metric Holder
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa t½nh ch½nh quy metric Holder theo h÷îng trong Tèi ÷u v Gi£i t½ch bi¸n ph¥n (Xem Huynh Van Ngai, Nguyen Huu Tron, Michel Thera [4]).
Vîi X, Y l c¡c khæng gian Banach, f :X×Y →R v g :X →Y l c¡c h m li¶n töc. Gi£ sû K l tªp con lçi âng cõa Y. Trong ch÷ìng n y, ta x²t b i to¡n tèi ÷u phö thuëc tham sè câ d¤ng
(Py) min
x∈Xf(x, y) s.t y∈g(x)−K, (3.1) phö thuëc v o mët tham sèy ∈Y. Tªp kh£ thi cõa(Py)÷ñc k½ hi»u bði
φ(y) :={x∈X :y∈g(x)−K}. (3.2) Vîi y= 0, t÷ìng ùng b i to¡n(P0) k½ hi»u b¬ng (P)÷ñc xem nh÷ l b i to¡n khæng nhi¹u. Ta °t f(x) :=f(x,0), φ0 := φ(0) v ta k½ hi»uv(y) l h m gi¡ trà tèi ÷u cõa
(Py)v S(y) l tªp li¶n k¸t cõa c¡c nghi»m tèi ÷u:
v(y) := inf
x∈φ(y)f(x, y); (3.3)
S(y) := arg min
Nhc l¤i xε ÷ñc gåi l mët nghi»m ε−tèi ÷u cõa (Py) n¸u xε ∈ φ(y) v f(xε, y) ≤
v(y) +ε. Trong ch÷ìng n y, chóng ta ¡p döng kh¡i ni»m t½nh ch½nh quy metric theo h÷îng º th£o luªn t½nh kh£ vi theo h÷îng cho h m gi¡ trà tèi ÷u v(y). Chóng ta gi£ sûf v g l c¡c ¡nh x¤ thuëc lîpC1. Ta x²t mët ÷íngy(t) li¶n k¸t vîi h÷îng d∈Y
câ cæng thùcy(t) =td+◦(t), vîi t∈R+. Ta nhc l¤i kh¡i ni»m h÷îng kh£ thi. ành ngh¾a 3.1. Cho x0 ∈φ(0), mët h÷îngh ∈X ÷ñc gåi l h÷îng kh£ thi t¤i x0, èi vîi h÷îng d∈ Y, n¸u vîi b§t k¼ ÷íng y(t) =td+◦(t) vîi t≥ 0 trong Y, tçn t¤i
r(t) = ◦(t) trong X sao cho x0 +th+r(t)∈φ(y(t)).
Chó þ 3.2. N¸u h l mët h÷îng kh£ thi èi vîid∈Y t¤i x0, th¼
Dg(x0)h−d∈TK(g(x0)). (3.5) Vîi TK(g(x0)) ={d ∈ Y : d(g(x0) +td, K) = ◦(t), t ≥ 0} l nân ti¸p li¶n èi vîi tªp lçiK t¤i g(x0).
Ng÷ñc l¤i ta câ bç · sau:
Bê · 3.3. Cho x0 ∈ φ(0), n¸u (3.5) óng, v n¸u th¶m v o G(x) := g(x)−K l ch½nh quy metric theo h÷îng (h, d) t¤i (x0,0) th¼ h l mët h÷îng kh£ thi èi vîi d.
Chùng minh. Gi£ sû tçn t¤i τ, ε >0 sao cho
d(x, φ(y))≤τ d(y, g(x)−K),
∀(x, y)∈B((x0,0), ε)∩[(x0,0) +cone B((h, d), ε)],
d(y, g(x)−K)≤εk(x, y)−(x0,0)k. (3.6) L§yy(t) =td+◦(t) v °t x(t) = x0+th; ta câ
g(x0) +tDg(x0)h−td+◦(t)∈K, khi t↓0.
Khi g(x(t)) =g(x0) +tDg(x0)h+◦(t),ta câ g(x(t))−td+◦(t)∈K tø ¥y ta ÷ñc
V¼ vªy, vîi t >0 õ nhä,
(x(t), y(t))∈B((x0,0), ε)∩[(x0,0) +cone B((h, d), ε)], d(y(t), g(x(t))−K)≤εk(x(t), y(t))−(x0,0)k.
Do vªy, tçn t¤ix¯(t) :=x0+th+◦(t)∈φ(y(t)), khit >0. Ta câ i·u ph£i chùng minh.
Bê · 3.4. Gi£ sû r¬ng Y l húu h¤n chi·u. L§y x0 ∈φ(0) v d∈Y \ {0}, h∈X sao cho câ ÷ñc (3.5). N¸u G l ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i(x0,0)theo h÷îng(h, d), khi â ta câ
d∈int{Dg(x0)X−TK(g(x0))}. (3.7) Chùng minh. L§y τ >0, ε∈(0,1) sao cho (3.6) x£y ra. L§y0< δ < εkdk
2 v cè ành d˜∈B(d, δ). V¼ câ ÷ñc (3.5) n¶n ta câ g(x0) +tDg(x0)h−td+◦(t)∈K, khi t >0. V¼ vªy, g(x0+th)−td+◦(t)∈K, khi t >0. Hìn núa, ta câδ ≤ εkd˜k 2(1−δ/2) < εkd˜k khi δ < εkdk 2 < ε(δ+kd˜k) 2 . Vªy vîi t õ nhä, d(td, g˜ (x0+th)−K)≤tδ+◦(t)< εt(khk+kd˜k).
Theo (3.6), ta chånx(t)∈φ(td˜) sao cho
kx0+th−x(t)k ≤τ tδ+◦(t). °t h(t) = x(t)−x0 t , ta câ kh−h(t)k ≤τ δ+◦(t) t . Khi x(t)∈φ(td˜), td˜∈g(x0+h(t))−K,
v v¼ th¸,
˜
d∈Dg(x0)(h(t)) + ◦(t)
t − K−g(x0)
t .
Khi Y l húu h¤n chi·u, ta câ thº chån mët d¢y(tn)n∈N↓0sao cho d¢y(Dg(x0)h(tn))n∈N
hëi tö ¸n mët sèω ∈Dg(x0)X. Khi â, nhí v o k¸t qu£ Bê · 3.3 ta ÷ñc
˜
d∈Dg(x0)X−TK(g(x0)),
ta ho n th nh chùng minh bê ·.
Ta k½ hi»uL(x, λ, y) v Λ(x0)l¦n l÷ñt t÷ìng ùng l h m Lagrange cõa (Py) v tªp c¡c nh¥n tû Lagrange cõa b i to¡n (P0) vîi x0 ∈S(0). Ch½nh x¡c hìn, n¸uNK(g(x0))
l nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi K t¤i g(x0), th¼ ta câ
L(x, λ, y) = f(x, y) +hλ, g(x)−yi, (x, λ)∈X×Y∗; Λ(x0) = {λ∈NK(g(x0)) : DxL(x0, λ,0) = 0}.
Cho mët h÷îng d, ta x²t tuy¸n t½nh ho¡ cõa B i to¡n (Py)sau:
(PLd) min
h∈XDf(x0,0)(h, d) sao cho Dg(x0)h−d∈TK(g(x0)).
Quan s¡t r¬ng (3.7) l i·u ki»n chu©n ho¡ r ng buëc Robinson cho B i to¡n (PLd)
v b i to¡n èi ng¨u cõa(PLd)l
(DLd) max
λ∈Λ(x0)DyL(x0, λ,0)d.
Tø Bê · 3.4 ta ÷ñc ¤t ÷ñc k¸t qu£ èi ng¨u cho B i to¡n (DLd) sau:
Bê · 3.5. Cho x0 ∈ S(0) v d ∈ Dg(x0)X −Tk(g(x0)). Gi£ sû Y l húu h¤n chi·u v G=g−K l ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i (x0,0)theo h÷îng(h, d) cho mët sè h÷îngh∈X vîiDg(x0)h−d∈TK(g(x0)).Khi â khæng câ kho£ng c¡ch (no gap) giúa hai b i to¡n èi ng¨u (PLd) v (DLd). Hìn núa, gi¡ trà tèi ÷u chung l húu h¤n, n¸u v ch¿ n¸u tªp Λ(x0) l khæng réng; v trong tr÷íng hñp n y, tªp c¡c gi¡ trà nghi»m tèi ÷u cõa (DLd)l tªp compact.
ành lþ sau ÷a ra mët k¸t qu£ li¶n quan ¸n t½nh kh£ vi Hadamard theo h÷îng cõa h m gi¡ trà tèi ÷uv(y).
ành l½ 3.6. Cho Y l húu h¤n chi·u v h÷îng d∈Y vîi
{d,−d} ⊆Dg(x)X−TK(g(x)) vîi måi x∈S(x0).
Gi£ sû
(i) h m a trà G = g−K l ch½nh quy metric theo h÷îng vîi c¡c h÷îng (0, d) v
(0,−d) t¤i måi iºm (x,0) vîi x∈S(0);
(ii) vîi b§t ký d¢yyn=tnd+◦(t) vîi tn↓0, tçn t¤i mët d¢y cõa◦(tn)−c¡c nghi»m tèi ÷u (xn) cõa (Pyn), hëi tö ¸n mët sè x0 ∈S(0).
Khi â, k½ hi»u v−0 (0, d) v v+0 (0, d) l c¡c ¤o h m d÷îi v ¤o h m tr¶n theo h÷îng Hadamard cõa v t¤i 0 theo h÷îng d, ta câ
v−0 (0, d)≥ inf x∈S(0) inf λ∈Λ(x)DyL(x, λ, y)d; v+0 (0, d)≤ inf x∈S(0) sup λ∈Λ(x) DyL(x, λ, y)d. (3.8) Tø â suy ra, n¸u Λ(x) l mët nh¥n tû {λ(x)} vîi måi x ∈ S(0), th¼ ¤o h m theo h÷îng Hadamard vîi h÷îng d cõa v(y) t¤i 0 tçn t¤i v
v0(0, d) = inf
x∈S(0)DyL(x, λ(x),0)d.
Chùng minh. Chox∈S(0) v h÷îngh∈X sao choDg(x)h−d∈TK(g(x)).N¸u
G l ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i t¤i (x,0) vîi h÷îng (0, d) th¼ G công l ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i (x,0)vîi h÷îng (h, d). Theo Bê · 3.4, h l h÷îng kh£ thi èi vîi d, i.e., x+th+◦(t)∈φ(td), t↓0. V¼ th¸,
v(td)≤f(x+th+◦(t), td) =f(x,0) +tDf(x,0)(h, d) +◦(t) v do â, lim sup t↓0 v(td)−v(0) t ≤Df(x,0)(h, d).
V¼ x∈S(0) tòy þ v h l mët iºm kh£ thi b§t ký cõa (PLd), b§t ¯ng thùc thù hai trong (3.8) ÷ñc chùng minh.
Vîi b§t ¯ng thùc nh§t trong (3.8), chotn ↓0; yn =tnd+◦(tn)v (xn)l mët d¢y
◦(tn)−c¡c nghi»m cõa (Pyn) nh÷ trong (ii) m nâ hëi tö ¸n x0 ∈ S(0). L§y h ∈ X
sao cho
Dg(x0)h+d∈TK(g(x0));
t֓ng ֓ng,
g(x0) +tDg(x0)h+td+◦(t)∈K, t ↓0.
Khi g(xn)−yn ∈ K v công nh÷ v¼ K lçi, vîi b§t k¼ t > 0, khi n õ lîn v sao cho
tn
t <1. Ta câ
(1−tn/t)[g(xn)−yn] +tn/t[g(x0) +tDg(x0)h+td+◦(t)]
=g(xn)−yn+tn/t[g(x0)−g(xn)] +tnDg(x0)h+tnd+tn◦(t)/t∈K.
V¼ th¸, vîi ε >0, khi n õ lîn, ta câd(g(xn) +tnDg(x0)h, K)≤tnε. Khi
g(xn+tnh) = g(xn) +tnDg(x0)h+◦(tn),
ta ֖c,
d(g(xn+tnh), K)≤tnε+◦(tn).
V¼Gl ch½nh quy metric n¶n ta t¼m ÷ñc mët sè zn∈φ0 =G−1(0) sao choxn+tnh−
zn=◦(tnε).Do â, v(yn)−v(0) tn ≥ f(xn, yn)−f(zn,0) +◦(tn) tn = f(xn, yn)−f(xn+tnh,0)− ◦(tnε) tn =−Df(x0,0)(h−d)− ◦(tnε) tn .
Cuèi còng, theo Bê · 3.5, khæng câ kho£ng c¡ch giúa hai b i to¡n èi ng¨u (PL−d)
v (DL−d); v¼ ε >0tòy þ, ta suy ra lim inf n→∞ v(yn)−v(0) tn ≥ inf λ∈Λ(x0)DyL(x, λ,0)d.