Dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulop(vớiplà số nguyên tố lẻ)ϕHe∗(BZ/p)
s vớis ≤1được cho bởi các định lý sau.
Định lý 3.3.1(Chơn-Như [18, Định lý 5.6]). Đồng cấu Lannes-Zarati modulophạng 0
ϕHe∗(BZ/p)
0 : Ext0A,t(He∗(BZ/p),Fp) //(Fp⊗
A R0He∗(BZ/p))#t
là đẳng cấu.
Chứng minh. Dễ thấy (Fp⊗A R0He∗(BZ/p))# được sinh bởi ab[kpi−1] với i ≥ 0 và
1≤ k ≤ p−1. Do đó, khẳng định của định lý được suy ra từ Định lý 3.2.2 và Mệnh đề 2.2.5.
Định lý 3.3.2(Chơn-Như [18, Định lý 5.7]). Đồng cấu Lannes-Zarati modulophạng 1 ϕHe∗(BZ/p) 1 : Ext1A,1+t(He∗(BZ/p),Fp) //(Fp⊗ A R1He∗(BZ/p))#t được xác định bởi (i) hibhi(1)7→ hβQpiab[pi−1]ivớii ≥ 0; (ii) hibhj 7→ hβQpiab[(p−1)pj−1]ivới0≤ j < i; (iii) hibhj(k)7→ hβQpiab[kpj−1]ivới0≤j < i,1≤ k < p−1; (iv) bki(k)7→ (P0)i βQk+1ab[k]vớii ≥0,1≤k < p−1; (v) Những phần tử còn lại7→0.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.2.5, dễ dàng kiểm tra được ảnh của những phần tử bên dưới
• α0bhivớii ≥ 1;
• α0bhi(k)vớii ≥1,1≤k < p−1; • αb(k)với0≤ k < p−2;
• hibhj với0≤i < j −1;
• hibhj(k)với0≤ i < j−1,1≤k < p−1
là tầm thường.
Bằng kiểm tra trực tiếp, sử dụng Mệnh đề 2.2.5 ta có
e
ϕHe∗(BZ/p)
1 (λ1p−1ab[kp+p−2]) = hβQpab[kp+p−2]i.
Vì2p−(2(kp+p−2) + 1)<0với mọik ≥ 1nên suy raϕHe∗(BZ/p)
1 (db1(k)) = 0
với mọi1≤k ≤ p−1. Sử dụng Mệnh đề 2.4.3, ta thu được ϕHe∗(BZ/p)
1 (dbi(k)) = (P0)i−1ϕHe∗(BZ/p)
1 (db1(k)) = 0.
Bằng lập luận tương tự, vì2(j+ 1)−(2((p−1−j)p+r+j) + 1) <0với mọi
0≤ j ≤ p−1−r vàr ≥ 1nênϕHe∗(BZ/p)
1 (pb0(r)) = 0. Hơn nữa, sử dụng Mệnh đề 2.4.3 ta cóϕHe∗(BZ/p)
1 (pbi(r)) = 0.
Cuối cùng, sử dụng Mệnh đề 2.2.5, dễ dàng kiểm tra được, trong(R1He∗(BZ/p))#
• ϕHe∗(BZ/p) 1 (hibhi(1)) =hβQpiab[pi−1]i 6= 0vớii ≥0; • ϕHe∗(BZ/p) 1 (hibhj) =hβQpiab[(p−1)pj−1]i 6= 0với0≤ j < i; • ϕHe∗(BZ/p) 1 (hibhj(k)) = hβQpiab[kpj−1]i6= 0với0≤ j < i,1≤k < p−1; • ϕHe∗(BZ/p) 1 (bki(k)) = (P0)i βQk+1ab[k] 6= 0, i≥ 0,1≤k < p−1. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 3.3.3(Chơn-Như [18, Hệ quả 5.8]). Đồng cấu Lannes-Zarati modulophạng 1ϕHe∗(BZ/p)
1 không phải là toàn cấu.
Chứng minh. Dễ thấy rằng [βQp−1b[1]+Qp−1a] là không tầm thường trong(Fp ⊗A
R1He∗(BZ/p))#. Theo Định lý 3.3.2, suy raϕHe∗(BZ/p)