2 Một số áp dụng của định lý Pick
2.3 Một số bài toán khác
Ngoài các áp dụng tiêu biểu đối với dãy Farey và đường tròn Ford, định lý Pick còn được áp dụng để giải một số bài toán được tác giả sưu tầm sau đây.
Bài toán 2.3.1. Chứng minh rằng không có tam giác đều nào có các đỉnh là các điểm nguyên.
Chứng minh. Định lý Pick nói rằng diện tích của một đa giác lưới bất kỳ bằng một nửa số điểm biên cộng với số điểm trong và trừ đi 1. Rõ ràng, diện tích các đa giác lưới nói chung và diện tích tam giác lưới đều (nếu có) là một số hữu tỷ.
Tuy nhiên, bằng công thức tính diện tích sơ cấp thường dùng nhất, ta tính được diện tích của một tam giác đều cạnha là
√
3 4 a
2. Vì a2 là một số hữu tỷ (điều này đã được Pytago chứng minh) mà√3lại là số vô tỷ nên suy ra tích của chúng là số vô tỷ. Từ đó ta được diện tích của một tam giác đều không thể là số hữu tỷ.
Bài toán 2.3.2. Tìm tất cả các số nguyên dươngnsao cho tồn tạin- giác đều có các đỉnh là các điểm nguyên.
Lời giải. Giả sử tồn tạin- giác đềuA1A2· · ·Ancó các đỉnh là các điểm nguyên. Theo Định lý Pick, diện tích của tam giácA1A2A3là số hữu tỷ. Suy ra
A1A2.A1A3sinA\2A1A3∈Q⇒sin2 π
2n ∈Q⇒2 cos2π
n ∈Q. (2.3) Xét dãy đa thức{Fn}n>1xác định bởi
F1(x) = x,
F2(x) = x2−2,
Fn+2(x) = xFn+1(x)−Fn(x), n>1.
Dễ thấy với mỗin,Fnlà monic có bậcn, có hệ số nguyên và Fn(2 cost) = 2 cosnt,∀t ∈R. Ta có Fn 2 cos2π n = 2. Suy ra 2 cos2π
n là một nghiệm của đa thứcFn−2. (2.4) Từ (2.3) và (2.4) suy ra 2 cos2π n ∈Z⇒2 cos2π n ∈ {±1,0,±2}. Do đó n∈ {3,4,6}.
Vì không tồn tại tam giác đều (n = 3)có các đỉnh là các điểm nguyên (Bài toán 2.3.1) nên cũng không tồn tại lục giác đều (n = 6). Vậy,nchỉ có một giá trị là 4. Dễ thấy rằng hình vuông có thể có các đỉnh là các điểm nguyên.
Bài toán 2.3.3. (Bài toán Frobenius) Giả sử ở ngân hàng chỉ còn lại hai loại tiền là 3 nghìn và 5 nghìn. Tôi có một tờnnghìn(n∈N), liệu có thể đem tờn nghìn đó đến ngân hàng để đổi lấy các tờ 3 nghìn và 5 nghìn hay không? Rõ
ràng là không phải lúc nào cũng đổi được, chẳng hạn vớin = 4và với nđủ lớn ta luôn đổi được. Một câu hỏi tự nhiên lànlớn nhất bằng bao nhiêu để không đổi được? Câu hỏi này lần đầu tiên được đặt ra bởi Frobenius.
Bằng cách toán học hóa vấn đề, ta có bài toán sau: Cho tậpA=a1, a2, ..., ad gồm d số nguyên dương d > 1 sao cho (a1, a2, ..., ad) = 1. Một số tự nhiên n được gọi là biểu diễn được theo tậpAnếu tồn tại các số tự nhiênm1, m2, ..., md sao chon =
d
P
i=1
miai. Tìm số tự nhiên lớn nhất không biểu diễn được theo tập A.
Kết quả của bài toán này được gọi là số Frobenius của A và kí hiệu là g(a1, a2, ..., ad).
Mệnh đề 2.9. Nếupvàqlà hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau(p, q >1)
thì g(p, q) =pq−p−q. C(0, p) D(q,0) A(q−1,−1) B(−1, p−1) px+qy=pq−p−q px+qy =pq
trên các cạnh ngoàiA, B, C, D. Áp dụng công thức dây giày ta có A(ABCD) = 1 2 q−1 −1 −1 p−1 + −1 0 p−1 p + 0 q p 0 + q q−1 0 −1 = 1 2 (p−1)(q−1)−1−p−pq−q = 1 2|−2p−2q| =p+q.
Áp dụng Định lý Pick ta thấy số điểm nguyên nằm trong tứ giácABCDlà p+q−1, dễ thấy các điểm này đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Mỗi một trongp+q−1đường thẳngpx+qy=pq=p−q+ivớii= 1, p+q−1 chứa nhiều nhất một điểm nguyên nằm trongABCD, kết hợp với phần trên, mỗi đường thẳng này đều chứa đúng một điểm nguyên nằm trongABCD. Mà dễ thấy mỗi đường thẳngpx+qy =mvớim=pq+ 1, pq+ 2, ...đều chứa ít nhất một điểm nguyên nằm trong góc phần tư thứ nhất, ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.3.4. Cho4ABCcó các đỉnh là các điểm nguyên và không có điểm nguyên nào khác trên các cạnh ngoài các đỉnh. Ở vùng trong tam giác chỉ có duy nhất điểm nguyênG. Chứng minh rằngGlà trọng tâm của4ABC.
B A C M G K H
Chứng minh. Theo Định lý Pick, ba tam giác là4GAB,4GBC,4GACđều có diện tích bằng 1 2. Từ đó ta có S4GBC = 1 3S4ABC. Mặt khác S4GBC = 1 2BC.GK
và S4ABC = 1 2BC.AH. Suy ra 1 2BC.GK = 1 3· 1 2BC.AH ⇔GK = 1 3AH. Áp dụng Định lý Thales trong4AHM ta được
GM = 1 3AM.
Vậy,Glà trọng tâm của4ABC.
Bài toán 2.3.5. Chứng minh rằng nếu các đỉnh của một ngũ giác lồi là các điểm nguyên thì diện tích của nó không bé hơn 5
2.
Chứng minh. Giả sử ngũ giác không có điểm nguyên nào khác ngoài các đỉnh. Vì số xâu nhị phân có độ dài 2 là 4 nên tồn tại hai đỉnh của ngũ giác thỏa mãn hai hoành độ và hai tung độ của chúng có cùng tính chẵn - lẻ. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh này là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên các cạnh của ngũ giác. Vì trên cạnh ngũ giác không có điểm nguyên nào khác ngoài các đỉnh nên điểm nguyên này nằm trong ngũ giác. Như vậy, bên trong ngũ giác có ít nhất một điểm nguyên. Áp dụng Định lý Pick ta có diện tích của nó không bé hơn 5
2 + 1−1 = 5 2.
Nếu trên các cạnh của ngũ giác có các điểm nguyên khác các đỉnh thì ta bỏ một trong hai đầu mút của cạnh chứa điểm nguyên đó và chọn nó làm đỉnh mới để được ngũ giác mới có diện tích bé hơn ngũ giác ban đầu. Lặp lại hữu hạn bước như vậy, ta chắc chắn thu được một ngũ giác mà các cạnh của nó không chứa điểm nguyên nào khác ngoài các đỉnh. Đến đây ta cũng áp dụng Định lý Pick như ở trường hợp trước.
Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.3.6. Chon>3là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tạinđiểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số vô tỷ, và mỗi ba điểm là các đỉnh của một tam giác không suy biến có diện tích là số hữu tỷ.
Lời giải. Bằng quy nạp, ta sẽ xây dựng các điểm nguyên{An = (xn, yn)}n>1
sao chon > 3, dãy điểmA1, A2,· · · , An thỏa mãn các điều kiện của bài toán và các hoành độ cũng như các tung độ đôi một khác nhau.
Theo Định lý Pick, ba điểm bất kỳ là ba đỉnh của một tam giác (có thể suy biến) có diện tích hữu tỷ. Do đó, ta chỉ cần xây dựng dãy trên sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số vô tỷ.
Đầu tiên, ta thấy A1 = (0,0), A2 = (1,1), A3 = (3,2) thỏa mãn. Giả sử với n>4ta có dãy điểm nguyênA1, A2,· · · , An−1thỏa mãn.
Với mỗi i = 1, n−1, lấy số nguyên tố pi sao cho pi ≡ 1(mod4) và các số nguyênai, bithỏapi- ai, bivàpi- a2i +b2i.
Chọn số nguyên ki đểvpi(ai+kipi)2+b2i = 1. Theo Định lý Trung Hoa, tồn tại số nguyênxn 6=xi, yn 6=yisao cho
xn−xi-ai+kipi(modp2i), xn−xi -0(modp)
và
yn−yi-bi(modp2i),∀i= 1, n−1.
Ở đâyplà số nguyên tố khác tất cả cácpivà không chia hết Q
i6=j
(xi−xj)(yi−yj)
vàQ
(yi−yj), tất nhiên là chọnyntrước, chọnxn sau. Ta có vpi(xn−yi)2+ (yn−yi)2= 1.
Suy ra,AnAilà số vô tỷ vớii= 1, n−1. Do
yn−yi
xn−xi 6= yi−yj
xi−xj,∀i6=j ∈ {1,2,· · · , n−1}
[1] G. Pick (1899), Geometrisches zur Zahlenlehre, Sitzungsberichte des
deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines f ¨ur B¨ohmen "Lotos" in Prag, (Neue Folge), 19: 311-319.
[2] H. Steinhaus (1969),Mathematical Snapshots, Oxford University Press.
[3] J. E. Reeve (1957), On the volume of lattice polyhedra, Proc, London
Math, Soc, (3), 7, 378-395.
[4] J. E. Reeve (1959), A further note on the volume of lattice polyhedra, J,
London Math, Soc, (1), 34, 57-62.
[5] K. Kolodziejczyka, J. Reay,Polynomials and spatial Pick-type theorems,
Expo, Math, 26 (2008) 41-53.
[6] R. Honsberger (1970),Ingenuity in mathematics, Math, Asso, America. [7] R. W. Gaskell, M. S. Klamkin and P. Watson (1976),Triangulations and Pick’s Theorem , Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan, 1976), 35- 37.
[8] W. W. Funkenbusch (1974),From Euler’s Formula to Pick’s Formula Us- ing an Edge Theorem,The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6 (Jun. - Jul., 1974), 647-648.
[9] Nguyễn Mạnh Dũng (2009),Vẻ đẹp của phân số Farey, Tạp chí toán học MathVn, 02, 2009.
[10] Phùng Hồ Hải (2013),Xấp xỉ tốt, phân số liên tục, dãy Farey và Định lý Pick, Thông tin toán học, Tập 17, số 3, Tháng 9, 2013.