Định nghĩa 1.6.1.
• Tập chỉ số của một hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là tập tất cả các số
α có tính chất : với một lân cận tùy ý của điểm tới hạn đó, tồn tại một hàm biên độ có giá trong lân cận đó, sao cho tồn tại một số k mà hệ số ak,α trong chuỗi tiệm cận (1.14) khác không.
• Chỉ số dao động của một hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là số lớn nhất của tập chỉ số trên và được ký hiệu là β.
• Số bội của chỉ số dao động của hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là số lớn nhất k có tính chất : với một lân cận tùy ý của điểm tới hạn đó, tồn tại một hàm biên độ có giá trong lân cận đó và trong lân cận này hệ số ak,β của chuỗi tiệm cận (1.14) khác không.
Ví dụ 1.6.1. Xét Tích phân dao động (1.1), trong đó hàm pha φ có kỳ dị không suy biến tại điểm x0. Theo Định lý 1.2.2 ta có
I(λ) ∼ eiλφ(x0)
∞
X
j=0
ajλ−j−n2,
trong đó a0 = (2π)n2f(x0)|det(φ00(x0))|−12 eiπ4sgn(φ00(x0)). Khi đó tập chỉ số của hàm pha φ tại điểm kỳ dị không suy biến x0 là tập tất cả các số có dạng −n
2 −j, với
j = 0,1, . . .; chỉ số dao động của điểm tới hạn này là−n
Định nghĩa 1.6.2. Chỉ số kỳ dị của một hàm pha giải tích n biến tại một điểm tới hạn là chỉ số dao động tại điểm tới hạn này cộng thêm n
2. Số bội của chỉ số kỳ dị là
số bội của chỉ số dao động.
Nhận xét 1.6.2. Chỉ số kỳ dị và số bội của hàm pha giải tích bằng không tại điểm kỳ dị không suy biến của nó.