V. Tài liệu tham khảo:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa 1.5. Dãy ( )xn được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện
0, N : m n, , ,m n N x, m xn
ε ε
∀ > ∃ ∈¥ ∀ ∈¥ ≥ − <
Định lí 1.8. Dãy số ( )x hội tụ khi và chỉ khi n ( )x là dãy Cauchy.n
Ví dụ 1.11. Cho hàm số :f ¡ →¡ thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
f x − f y ≤q x y− , với mọi ,x y∈¡ ,
trong đó q∈( )0,1 là hằng số cho trước. Với c∈¡ cho trước và xác định dãy ( ),x nn =0,1, 2,3... như sau:x0 =c x, n+1= f x n( ),n =0,1, 2,.... Chứng minh rằng dãy số ( )xn
hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương trình ( )f x =x.
Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy ( )xn là một dãy Cauchy. Thật vậy, với
, , m n∈¥ n m> ta có: ( ) ( 1 1 ) 1 1 ... m 0 n m n m n m n m x −x = f x − − f x − ≤q x − −x − ≤ ≤q x − −x (1)
( 1 )0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ... ... 1 1 n n n n n q x x x x x x q x x x x q − − − − ≤ − + + − ≤ + + − = − − .
Từ đây suy ra xn −x0 bị chặn với mọi n. Kết hợp với (1) ta thu được với mọi ε >0
tồn tại N∈¥ sao cho với mọi ,m n N≥ thì xn−xm <ε. Nên dãy ( )xn là một dãy Cauchy
suy ra nó hội tụ.
Từ điều kiện của hàm f dễ dàng chứng minh được f liên tục và do đó từ đẳng thức
1( ) ( )
n n
x = f x− chuyển qua giới hạn ta được giới hạn của dãy ( )xn là nghiệm của phương trình
( )
f x =x.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.12. Cho :f ¡ →¡ thỏa mãn điều kiện với mọi ε >0 đều tồn tại δ >0 sao cho: nếu ε ≤ − < +x y ε δ thì ( )f x − f y( ) <ε. Xét dãy số xác định như sau:
0 , n 1 ( ),n 0,1,...
x ∈¡ x + = f x n= Chứng minh rằng dãy ( )xn hội tụ.
Bài tập 1.13. Cho :f ¡ →¡ thỏa mãn điều kiện x f x− ( ) ≤ϕ( )x −ϕ( ( ))f x , trong đó :
ϕ ¡ →¡ là hàm liên tục và bị chặn dưới. Lấy x0∈¡ và lập dãy xn+1 = f x n( ),n =0,1, 2,... Chứng minh rằng dãy số ( )xn hội tụ.
Bài tập 1.14. Cho :f ¡ →¡ thỏa mãn điều kiện
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x − f y ≤k x f x− + −y f y , với mọi ,x y∈¡ , trong đó 1 2
k < . Xét dãy số xác định như sau:x1∈¡ ,xn+1= f x n( ),n ≥1. Chứng minh rằng dãy ( )xn hội tụ và giới hạn của
dãy là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x =x.
Bài tập 1.15. Cho :f ¡ →¡ thỏa mãn điều kiện: có số ,0k ≤ <k 1 sao cho
{ }
( ) ( ) max , ( ) , ( ) , .
f x − f y ≤k x y f x− −x y f y− ∀x y∈¡
Xét dãy số xác định như sau:x1∈¡ ,xn+1 = f x n( ),n ≥1. Chứng minh rằng dãy ( )xn hội
tụ và giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x =x.