3 Không gian Morrey-Campanato trên không gian loại thuần nhất
3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund trên X
Bổ đề 3.3.1. Cho µ là một độ đo dương trong σ− đại số các tập con của X, với mọi r > 0 và mọi hình cầu B(x, r) ⊂ X, ta có µ(B(x,2r)) ⩽ C0µ(B(x, r)) với C0 > 1. Cho f là một hàm không âm sao cho với hình cầu B ⊂ X và λ > 0 có tính chất
1
µ(B) Z
Bf(x)dµ(x) ⩽λ.
Khi đó, tồn tại dãy {Bj} các hình cầu trong B và hằng số dương C, chỉ phụ thuộc vào C0, κ1 và κ2, sao cho f(x) ⩽λ với µ -hầu hết x ∈B\S
jBj và λ < 1 µ(Bj) Z Bj f(x)dµ(x) ⩽Cλ
với mọi j. Hơn nữa, tồn tại một hằng số dương hữu hạn M, chỉ phụ thuộc vào κ1 và κ2, sao cho không có điểm nào của B thuộc quá M hình cầu Bj.
Chứng minh. Ta định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood cổ điểnM f tương ứng với độ đo µ trên B bằng cách đặt
M f(x) = sup x∈S 1 µ(S) Z Sf(y)dµ(y), ∀x∈ B
trong đó supremum được lấy trên tất cả các hình cầuS ⊂ B chứax. Rõ ràng, M f
là một hàm nửa liên tục dưới. Do đó, tập Eλ := {x ∈ B : M f(x) > λ} mở và bị chặn, tồn tại dãy {Bj} các hình cầu trong Eλ sao cho chúng tạo thành một phủ của Eλ. Tất nhiên, không có điểm nào trong B thuộc quá M hình cầu {Bj}. Ở đây, hằng số M chỉ phụ thuộc vào κ1 và κ2; hơn nữa, nó được gọi là độ rời nhau của họ {Bj}. Theo định lý vi phân Lebesgue cho các không gian loại thuần nhất, ta có f(x) = lim r→0 1 µ(B(x, r)) Z B(x,r)f(y)dµ(y) ⩽ M f(x) ⩽λ
với µ -hầu hết x∈ B\S
jBj. Hơn nữa, với mọi j ⩾ 1, ta suy ra rằng
λ < 1 µ(Bj) Z Bj f(x)dµ(x)⩽ µ Bj∗ µ(Bj) 1 µBj∗ Z B−j f(x)dµ(x) ⩽ Cλ
trong đó mỗi Bj∗ là một hình cầu cùng tâm với hình cầu Bj và bán kính gấp 3κ1
lần bán kính của Bj, hằng số C chỉ phụ thuộc vàoC0, κ1 vàκ2. Vì vậy, ta kết thúc chứng minh của bổ đề.
Bổ đề 3.3.2. Với q ∈(1,∞), tồn tại hằng số C sao cho µ({x ∈B : 1< β}) ⩽C(β)q′
µ(B)
với mọi hình cầu B.