú lẽ hấp dẫn nhất và khú khăn nhất là việc vượt qua cỏc bài toỏn hỡnh học, mà để giải chỳng cần phải vẽ thờm cỏc đường phụ. Sau đõy xin nờu một phương phỏp thường dựng để tỡm ra cỏc đường phụ cần thiết khi giải toỏn hỡnh học : Xột cỏc vị trớ đặc biệt của cỏc yếu tố hỡnh học cú trong bài toỏn cần giải.
Bài toỏn 1 :
Cho gúc xOy. Trờn Ox lấy hai điểm A, B và trờn Oy lấy hai điểm C, D sao cho AB = CD. Gọi M và N là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh đường thẳng MN song song với phõn giỏc gúc xOy.
Suy luận :
Vị trớ đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua Oz, phõn giỏc gúc xOy. Gọi C và D là cỏc điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F là cỏc giao điểm của
AC1 và BD1 với Oz. Khi đú E và F là trung điểm của AC1 và BD1, và do đú vị trớ của MN sẽ là EF. Vỡ vậy ta chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hỡnh 1).
Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C1D1 (tớnh chất đối xứng) nờn CD = C1D1.
Mặt khỏc: ME và NF là đường trung bỡnh của cỏc VACC1 và BDD1 nờn NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 suy ra ME // NF và NE = 1/2 NF suy ra tứ giỏc MEFN là hỡnh bỡnh hành suy ra MN // EF suy ra đpcm.
Bài toỏn 1 cú nhiều biến dạng” rất thỳ vị, sau đõy là một vài biến dạng của nú, sau đú hóy đề xuất những “biến dạng” tương tự.
Bài toỏn 2 :
Cho tam giỏc ABC. Trờn AB và CD cú hai điểm D và E chuyển động sao cho BD = CE. Đường thẳng qua cỏc trung điểm của BC và DE cắt AB và AC tại I và J. Chứng minh ΔAIJ cõn.
Bài toỏn 3 :
Cho tam giỏc ABC, AB ≠ AC. AD và AE là phõn giỏc trong và trung tuyến của tam giỏc ABC. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE cắt AB và AC tại M và N. Gọi F là trung điểm của MN. Chứng minh AD // EF. Trong việc giải cỏc bài toỏn chứa cỏc điểm di động, việc xột cỏc vị trớ đặc biệt càng tỏ ra hữu ớch, đặc biệt là cỏc bài toỏn “tỡm tập hợp điểm”.
Bài toỏn 4 :
Cho nửa đường trũn đường kớnh AB cố định và một điểm C chuyển động trờn nửa đường trũn đú. Dựng hỡnh vuụng BCDE. Tỡm tập hợp C, D và tõm hỡnh vuụng. Ta xột trường hợp hỡnh vuụng BCDE “nằm ngoài” nửa đường trũn đó cho (trường hợp hỡnh vuụng BCDE nằm trong đường trũn đó cho được xột tương tự, đề nghị tự làm lấy xem như bài tập).
Suy luận : Xột trường hợp C trựng với B. Khi đú hỡnh vuụng BCDE sẽ thu lại một điểm B và cỏc điểm I, D, E đều trựng với B, trong đú I là tõm hỡnh vuụng BCDE. Vậy B là một điểm thuộc cỏc tập hợp cần tỡm. Xột trường hợp C trựng với A. Dựng hỡnh vuụng BAD1E1 khi đú D trựng với D1, E trựng với E1 và I trựng với I1 (trung điểm của cung AB ). Trước hết, ta tỡm tập hợp E. Vỡ B và E1 thuộc tập hợp cần tỡm nờn ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh gúc BEE1 khụng đổi. Điều này khụng khú vỡ gúc ACB = 90o (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) và ΔBEE1 = ΔBCA (c. g. c) suy ra gúc BEE1 = gúc BCA = 90o suy ra E nằm trờn nửa đường trũn đường kớnh BE1 (1/2 đường trũn này và 1/2 đường trũn đó cho nằm ở hai nửa mặt phẳng khỏc nhau với “bờ” là đường thằng BE1).
Vỡ gúc DEB = gúc E1EB = 90o nờn D nằm trờn EE1 (xem hỡnh 2)
Suy ra gúc ADE1 = 90o = gúc ABE1 suy ra D nằm trờn đường trũn đường kớnh AE1, nhưng ABE1D1 là hỡnh vuụng nờn đường trũn đường kớnh AE1 cũng là đường trũn đường kớnh BD1.
Chỳ ý rằng B và D1 là cỏc vị trớ giới hạn của tập hợp cần tỡm, ta suy ra tập hợp D là nửa đường trũn đường kớnh BD1 (nửa đường trũn này và điểm A ở về hai nửa mặt phẳng khỏc nhau với bờ là đường thẳng BD1).
Cuối cựng, để tỡm tập hợp I, ta cần chỳ ý II1 là đường trung bỡnh của ΔB 糈 D1 nờn II1
// DD1 suy ra gúc BII1 = 90 suy ra tập hợp I là nửa đường trũn đường kớnh BI1
(đường trũn này và A ở về hai nửa mặt phẳng khỏc nhau với bờ là BD1).
Bài toỏn 5:( Kẻ đường vuụng gúc nhằm tạo ra hai tam giỏc vuụng bằng nhau )
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A đường phõn giỏc BD, biết DB = 7, DC = 15. Tớnh độ dài AD?
Giải
Kẻ DE ⊥ BC. Ta cú VABD=VEBD( cạnh huyền – gúc nhọn ). Nờn DA = DE, BA = BE, suy ra BD là đường trung trực của AE. Gọi H là giao điểm của AE và BD. Lấy
1y y y x x x 15 K H E D A B C
K đối xứng với D qua H. Tứ giỏc AKED là hỡnh thoi. Đặt EK = ED = AD = x, DH = HK = y. Tam giỏc EBD vuụng nờn: ED2 = DB.DH, suy ra x2 = 7y (1). Do EK // AC nờn EK BK
CD = BD 7 2 (2)15 7 15 7
x − y
⇔ = .Từ (1) và (2) suy ra 30x2 + 49x – 735 =0. Nghiệm dương của phương trỡnh là x= 4,2 Vậy AD = 4,2.