3 Mô hình hóa toán học và các bài toán tối ưu thực tế trong
3.2.4 Các bài toán di chuyển quãng đường đi
Các bài toán thuộc loại này được giải quyết chủ yếu dựa trên hai khái niệm của giải tích là đạo hàm và tích phân.
Bài toán 32 (Độ cao của một mũi tên đạt được là bao nhiêu? [13]). Một người bắn một mũi tên thẳng đứng lên không trung. Hỏi độ cao mà mũi tên sẽ đạt đến là bao nhiêu nếu anh ta điều khiển cho vận tốc ban đầu là
Lời giải. Gọi chiều cao của mũi tên sau t giây là s(t). Khi đó s0(t) là vận tốc của mũi tên tại thời điểm t. Ta bỏ qua chiều cao của người bắn tên, nghĩa là s(0) = 0 và ta bỏ qua lực cản của không khí. Chúng ta sẽ thấy gì khi mũi tên lên cao dần? Vận tốc của nó sẽ giảm dần khi bay lên cao. Tại điểm cao nhất, dường như nó sẽ dừng lại một lúc. Tại thời điểm độ cao cực đại t, vận tốc s0(t) = 0. Bây giờ ta sử dụng Định luật bảo toàn năng lượng và quan sát chỉ ra rằng có hai loại năng lượng đóng vai trò ở dây: Động năng (năng lượng chuyển động) 12ms0(t)2 và thế năng (năng lượng vị trí)mgs(t), ở đâym là khối lượng mũi tên, g là hằng số trọng tường. Theo Định luật bảo toàn năng lượng thì tổng năng lượng 12ms0(t)2 +mgs(t) có cùng giá trị tại mọi thời điểm.
Tại thời điểm t = 0, chỉ có động năng 12mv02 và tại thời điểm t = t, chỉ có thế năng mgs(t). Do đó,
1 2mv
2
0 = mgs(t).
Vì vậy độ cao cực đại của mũi tên là
s(t) = v
2 0
2g.
Bài toán 33. Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100m.
Lời giải.
Ký hiệu như hình vẽ A, B lần lượt là vị trí người chiến sĩ (CS) và mục tiêu tấn công H, K nằm trên hai bờ sao cho AHBK là hình chữ nhật; M
Hình 3.18: Ta có: HB = pAB2 −AH2 = p10002 −1002 = 300√ 11(m). Đặt HM = x (đơn vị là m) với x ∈ (0; 300√ 11). Gọi v (m/s) là vận tốc chạy bộ của người chiến sĩ. Khi đó, người chiến sĩ phải bơi một đoạn bằng
AM = √
AH2 +HM2 = √
1002 +x2(m).
Thời gian người chiến sĩ bơi là:
tb = AM vb = 2 √ 1002 +x2 v (s).
Sau khi bơi, người chiến sĩ cần chạy bộ một đoạn
Thời gian người chiến sĩ chạy bộ là tc = M B vc = 300 √ 11−x v (s).
Tổng thời gian người chiến sĩ tấn công mục tiêu:
T = t1 + t2 = 1 v Ä 2√ 1002 +x2 −xä+ 300 √ 11 v . Đặt f(t) = 2√ 1002 +x2−x với x ∈ (0; 300√ 11). Để T nhỏ nhất thì f(x) phải nhỏ nhất. Ta có: f0(x) = √ 2x 1002+x2 −1. Khi đó, f0(x) = 0 ⇔ √1002 + x2 = 2x ⇔x = 100√ 3.
Từ đây ta suy ra được
min x∈(0;300√ 11) f(x) =f Å100 √ 3 ã .
Vậy người chiến sĩ phải bơi một đoạn bằng
AM = √
1002 +x2 = 200√
3 (m)
để đến mục tiêu nhanh nhất.
Bài toán 34 (Sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao). Lưu lượng xe ôtô vào đường hầm được cho bởi công thức f(v) = 0,36v2209,4v+13,2v+264 (xe/giây) trong đó v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Lời giải. Theo giả thiết ta có:
f0(v) = 290,4. −0,36v2 + 264
f0(v) = 0 ⇔v = √ 264 0,6 . f đạt giá trị lớn nhất khiv = √ 264 0,6 ≈ 27,08(km/h) vàf Ç√ 264 0,6 å ≈ 8,9.
Bài toán 35. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A
đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
Hình 3.19: Lời giải. Đặt BS = x, (0 < x < 4). Khi đó, ( CS = √ 1 +x2 SA = 4−x. Chi phí bỏ ra là √
Hình 3.20: Ta cần tìm x ∈ (0; 4) sao cho f(x) nhỏ nhất. Xét hàm số y = f(x) trên (0; 4). Ta có f0(x) = √5000x 1 +x2 −3000, và f0(x) = 0 ⇔ 1000(5x−3 √ 1 +x2) √ 1 +x2 = 0 ⇔ 3√ 1 +x2 = 5x ⇔ 9(1 +x2) = 25x2, x ≥ 0.
Suy ra x = 34. Ta có bảng biến thiên
Hình 3.21:
Từ bảng biến thiên ta có f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16000 tại 3 4
Vậy điểm S trên bờ cần tìm cách A một khoảng 4− 3
5 = 13
4 (km).
Bài toán 36. Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Tính đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi.
Lời giải. Gọi S là điểm trên bờ sông DC. Ta có khoảng cách DC = 492(m).
Đặt SD = x (m). Khi đó, SC = 492−x (m) với 0< x < 492.
Hình 3.23:
Đoạn đường người đó cần đi để hoàn thành công việc là
f(x) = √
1182 +x2 + »4872 + (492−x)2.
Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.7, ta đạt được ước lượng
f(x) ≥ »(118 + 487)2 + (x+ 492−x)2 ≈ 779,8.
Dấu “=” xảy ra khi
118 478 =
x
492−x ⇔ x ≈95,96.
Vậy đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8 m.
Bài toán 37 (Toán học tuổi trẻ lần 8). Một vùng đất hình chữ nhật
ABCD có AB = 25km, BC = 20km và M, n lần lượt là trung điểm của
AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn M N rồi lại đi thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa đi trên phần ABM N là 15km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần M N CD là 30km/h. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A
Lời giải.
Hình 3.24:
Gọi M X = x(km) với 0≤ x ≤ 25. Quãng đường AX = √
x2 + 102. Khi đó, thời gian tương ứng
√
x2 + 102
15 (h).
Quãng đường CX = p(25−x)2 + 102. Thời gian tương ứng
√ x2 −50x+ 725 30 (h). Tổng thời gian f(x) = √ x2 + 100 15 + √ x2 −50x+ 725 30
với x ∈ [0; 25]. Bài toán của ta quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [0; 25]. Ta có
f0(x) = √ x + x−25
Khi đó f0(x) = 0 ⇔x = 5. Tính các giá trị: f(0) = 4 + √ 29 6 ≈ 1,56, f(25) = 1 + √ 29 3 ≈ 2,13, f(5) = 2 √ 5 3 ≈ 1,49. Vậy hàm số f đạt GTNN bằng 2√ 5 3 tại x = 5.
Bài toán 38 (Sách bài tập Giải tích 12 - Cơ bản). Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = 6t2 −t3 Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. Lời giải.
Theo giả thiết, ta có s(t) = 6t2 −t3, t ∈ (0; +∞). Vận tốc của chuyển động là v(t) =s0(t) = 12t−3t2. Ta có: v0(t) = 12−6t= 0 ⇔ t= 2. Bảng biến thiên: t v0(t) v(t) 0 2 +∞ + 0 − 12 12
Dựa vào BBT, ta có max
(0;+∞)v(t) = v(2) = 12(m/s). Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2(s).
Bài toán 39 (Đề minh họa lần 2 năm 2017). Một vật chuyển động theo quy luật s = −1
2t
3+ 9t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bao nhiêu?
Lời giải.
Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s0(t) = −3
2t
2 + 18t. Do vận tốc lớn nhất của vật đạt được khi
v0(t) =−3t+ 18 = 0 ⇔ t= 6.
Theo phương pháp biến thiên hàm số, vận tốc lớn nhất của vật là
vmax = v(6) = 36(m/s).
Bài toán 40. Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là s(t) = −t2
10 + 4t với t (giờ)
là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
Lời giải.
Vận tốc khi con cá bơi lúc nước yên lặng là
v(t) =s0(t) = −t
5 + 4 (km/h).
Gọi vận tốc và quãng đường con cá bơi ngược dòng là V(t) và S(t). Ta có
V(t) =v(t)−vnước = −t
5 + 2,
và
Với t = 0 thì S(0) = 0 nên C = 0. Suy ra S(t) = −10t2 + 2t và
S0(t) = V(t) = 0. Bằng phương pháp biến thiên hàm số ta có
maxt>0S(t) = S(10).
Vậy khoảng cách xa nhất con cá bơi được là
S(10) = −10
2
10 + 2.10 = 10 (km).
Bài toán 41 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao). Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 400km tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức
E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số cho trước; E tính bằng J un. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải.
Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v −6, (v > 6) (km/h).
Suy ra thời gian để bơi là t = 300
v−6 (h), suy ra E = cv
3 300
v −6 (J),
suy ra E đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
Å v3 300 v −6 ã đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có f(v) =v3 300 v −6, v > 6⇒ f0(v) = 3002v 3 −18v2 (v −6)2 .
v đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
f0(v) = 0 ⇔ 2v
3 −18v2
(v−6)2 = 0 ⇔ v = 9 (km/h).
3.2.5 Các bài toán tăng trưởng
Bài toán 42 (Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao). Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2 −t3, t =
0,1,2, . . . ,25. Nếu coi f là hàm số xác định trên [0; 25] thì f0(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.
(a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.
(b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó. (c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600.
Lời giải. Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2 −t3, t ∈ [0; 25]. Để xét tốc độ truyền bệnh, ta xem hàm số f là xác định trên đoạn [0; 25].
(a) f0(t) = 90t−3t2 = 3t(30−t). Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm là f0(5) = 375 (người/ngày). (b) f00(t) = 90−6t = 0⇔ t = 15. Bảng biến thiên: x f00(t) f0(t) 0 15 +∞ + 0 − 675 675
Từ BBT, tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày thứ 15. Tốc độ đó là f0(15) = 675 (người/ngày).
(c) f0(t) > 600 ⇔90t−3t2 > 600 ⇔t2−30t+ 200 < 0⇔ 10 < t < 20. Từ ngày 11 đến ngày thứ19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600người mỗi ngày.
Bài toán 43 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao). Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 −x), trong đó x
là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất
Lời giải. Ta có: G(x) = 0,75x2 −0,025x3, với x > 0. Đạo hàm của G: G0(x) = 1,5x−0,075x2 = 0 ⇔x = 0∨x = 20. Bảng biến thiên: x G0(x) G(x) 0 20 +∞ + 0 − 100 100
Từ BBT, suy ra maxx∈(0;+∞)G(x) = G(20) = 100. Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100.
Bài toán 44. Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ nhất xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, . . . ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là bao nhiêu?
Lời giải. Tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô thứ n là
Sn = u1 +u2 +· · ·+un = 1 + 2 + 22 +· · ·+ 2n−1 = 2n −1.
Theo giả thiết ta có Sn > 106. Suy ra 2n −1 > 106 và n > 19,93. Vì vậy
n bé nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 20.
Bài toán 45. Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền M vào ngân hàng và dùng số tiền thu được (cả lãi và tiền gốc) để trao 10 suất học bổng hằng tháng cho học sinh nghèo ở TP. Cần Thơ, mỗi suất 1
triệu đồng. Biết lãi suất ngân hàng là 1%/tháng, và Trung tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau một tháng gửi tiền. Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh trong 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền ít nhất là bao nhiêu?
Lời giải. Gọi M (triệu) là số tiền gửi vào ngân hàng, a là lãi suất. Số tiền sau tháng thứ nhất và đã phát học bổng là M(1 +a)−10.
Số tiền sau tháng thứ hai và đã phát học bổng là
(M(1 +a)−10)(1 +a)−10 = M(1 +a)2 −10(1 +a)−10. Số tiền sau tháng thứ 10 và đã phát học bổng là M(1 +a)10 −10 (1 +a)9 + (1 +a)8 +· · ·+ (1 +a) + 1 = M(1 +a)10 −10(1 +a) 10 −1 a . Theo đề ra ta có M(1 +a)10−10(1 +a) 10−1 a = 0. Suy ra M = 10 (1 +a)10 −1 a(1 +a)10 . Thay a = 1%, ta tìm được M = 94713045.
Kết luận
Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là chìa khóa trong hầu hết các hoạt động của con người. Trong thực tiễn đời sống có rất nhiều bài toán tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất. Việc vận dạng toán học vào thực tiễn sẽ sẽ làm cho người học cảm thấy hứng thú và sẽ kích thích được sự tìm tòi kiến thức mới của người học.
Thực tế trong chương trình môn toán ở trường THPT các bài toán ứng dụng thực tế còn ít, làm cho học sinh gặp không ít khó khăn khi trong quá trình học tập, trong các kì thi và kiểm tra. Với những lý do trên tôi mạnh dạn đưa ra một số bài toán tối ưu thực tế với hy vọng giúp toán học có ý nghĩa hơn trong cuộc sống và giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, mở mang thêm và đặc biệt là làm quen với các dạng toán này đỡ phải bỡ ngỡ khi gặp chúng.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tác giả đã tham khảo nhiều tài liệu của nhiều tác giả. Nhân đây, tác giả xin được trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các tác giả nói trên. Mặc dù đã rất cẩn thận, nghiêm túc trong tính toán và cách trình bày của mình nhưng chắc chắn tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện hơn!
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
[1] Các đề thi Toán THPT QG những năm gần đây. [2] (2018), Tạp chí Pi, số 9.