Một số ứng dụng
3.1 Dãy cấp số cộng và một số ứng dụng thực tế
Xét các bài toán phổ thông có ứng dụng của cấp số cộng.
Ví dụ 3.1 ([2]). Tìm tất cả các hạng tử chung của cả 2 cấp số cộng : 3,7,11, ...,407
và 2,9,16, ...,709.
Lời giải. Số hạng tổng quát của dãy số thứ nhất là:
an3 4pn1q.
Số hạng tổng quát của dãy số thứ hai là:
bk2 7pk1q.
Ta cần tìm n vàk sao cho an bk, với 1¤n¤102,1¤k¤102. Suy ra 4n 47k tức là4pn 1q 7k.
Phương trình trên có nghiệm nguyên nếu và chỉ nếu vế phải chia hết cho 4, do đó ta gọi k 4s, với 1¤s¤25.
Ta có: 4n 47.4.s suy ra n 7s1. Vì1¤n¤102 nên 1¤s¤14. Do đó có chính xác 14 số hạng chung của cả 2 dãy đã cho.
Ta tìm các số hạng đó bằng cách sử dụng dãy an 3 4pn1q với n 7s1 hoặc dãy bk2 7pk1q với k 4s, s1,2,3, ...,14.
Đáp án: 23,51,79, ...,387.
Ví dụ 3.2 ([2]). Tính tổng tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 không chia hết cho 13.
Lời giải. Gọi S là tổng cần tìm, khi đó S có thể viết ở dạng:S S1000M, với S1000
là tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 1000, M là tổng các bội của 13 bé hơn 1000. Ta có
S1000 1 2 3 4 ... 999 1000.
Tức là tổng của 1000 hạng tử của cấp số cộng với a1 1;a1000 1000 và công sai
q1. Suy ra
S1000 1 1000
2 .1000500000.
Tất cả các bội của 13 được viết ở dạng 13k, suy ra
13k¤1000.
Do đó
k ¤ 1000
13 76,923.
Ta thu được số tự nhiên k lớn nhất là 76. Mặt khác
M 13 13.2 13.3 ...13.k 13p1 2 3 ... 76q 13.1 76
2 .7638038
Vậy S S100M 50000038038462462.
Ví dụ 3.3 ([2]). tanu là một cấp số cộng có công sai khác 0. Tổng các hạng tử từ số hạng thứ 4 đến số hạng thứ 14 là 77. Số 7 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Lời giải. Theo giả thiết bài toán:
a4 a5 a6 ... a14 77. Suy ra a4 a14 2 .11 a1 3d a1 13d 2 .11 pa1 8dq.1177. Do đó a1 8d7.
Theo công thức tổng quát, ta thu được
a9 7.
29
Ví dụ 3.4. Tìm tổng 19 số hạng đầu tiên của cấp số cộngtanubiếta4 a8 a12 a16
224.
Lời giải. Vì an a1 pn1qd nên ta có thể phân tích mỗi hạng tử thành biểu thức phụ thuộc vào a1 và d. Suy ra
a4 a8 a12 a16a1 3d a1 7d a1 11d a1 15d 4pa1 9dq. Vì a4 a8 a12 a16224 nên 4pa1 9dq 224. Suy ra a1 9d56.
Vậy tổng 19 số hạng đầu tiên của dãy
S19 a1 a19
2 .19 pa1 9dq.1956.191064.
Ví dụ 3.5. Tích của số hạng thứ 3 và thứ 6 của 1 cấp số cộng bằng 406. Số hạng thứ 9 chia số hạng thứ 4 được thương là 2 và dư 6. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
Lời giải. Vì số hạng thứ 9 chia số hạng thứ 4 được thương là 2 và dư 6 nên
a9 a4.2 6.
Suy ra
a1 8d pa1 3dq.2 6
hay
a1 2d6.
Ta lại có tích của số hạng thứ 3 và thứ 6 của 1 cấp số cộng bằng 406. Suy ra
a3.a6 406.
Do đó
Thay a1 2d6, ta được kết quả
p4d6qp7d6q 406.
Suy ra
14d233d1850.
Phương trình trên có 2 nghiệm d 5 hoặc d 37
14 . Hai kết quả thu được là khác
nhau nên ta nhận được 2 dãy cấp số cộng tương ứng: 1) tanu, a1 4, d5;
2) tanu, a1 79
7 , d 37
14 .
Ví dụ 3.6. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng chỉ chứa các hạng tử nguyên, bằng 2. Tổng bình phương của số hạng thứ 3 và thứ 4 bé hơn 4. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Lời giải. Ta sẽ phân tích a3, a4 theo a2
a32 a42 pa2 dq2 pa2 2dq2 p2 dq2 p2 2dq2 5d2 12d 8. Vì a32 a42 4 nên 5d2 12d 4 0.
Bất phương trình này có nghiệm 2 d 0,4.
Nhưng dãy số chỉ chứa các số hạng nguyên, do đó d 1. Vậy số hạng đầu tiên của dãy a1 a2d2 p1q 3.
Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng nếu 25, 43 và 70 là các hạng tử của cấp số cộng thì 2005 cũng thuộc vào cấp số cộng đó.
31
Lời giải. Theo giả thiết bài toán vớik, n, m PZ ta có: $ ' ' ' & ' ' ' % a1 kd25 a1 nd43 a1 md 25 ñ $ & % pnkqd18 pmnqd27 ñ pmn2nkqd9. Mặt khác 200570 9.215a1 md 215pm2n kqd a1 p216m430n 215kqd a1 ld, với l 216m430n 215k, lPZ.
Vậy 2005 là một hạng tử của dãy đã cho.
Ta sẽ xét ứng dụng của cấp số cộng trong ví dụ thực tế sau:
Ví dụ 3.8 ([2]). Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng. Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu tiên và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quí.
Nếu bạn là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?
Lời giải. Vấn đề đặt ra:
Chọn một trong hai phương án để nhận lương. Ta thấy việc người lao động chọn một trong hai phương án nhận lương phải căn cứ vào số tiền mà họ đuợc nhận trong 10 năm.
Phương án giải quyết:
Ta nhận thấy cả hai phương án số tiền nhận được sau một năm (một quí) đều tuân theo một quy luật nhất định :
Phương án 1: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1 36triệu và công sai d3 triệu. Phương án 2: đó là cấp số cộng với số hạng đầuu1 7triệu và công sai d0,5triệu. Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận được là:
S10 p72 9.3q.5195ptriệuq.
Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận được là:
Vậy nếu nguời lao động chọn phương án 2 để nhận lương thì sau 10 năm số tiền lương sẽ cao hơn.