Các khái niệm và một số ví dụ

2 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ VÔ HƯỚNG

2.1.1 Các khái niệm và một số ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 ([10]). Cho E là không gian lồi địa phương, Ω ⊂E là tập con mở, u: Ω →[∞,∞) là hàm nửa liên tục trên. Hàm u được gọi là

đa điều hòa dưới trên Ω nếuu là hàm điều hòa dưới trên mọi đường thẳng phức trong Ω.

Tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ký hiệu là P SH(Ω).

Ví dụ 2.1.2. Cho E là không gian lồi địa phương, Ω ⊂ E là tập con mở và F là không gian véctơ với nửa chuẩn k·k. Nếu f: Ω → F là hàm chỉnh hình thì hàm z 7→logf(z) là đa điều hòa dưới trên Ω.

Định nghĩa 2.1.3 ([10]). Cho X là đa tạp phức, u: X → [∞,∞) là hàm nửa liên tục trên. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên X nếu u◦f là

hàm điều hòa dưới trên ∆ với mọi ánh xạ chỉnh hình f: ∆ →X trên đĩa

∆ = {z ∈ Cn;|z|< 1}.

Định nghĩa 2.1.4 ([16]). Một hàm u ∈ P SH(Cn) được gọi là đa điều hòa dưới thuần nhất nếu

u(λz) = log|λ|+u(z), ∀λ ∈ C, ∀z ∈ Cn.

Ta ký hiệu HP SH(Cn) là tập các hàm đa điều hòa thuần nhất trên Cn.

Định nghĩa 2.1.5 ([19]). (i) Tập con B ⊂ D được gọi là đa cực trong

D nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên D sao cho ϕ 6≡ −∞ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của D và ϕ|B = −∞.

(ii) E được gọi là đa cực xạ ảnh nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới thuần nhất ϕ 6≡ −∞ sao cho E ⊂ {z : ϕ(z) =−∞}.

Nhận xét 2.1.6 ([19]). (i) Mọi tập đa cực xạ ảnh là đa cực. (ii) Tồn tại tập đa cực nhưng không đa cực xạ ảnh.

Ví dụ 2.1.7 ([19]). Giả sử E là không gian metric lồi địa phương. Cố định

a ∈ E. Khi đó, đường phức la, do đó mỗi A ⊂ la là tập đa cực xạ ảnh trong E. Thật vậy, giả sử d là metric xác định tôpô trên E. Xét hàm

ϕ(z) =−logd(z, la) := −log inf

w∈Ad(z, w).

Dễ dàng kiểm tra ϕ ∈ HP SH(E), ϕ 6≡ −∞ và la ⊂ ϕ−1(−∞).

Ví dụ 2.1.8 ([19]). Giả sử E là không gian Fréchet chứa một tập con cân, lồi, compact và không đa cực xạ ảnh B. Theo cách chứng minh trong Ví dụ 2.1.7, ∂B là tập đa cực. Tuy nhiên, ∂B không là đa cực xạ ảnh trong

Thật vậy, giả sử ∂B là đa cực xạ ảnh. Khi đó theo định nghĩa, tồn tại một hàm ϕ ∈ HP SH(E), ϕ 6≡ −∞ và ∂B ⊂ ϕ−1(−∞). Với mọi z ∈ B

ta có thể viết lại z = λy với y ∈ ∂B và |λ| < 1. Khi đó

ϕ(z) = ϕ(λy) = log|λ|+ ϕ(y) =−∞, ∀z ∈ B.

Điều này không thể xảy ra vì B không phải là tập đa cực.

Do đó, không gian Fréchet hạch với bất biến tôpô tuyến tính (Ω),e được giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt [24], chứa một tập không đa cực theo Định lý trong [8].

Đầu tiên ta có một số tính chất cơ bản của tập đa cực xạ ảnh. 2.1.2 Các đặc trưng của tập đa cực xạ ảnh

Mệnh đề 2.1.9 ([16]). Giả sử A ⊂ Cn, A∗ := {tz : t ∈ C, z ∈ A} và

Aλ := {tz : t ∈ C,|t| 6 λ, z ∈ A} với λ > 0. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) A là đa cực xạ ảnh;

(ii) A∗ là tập đa cực;

(iii) Aλ là tập đa cực với mỗi λ > 0;

(iv) Tồn tại λ > 0 để Aλ là tập đa cực. Chứng minh.

(i)⇒ (ii). Vì A là đa cực xạ ảnh, cho nên tồn tại u ∈ HP SH(Cn) sao cho u(tz) = log|t|+u(z), ∀t ∈ C, ∀z ∈ Cn và u(z) = −∞ trên A. Đặc biệt u(x) =−∞ với x ∈ A∗. Do đó A∗ là đa cực.

(ii)⇒ (iii). Từ định nghĩa của A∗ và Aλ, ta có Aλ ⊂ A∗ với mỗi λ > 0. Do A∗ đa cực cho nên Aλ đa cực.

(iii)⇒ (iv). Hiển nhiên.

(iv)⇒ (i). Giả sử Aλ là đa cực với một số λ > 0. Khi đó tồn tại

v ∈ P SH(Cn) sao cho v(tz) = −∞ với mọi z ∈ A và t ∈ C,|t| 6 λ.

Hơn nữa, theo Định lý 5.2.4 trong [13], ta có thể chọn v ∈ L(Cn). Với mỗi

z0 ∈ A, hàm ϕz0(t) := v(tz0) là điều hòa dưới trên C và ϕz0(t) = −∞

trên đĩa ∆(0, λ) = {t ∈ C : |t| 6 λ}, do đó ϕz0(t) = −∞ với mọi

t ∈ C. Từ đó suy ra v = −∞ trên A∗. Nếu z = (z0, zn) ∈ A, zn 6= 0

thì (zz0 n,1) = z1 n(z0, zn) = z1 nz ∈ A∗. Do đó, v ∈ (zz0 n,1) = −∞ với mọi (z0, zn) ∈ A, zn 6= 0. Ta định nghĩa u(z) =u(z0, zn) := v ∈ (z 0 zn,1)+log|zn|, ∀z = (z0, zn) ∈ Ω := Cn\{zn = 0}.

Khi đó u ∈ P SH(Ω), u 6= −∞. Hơn nữa, vì v là hạn chế nên ta có u bị chặn địa phương từ siêu phẳng H := {zn = 0}.

Đặt ˜ u =        u(z) z ∈ Cn\H lim H63w→zsupu(w) z ∈ H.

Khi đó, theo Mệnh đề 2.9.22 trong [13], u˜ ∈ P SH(Cn). Từ đó ta dễ dàng kiểm tra u˜ ∈ HP SH(Cn) và u˜ ≡ −∞ trên A\H. Đặt u(z) = ˆˆ u(z0, zn) :=

1

2 u(z) + log˜ |zn|

Khi đó u˜ ∈ HP SH(Cn); ˜u 6= −∞ và u˜ = −∞ trên A.

Do dó A là đa cực xạ ảnh trên Cn.

Mệnh đề 2.1.10 ([16]). (i) Giả sử P là một đa thức thuần nhất trên Cn triệt tiêu trên một tập không đa cực xạ ảnh A⊂ Cn. Khi đó P ≡ 0.

(ii) Tồn tại một tập con đa cực compact của C2 mà không là đa cực xạ ảnh.

(iii) Nếu A⊂ Cn không là đa cực xạ ảnh thì tập

là một tập duy nhất đối với hàm chỉnh hình trên hình cầu ∆n ⊂ Cn,

nghĩa là, một hàm chỉnh hình trên ∆n là triệt tiêu trên A1 phải bằng không tại mọi điểm.

(iv) Hợp đếm được của các tập đa cực xạ ảnh là đa cực xạ ảnh. Chứng minh.

(i) Giả sử P = 0 trên A. Khi đó

u(z) = 1

degP log|P(z)|, z ∈ Cn

là hàm đa điều hòa dưới thuần nhất trên Cn, u ≡ −∞ trên A. Vì A không đa cực xạ ảnh cho nên u ≡ −∞ và do đó P ≡ 0 trên Cn.

(ii) Giả sử A := {(z, z2) : |z|2 + |z|4 = 1} ⊂ C2. Khi đó A là compact và đa cực trong C2 được chứa trong siêu mặt đại số. Ta chứng minh bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử A là đa cực xạ ảnh (trong C2). Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.9, tập

A∗ := {(tz, tz2) : |z|2+|z|4 = 1, t ∈ C} = {(z0, zz0) : z0 ∈ C,|z|2+|z|4 = 1}

là đa cực trong C2. Do đó, tồn tại u ∈ P SH(C2), u 6≡ −∞ sao cho

u|A∗ ≡ −∞. Vì vậy ta có thể chọn z0 ∈ C sao cho v(z) := u(z0, zz0) không là đồng nhất −∞. Tuy nhiên, v ≡ −∞ trên đường tròn

{z ∈ C : |z|2 +|z|4 = 1} =      z ∈ C :|z| = s√ 5−1 2      ,

bởi nguyên lý maximum, v ≡ −∞ trên một đĩa mở trong C. Điều này là vô lý. Do đó A không là đa cực xạ ảnh.

(iii) Lấy g là hàm chỉnh hình trên ∆n sao cho g ≡ 0 trên A1. Giả sử

g 6≡0. Khi đó ta có thể viết lại g dưới dạng

g = X

j>j0

trong đó Qj đa thức thuần nhất bậc j và Qj0 6≡ 0. Vì

g(tz) = X

j>j0

tjQj(z) ≡ 0, ∀z ∈ A, ∀|t| < 1,

cho nên Qj0 ≡0 trên A. Từ (i) ta suy ra Qj0 ≡0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.

(iv) Giả sử {Aj}j>1 là tập đa cực xạ ảnh. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.9,

A∗j = {tz : t ∈ C, z ∈ Aj} là đa cực. Từ đó suy ra A∗ :=    tz : t ∈ C, z ∈ A := [ j>1 Aj    cũng là đa cực. Do đó, theo Mệnh đề 2.1.9, ta có A = S j>1 Aj là đa cực xạ ảnh trong Cn.

2.2 Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng

2.2.1 Một số bổ đề chuẩn bị

Bổ đề 2.2.1 ([16]). Giả sử f = ∞

P

m=0

Pm(z) là một chuỗi lũy thừa và r > 0.

Khi đó f hội tụ trong hình cầu ∆n(0, r) nếu và chỉ nếu hàm

u(z) := lim

m→∞sup 1

mlog|Pm(z)| 6 −logr

trên hình cầu đơn vị ∆n(0,1).

Chứng minh. Giả sử f hội tụ trong hình cầu ∆n(0, r). Cố định s ∈ (0, r).

Khi đó chuỗi hội tụ đều trên ∆n(0, s). Do đó, tồn tại m0 > 1 sao cho

|Pm(z)| < 1, ∀m > m0, ∀z ∈ ∆n(0, s).

Vì Pm thuần nhất cho nên |Pm(z)| 6 s1m với mọi z ∈ ∆n(0,1). Do đó

lim

m→∞sup log|Pm(z)|m1 6 log 1

Cho s →r ta được u(z) 6 −logr với mọi z ∈ ∆n(0,1).

Ngược lại, từ giả thiết ta có chuỗi hội tụ đều trên ∆¯n(0, s) với mọi 0< s < r. Giả sử

lim

m→∞sup 1

m log|Pm(z)| 6 −logr, ∀z ∈ ∆n(0,1).

Khi đó, dãy {m1 log|Pm(z)|} là bị chặn điểm trong tập không đa cực

∆n(0,1). Do đó, theo Mệnh đề 5.2.1 trong [13], dãy này là bị chặn đều trên tập compact của Cn. Cố định t ∈ (s, r). Khi đó, theo Bổ đề Hartogs ta có thể tìm được m0 > 1 sao cho

1 m log|Pm(z)| 6 −logt, ∀m > m0, ∀z ∈ ∆¯n(0,1). Từ đó suy ra |Pm(z)|6 1 t m , ∀m > m0, ∀z ∈ ∆¯n(0,1).

Vì Pm thuần nhất cho nên ta có |Pm(z)| 6 s t m , ∀m > m0, ∀z ∈ ∆¯n(0, s).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn Weierstrass ta suy ra chuỗi hội tụ đều trên∆¯n(0, s).

Bổ đề được chứng minh.

2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng

Định lý 2.2.2 ([16]). Cho r0 > 0 và A⊂ Cn là tập Borel không đa cực xạ ảnh. Giả sử {fα}α∈I là một họ các chuỗi lũy thừa sao cho với mỗi z ∈ A

và mỗi α ∈ I, chuỗi lũy thừa fα,z(t) := fα(tz) biểu diễn một hàm chỉnh hình trên đĩa ∆(0, r0) và hàm fα,z bị chặn đều trên ∆(0, r0) theo nghĩa

|fα(zt)| 6 M(z, t) với t 6 r, trong đó 0 < M(z, t) < ∞ là một hàm đo

được trên A×(0, r0). Khi đó tồn tại r1 > 0, chỉ phụ thuộc vào r0 và A sao cho với mỗi fα biểu diễn một hàm chỉnh hình trên ∆n(0, r1).

Chứng minh. Ta cố định fα và viết lại fα = ∞ X j=0 Pj,

trong đó Pj là đa thức thuần nhất có bậc là j. Vì |fα(zt)| 6 M(z,|t|) cho nên theo bất đẳng thức Cauchy

|Pj(z)| 6 M(z, t) rj , ∀z ∈ A, r ∈ (0, r0), j > 1, ta có 1 j log|Pj(z)| 6 1 j log M(z, t)−log r, ∀z ∈ A, r ∈ (0, r0), j > 1.

Do A không là tập đa cực xạ ảnh và theo Mệnh đề 2.1.10(iv), nên ta có thể chọn N > 1sao cho AN := {z ∈ A : |z| < N}không là đa cực xạ ảnh. Theo Mệnh đề 2.1.9, ta có A1N không phải là tập đa cực. Với k > 1 ta xét

AN,k := {z ∈ AN : M(z,r0 2) 6 k}. Do đó với z ∈ AN,k ta có 1 j log|Pj(z)| 6 1 j log k− log r 2 , j > 1.

Vì Pm là đa thức thuần nhất nên bất đẳng thức trên cũng đúng với

A1N,k := {tz : z ∈ AN,k,|t|6 1}. Khi đó 1 j log|Pj(z)| 6 VA∗1 N,k + 1 j log k− log r 2 , ∀z ∈ Cn, ∀j > 1. Do đó, nếu đặt

u(z) := lim sup

j→∞ 1 j log|Pj(z)| thì u(z) ≤ VA∗1 N,k(z)−log r0 2 , ∀z ∈ Cn

Chú ý rằng A1N,k ↑ A1N, A1N bị chặn và không là đa cực và A1N,k là tập Borel. Vì thế sử dụng kết quả trong [23], ta có

VA∗1

N,k(z) ↓VA∗1

N khi k → ∞.

Điều này nghĩa là

u(z) 6 VA∗1 N(z)−log(r0 2), ∀z ∈ Cn. Đặt r1 = r0 2 exp(−sup |z|=1 VA∗1 N(z)) > 0.

Khi đó, r1 chỉ phụ thuộc vào r0, A. Hơn nữa, u∗ 6 −log r1 trên hình cầu đơn vị ∆n(0,1). Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2.3 ([16]). Giả sửA ⊂ Cn không là tập đa cực xạ ảnh,{fm}m>1

là dãy của chuỗi lũy thừa trong Cn và r0 > 0. Nếu mỗi a ∈ A, hạn chế của

{fm}m>1 trên la là một dãy của hàm chỉnh hình trên đĩa ∆(0, r0) ⊂C, hội tụ đều trên các tập compact thì tồn tại r1 > 0 (chỉ phụ thuộc vào r0, A) sao cho {fm}m>1 là một dãy của các hàm chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆n(0, r1).

Chứng minh. Vì{fm|la}m>1 bị chặn đều trên tập con compact của∆(0, r0)

với mỗi a ∈ A,theo Định lý 2.2.2, tồn tại r1 > 0(chỉ phụ thuộc vào r0, A) sao cho {fm}m>1 bị chặn đều trên tập compact của ∆n(0, r1). Theo giả thiết, {fm}m>1 hội tụ điểm trên A∗ := {tz :t ∈ C, z ∈ A} là một tập duy nhất cho hàm nguyên trong Cn (Mệnh đề 2.1.10(iii)), theo Định lý Vitali, ta có {fm}m>1 hội tụ đều trên tập con compact của ∆n(0, r1). Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.2.4 ([16]). Từ cách chọn của r1 trong Định lý 2.2.2, nếu “r0 = ∞” nghĩa là {fm|la}m>1 xác định một dãy của hàm nguyên trên C

thì ta chọn “r1 = ∞” nghĩa là {fm}m>1 là sự biểu diễn một dãy của các hàm nguyên trên Cn.

Hệ quả sau đây của nhận xét trên (theo Định lý 2.2.3) là mở rộng của kết quả Forelli trong [9] với trường hợp f xác định trên hình cầu đơn vị

∆n ⊂ Cn là chỉnh hình nếu f là C∞ trên ∆n và hạn chế của nó đối với mọi đường phức đi qua gốc tọa độ là chỉnh hình trên đĩa đơn vị ∆(0,1). Hệ quả 2.2.5 ([16]). Cho f: ∆n → C là C∞-hàm trơn và A ⊂ ∂∆n là một tập mở. Giả sử f hạn chế trên la là hàm nguyên trên C với mỗi a ∈ A.

Khi đó tồn tại hàm nguyên F trên Cn sao cho F = f trên ∆n ∩ la với

a ∈ A tùy ý.

Hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ kết quả tổng quát sau đây.

Hệ quả 2.2.6 ([16]). Lấy {fm}m>1 là dãy của C∞-trơn xác định trên hình cầu ∆n ⊂ Cn và A ⊂ ∂∆n là một tập mở. Giả sử với mỗi a ∈ A, hạn chế của {fm}m>1 trên la mở rộng tới một dãy của hàm nguyên trên C mà nó hội tụ đều trên tập con compact của C. Khi đó tồn tại một dãy các hàm nguyên {Fm}m>1 trên Cn hội tụ đều trên tập con compact trên Cn sao cho với mỗi m > 1, Fm = fm trên ∆n ∩la với a ∈ A tùy ý.

Chứng minh. Với mỗi m > 1, lấy Fm là chuỗi Taylor của fm. Khi đó

Fm(z) =X

j>0

Pj,m(z,z),¯

trong đó Pj,m là đa thức thuần nhất bậc j trong z1, . . . , zn,z¯1, . . . ,z¯n. Xét hạn chế của Fm trên mỗi đường phức t 7→ta, a ∈ A, ta có

Fm(ta) = X j≥0 Pj,m(ta, ta) = X j≥0   X α+β=j tαtβPα,β,m(a, a)  

Pα,β,m(z,z)¯ là đa thức thuần nhất bậc α theo biến z và bậc β theo biến z.¯

Vì t 7→ fm(ta) chỉnh hình trong t, cho nên Pα,β,m ≡ 0 trên A nếu β > 1.

Thật vậy, do Pα,β,m thuần nhất và A mở cho nên Pα,β,m ≡ 0 trên tập mở

A∗ := {ta : t ∈ C, a ∈ A}. Từ đó suy ra Pα,β,m ≡ 0 nếu β > 1. Do đó

Pj,m không chứa lũy thừa nào của z¯ với j > 0 và vì thế Fm là một chuỗi lũy thừa hình thức của z trong Cn. Theo Định lý 2.2.2 và để ý rằng A

không là đa cực xạ ảnh, thì Fm xác định một hàm nguyên trên Cn. Đặc biệt, Fm = fm trên ∆n ∩Ca,với mọi a ∈ A. Hơn nữa, theo Định lý 2.2.3, {Fm}m>1 xác định một dãy các hàm nguyên mà nó hội tụ đều trên tập con compact trong Cn. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chương 3

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET

3.1 Bổ đề Hartogs cho hàm đa điều hòa dưới trong

vô hạn chiều

Bổ đề 3.1.1 ([19]). Cho (Pn)n>1 là dãy các đa thức thuần nhất liên tục trên một không gian lồi địa phương Baire E, degPn 6 n. Giả sử rằng

lim sup n→∞ 1 nlog Pn(z) ≤ 0

trong đó z ∈ E. Khi đó với mọi ε > 0 và tập compact K trong E, tồn tại

n0 sao cho 1 nlog|Pn(z)| < ε ∀n > n0, ∀z ∈ K. Chứng minh. Vì lim sup n→∞ Pn(z) 1 n ≤1 ∀z ∈ E nên công thức f(z)(λ) = X n>1 Pn(z)λn

xác định một hàm f: E →H(∆), không gian Fréchet của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị mở ∆ ⊂ C.

Ta kiểm tra f chỉnh hình trên E. Thật vậy, giả sử z ∈ E \ {0} và xét

f(·z) : C → H(∆) với

f(ξz)(λ) =X

n>1

Pn(z)λnξkn