3 Áp dụng vào vành
3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3
Trong mục này, chúng tôi trình bày mô tả cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnhQF−3. Chúng ta bắt đầu với kết quả sau.
Bổ đề 3.2([1],Định lý27.11). Giả sửRlà vành nửa hoàn chỉnh vàe1,e2, . . . ,em
là tập lũy đẳng nguyên thủy cơ sở của R. Khi đó, nếu P xạ ảnh thì tồn tại các tập hữu hạn A1, A2, . . . ,Am (có thể rỗng) thỏa mãn
P ' Re1(A1)M
Re2(A2)M
· · ·MRem(Am)
.
Định nghĩa 3.2. Vành R được gọi là QF −2 phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) được phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan phải (trái) đều. Vành R được gọi là QF−3phải (trái) nếu E(RR) (tương ứng E(RR)) là môđun xạ ảnh. Ta gọi vànhRlàQF−2(QF−3)nếuR QF−2(QF−3)
phải và trái.
Từ định nghĩa trên, rõ ràng mọi vành QF đều là vành QF −2 và QF−3. Kết quả dưới đây chỉ ra điều kiện cần và đủ để một vành R là vànhQF−3khi điều kiện (∗)∗ xảy ra.
Mệnh đề 3.1. Giả sử rằng (∗)∗ xảy ra. Khi đó R là vành QF−3phải nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) P có chiều Goldie hữu hạn.
(ii) R là nửa hoàn chỉnh. Chứng minh. (a) Gọi {Ki}n
i=1 là tập hợp tất cả các iđêan phải đều trong R thỏa Ln
i=1
Ki cốt yếu trong R. Khi đó E = E(R) =
n
M
i=1 Ki.
Gọi g: R −→ E(R)là một phép nhúng và Qi = kerπig, trong đóπi
là phép chiếu từ E vào E(Ki). Vì E(Ki)là đều nên Qi tối giản. Hơn nữa
0 = Q1 ∩Q2∩ · · · ∩Qn
không rút gọn được và E(R/Qi) = E(Ki).
• Nếu n ≥ 2 thì R/Qi là không đối bé và do vậy E(R/Qi) là xạ ảnh, từ (∗)∗.
• Nếun = 1, R bất khả quy vàE không phân tích được và không đối bé. Do vậy, E là xạ ảnh.
b) Giả sử
1 = ∑ei+∑ fj,
trong đó {ei, fj}là tập các lũy linh nguyên thủy trực giao thỏa mãn eiR là nội xạ. Vì fjR là đều nên E = EfjR không phân tích được và Ej 6= ZEj. Do vậy, Ej là xạ ảnh.
Kết quả dưới đây là một đặc trưng của vành QF−3. Kết quả này là mở rộng một của kết quả của Harada [[7],Định lý 1.3]
Định lý 3.6([13],Định lý 2.2.3). Cho R là vành nửa hoàn chỉnh. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương.
(i) R là vành QF−3phải;
(ii) (a) eRlà nội xạ, với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e của R,
(b) E(RR) là hữu hạn sinh;
(iii) (a) eRlà nội xạ, với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e của R,
(b) E f R có một phủ xạ ảnh, với mọi lũy đẳng nguyên thủy f của R.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii)b Giả sử R là một vành nửa hoàn chỉnh QF−3 phải. Khi đó E(RR) là một môđun xạ ảnh. Áp dụngBổ đề3.2, ta có
RR ' M
i∈I
trong đó mỗi Milà một R−môđun nội xạ, xạ ảnh không phân tích được và I là một tập chỉ số nào đó. Xét phần tử đơn vị1 ∈ R, ta có 1 = mi1 +· · ·+mit, trong đómij ∈ Mij (j = 1, . . . ,t). Khi đó ta có RR ≤ t M j=1 Mij. Do Lt j=1
Mij là một môđun nội xạ, nên suy ra E(RR) =
t
M
j=1 Mij.
VậyE(RR)là một môđun hữu hạn sinh.
(i) ⇒ (ii)a Giả sử e là một lũy đẳng nguyên thủy của R với eR là một môđun không bé. Vì E(RR)là một môđun xạ ảnh, nên E(eR) cũng là một môđun xạ ảnh và do đó E(eR) = n M i=1 Mi,
trong đó Mi là môđun nội xạ, xạ ảnh và không phân tích được. Xét các R−đồng cấu chiếu (lên thành phần thứ i của tổng trực tiếp):
pi : n M j=1 Mj → Mi (i = 1, . . . ,n). Đặt pi(eR) = Ui ≤ Mi. Giả sử Ui 6= Mi,∀i. Khi đó Ui Mi,∀i = 1, . . . ,n. Từ đó suy ra mỗi Ui là một môđun bé. Vậy thì Ln
i=1
Ui cũng là một môđun bé.
Mặt khác eR ≤ Ln
i=1
Ui, từ đây suy ra eR là một môđun bé. Điều đó mâu thuẫn với giả thiếteR là một môđun không bé. Vậy tồn tại một chỉ sốk thỏa mãn
Ngoài ra, do Mk là một môđun xạ ảnh và eRlà không phân tích được nên suy raeR = Mk, điều đó có nghĩa là eRlà môđun nội xạ.
(ii) ⇒ (iii). DoE f Rlà một hạng tử trực tiếp củaE(RR)nênE f R hữu hạn sinh. VậyE f Rcó một phủ xạ ảnh.
(iii) ⇒ (i). Gọi f là lũy đẳng nguyên thủy bất kỳ của R. Vì E f R
có một phủ xạ ảnh, nên ta có R−toàn cấu P −→p E(f R) → 0.
Mặt khác, do P xạ ảnh nên ta có P = L
i∈I
Mi, trong đó mỗi Mi là một R−môđun không bé nội xạ, xạ ảnh và không phân tích được với mọi i ∈ I, với I là một tập chỉ số nào đó. Xét biểu đồ sau f R θ ϕ | | P p//E f R //0
trong đóθ là một đơn cấu nhúng.
Do f R là một môđun xạ ảnh, nên tồn tại một R-đồng cấu ϕ : f R → P, thỏa mãnθ = pϕ. Vì θ là một đơn cấu, nên ϕcũng là một đơn cấu. Mặt khác, vì fR là môđun xiclic, nên tồn tại số tự nhiên n sao cho có đơn cấu
f R → Ln
i=1 Mi.
Ngoài ra, do mỗi Mi (i = 1, . . . ,n) là một môđun nội xạ, xạ ảnh nên suy raE f R là môđun xạ ảnh. Từ đó suy raE(RR)là xạ ảnh.
Hệ quả sau đây mô tả kĩ hơn cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh QF −3
phải.
Hệ quả 3.2. Cho vành nửa hoàn chỉnh. Khi đó, Rlà vành QF−3phải nếu và chỉ nếu RR = t M i=1 eiR M m M j=1 fjR ,
trong đó{ei}ti=1∪ {fi}mj=1 là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao,
(i) t ≥ 1, mỗieiR nội xạ với mọi i = 1, . . . ,tvà mỗi fjR không nội xạ với mọi
j = 1, . . . ,m.
(i) Với mỗi fj (j = 1, . . . ,m), tồn tại một tập chỉ số hữu hạn F1,F2, . . . ,Ft sao cho EfjR ∼= M E1 e1R M · · ·M M Et etR .
Trước khi trình bày đặc trưng điều kiện (∗)∗ trên vành nửa hoàn chỉnhR thỏa mãn RRL
RR là một môđun CS, chúng ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 3.3. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh. Nếu RRL
RR là môđun CS thìeR
là R-môđun nội xạ phải, với mọi lũy đẳng không bée của R.
Chứng minh. Vì R là nửa hoàn chỉnh nên
RR = e1RM· · ·MenR,
với{ei}ni=1 là tập các lũy đẳng nguyên thủy trực giao củaR. VìRRL
RR là mô-đun mở rộng nênRR cũng là mô-đun mở rộng. Từ đó, eRđều với mọi lũy đẳng nguyên thủye ∈ R.
Bây giờ, ta chứng minh eR nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e ∈ R. GọiU là một iđêan phải của R và α là R- đồng cấu của U trong eR. Ta cần chỉ ra rằng, α được mở rộng thành phần tử trong HomR(RR,eR). Giả sửUR cốt yếu trongRR. Dễ dàng chứng minh được
u−α(u)|u ∈ U
là một môđun con của M = RRL
eR. Mặt khác, ta có RRL
eR là một môđun CS, vì RRL
RR là một môđun CS. Do vậy, tồn tại một hạng tử trực tiếpU∗ của M thỏa mãn
u−α(u)|u ∈ U ≤e U∗.
DoU∩eR = 0nên suy ra U∗∩eR = 0và U∗L
eR ≤e M. VìU∗là hạng tử trực tiếp của M nên ta có M = U∗L
đó của M. VìeRlà môđun con đều nên suy ra M0là môđun không phân tích được. Mặt khác, vìR là vành nửa hoàn chỉnh nên
M = e1RM· · ·MenRMeR.
Do đó, M∼=ε eiR với ei là lũy đẳng nguyên thủy nào đó của R. Xét phép chiếu
U∗MeR −→p M0
và đặt p1 = p|eR. Khi đó, p1 là đơn cấu. Từ đó suy ra ϕ = εp1 là một R−
đồng cấu từeR vào eiR:
ϕ: eR −p→1 M0 −→ε eiR.
Doe là một lũy đẳng không bé nên suy ra ϕlà một đẳng cấu. Vậy eiR = ϕ(eR) = εp1
(eR) = ε p1(eR).
Vì εlà đẳng cấu nên suy ra p1(eR) = M0. Từ đó, ta nhận được p(eR) =
M0 và
U∗MeR = U∗MM0 = M.
Gọiπ là phép chiếu từ U∗L
eRlên eR. Khi đó,
β = π|R ∈ HomR(RR,eR)
là một mở rộng củaα.
Kết quả dưới đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để vành nửa hoàn chỉnhR thỏa mãn RRL
RR là một CS-môđun trở thành QF−phải.
Mệnh đề 3.2. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh sao cho RRL
RR là mô-đun mở rộng. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) R là QF-3phải.
(2) Với bất kỳ lũy đẳng bé f, tồn tại một lũy đẳng không bé e của R để f R
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử rằng R là vành nửa hoàn chỉnh QF-3
phải sao cho RRL
RR là mô-đun mở rộng. Gọi f là một lũy đẳng bé bất kì củaR. Khi đó,E f Rlà xạ ảnh và không phân tích được, vì f R là mô-đun đều. Khi đó,E f R ∼= eR, với lũy đẳnge ∈ R. Do vậy, f R . eR.
(2) ⇒ (1). Ta viết
RR = e1RM· · ·MekRM f1R· · ·M fnR,
trong đó {ei}ki=1 là tập các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của R, eiR (i =1, 2, . . . ,k) là mô-đun không bé và fjR(i = 1, 2, . . . ,k) là mô-đun bé. Từ giả thiết (2), ta nhận được k ≥ 1. Áp dụng Bổ đề 3.3, ta có eiR là mô-đun mội xại = 1, 2, . . . ,k. Do đó,
E(RR) ∼= e
1R(I1)M
· · ·MekR(Ik)
,
trong đó I1, I2, . . . ,Ik là các tập hữu hạn các chỉ số. Điều này kéo theo R là QF-3 phải.
Kết quả dưới đây cho phép chúng ta kiểm tra một vành R thỏa mãn điều kiện(∗) khi RRL
RR là mô-đun CS.
Định lý 3.7. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh sao cho RRL
RR là mô-đun CS. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) R thỏa mãn (∗)∗.
(2) Với bất kỳ lũy đẳng nguyên thủy f của R, f R không tự đẳng cấu với bất kỳ môun con thực sự nào.
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Gọi e là một lũy đẳng nguyên thủy sao cho eR không bé. Vì R là QF-3 phải nên eR nội xạ. Đặt eJ = J(eR). Nếu eJ 6= Z(eR) thìeJ là không đối bé đều. Do vậy, eJ xạ ảnh.
Tiếp theo, nếu J(eJ) = eJ2 6= Z(eR) thì nó không đối bé. Do vậy, eJ2 là xạ ảnh, do (∗)∗. Cứ tiếp tục như trên, ta sẽ thu được chuỗi các mô-đun con xạ ảnh của eR
trong đó eJk/eJk+1 đơn. Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng (I) chỉ có hữu hạn số hạng.
Xét ϕ: eJn ∼= eJn+k, với k ≥ 1. Khi đó, ϕ được mở rộng thành đồng cấu ϕ: eR −→ eR. Đặt ϕ(eR) = M, khi đó M ⊃ eJ. Điều này kéo theo M là xạ ảnh. Vì vậy, ϕ là đơn cấu và ϕ(eR) = eR vì eR là xạ ảnh. Vậy nên,
eR/eJn ∼= eR/eJn+k,
điều này mẫu thuẫn bởi vì length(eR/eJn) = nvà lengtheR/eJn+k =
n+k. Do vậy, chuỗi
eR ⊃ eJ ⊃ eJ2 ⊃ · · ·
chỉ có hữu hạn số hạng và eR/Z(eR) có độ dài hữu hạn. Gọi f là lũy đẳng tùy ý sao cho f R bé. TheoMệnh đề 3.2, tồn tại mô-đun không đối béeRsao cho f R . eR. VìeR/Z(eR)có độ dài hữu hạn nên f R/Z f R cũng có độ dài hữu hạn.
(2) ⇒ (1). Gọi R là một vành nửa hoàn chỉnh sao cho RRL
RR là mô- đun mở rộng, L là mô-đun con không đối bé. Khi đó, L chứa một mô- đun địa phương cyclic.
Xét sơ đồ giao hoán
0 // N ι // θ L θ | | E(N)
trong đóιvà θ là các đơn cấu. Rõ ràng,θ(N) ≤ θ(L). Vì θ(N)cyclic nên
θ(N) = xR vớix ∈ θ(N).
Chọn x1 ∈ θ(L)\θ(N). Khi đó, N1 = xR +x1R là tổng trực tiếp của mô-đun xạ ảnh và mô-đun kì dị. Vì N1 không phân tích được và chứa một mô-đun không đối bé nên N1 là xạ ảnh và tồn tại lũy đẳng nguyên thủye1 ∈ R sao cho N1 ∼= e1R. Do đó, N1 là mô-đun xyclic nội xạ.
Chọn x2 ∈ θ(L)\ N1. Khi đó, N2 = xR +x1R là tổng trực tiếp của mô-đun xạ ảnh và mô-đun kì dị. Lập lại khẳng định trên, ta cũng nhận được N1 là xạ ảnh. Cứ tiếp tục như vậy, ta nhận được chuỗi tăng dần
các R-môđun phải cyclic xạ ảnh
N1 < N2 < · · · < θ(L).
Sử dụng giả thiết (2) và vì vành nửa hoàn chỉnhR là trực giao hữu hạn, điều này kéo theo tồn tại k ∈ N sao cho Nk = θ(L). Do vậy, θ(L) là xạ ảnh.
Xét toàn cấu θ: L −→ θ(L). Vì θ(L)là xạ ảnh nên L = kerθLU, với U là một modules con xạ ảnh của L. Vậy R thỏa mãn (∗)∗.
Luận văn“Mô đun không bé, mô đun không đối bé và áp dụng”đã đạt được những kết quả sau:
1. Hệ thống lại khái niệm và các tính chất quan trọng của mô đun không bé, mô đun không đối bé.
2. Trình bày lại khái niệm, mô tả các đặc trưng của vành co−H.
3. Trình bày lại khái niệm, mô tả các đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh QF−3.
[1] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and categories of modules,
Berlin – Heidelberg - New York, 1992 (2nd edition).
[2] P. Dan, L. D. Thoang and L. V. Thuyet, On semiperfect QF-3 rings,
Contributions in Mathematics and Applications – A special volume published by East-West Journal of Mathematics (2005), 211-216. [3] P. Dan, Right perfect rings with the extending peroperty on finitely gen-
erated free module, Osaka J. Math. 26 (1989), 265-273.
[4] B. D. Dung, L. D. Thoang and N. V. Sanh, When is a semiperfect ring right PF?, Asian-European Journal of Mathematics Vol. 1, No.
3 (2008), 353-358, World Scientific Publishing Company.
[5] B. D. Dung, T. C. Quynh and L. D. Thoang, On strictly generalized p-quasi-baer rings, East-West J. of Mathematics: Vol. 9, No 2 (2007)
pp. 189-196.
[6] K. R. Goodearl, Ring Theory, Monographs and Textbooks in Pure
and Appl. Math., 33, Dekker, New York, 1976.
[7] M. Harada, Non-small and non-cosmall modules, Proc. of the Antw.
Conf., Marcel - Dekker (1978), 669-689.
[8] D. V. Huynh and P. Dan, Some characterizations of right co-H rings,
Math. J. Okayama Univ. 34 (1992), 165-174.
[9] W. W. Leonard, Small modules, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966),
to generalized uniserial rings, Hokkaido Math. J., Vol. 13, 339-346,
(1984).
[11] M. Rayar, Small modules and cosmall modules, Ph. D. Dissertation,
Indiana Univ (1971).
[12] T. Soonthornkrachang, P. Dan, N. V. Sanh, K. P. Shum, On Harada Rings and Serial Artinian Rings, Vietnam Journal of Mathematics
36(2008), 229–238.
[13] L. D. Thoang,Về cấu trúc của vành QF và một số vành mở rộng, Luận
án tiến sĩ Toán học, Đại Học Huế (2006).
[14] N. Vanaja, Characterizations of rings using extending and lifting mod-
ules, "Ring Theory" (Proc. of the Denison Conf., eds: Jain, S. K. and