3 TÍNH BW-GIÃN NỞ CỦA SUSPENSION
3.3 Tính BW-giãn nở của suspension
Trước hết ta nhắc lại khái niệm giãn nở của một phép đồng phôi.
Định nghĩa 3.2. Phép đồng phôi φ trên không gian mêtric compact
(X, d) được gọi là giãn nở nếu tồn tại số δ > 0 có tính chất sau. Nếu x, y ∈ X và
d(φn(x), φn(y)) < δ với mọi n ∈ Z
thì x = y. Số δ được gọi là hằng số giãn nở.
Ký hiệu 1 là hàm hằng 1(y) = 1 với mọi y ∈ Y.
Bổ đề 3.3. Choφ là một phép đồng phôi trên không gian mêtric compact
Y. Khi đó suspension của φdưới một hàm liên tục bất kỳ đều tương đương tôpô với suspension của φ dưới hàm 1.
Chứng minh.
Ký hiệu ψf là suspension của φ dưới f và ψ1 là suspension của φ dưới hàm 1. Định nghĩa ánh xạ λ : Y1 →Yf bởi
Khi đó λ là một phép đồng phôi. Ta kiểm tra λ biến các quỹ đạo của ψ1 trong Y1 thành các quỹ đạo của ψf trong Yf. Thật vậy, với (y, t) ∈ Y1, s ∈ R : 0 ≤ s+ t <1 ta có
λ(ψs1(y, t)) = λ(y, t+s) = (y,(t+s)f(y)) = ψsff (y)(y, tf(y)) ∈ ψf
R(y, tf(y)).
Bởi Hệ quả 2.10, hoặc là tất cả hoặc là không có suspension của phép đồng phôi φ cho trước là BW-giãn nở. Vì lí do này chúng ta tập trung vào suspension của φ dưới hàm 1. Bây giờ chúng ta phải xác định một mêtric trên Y1. Giả sử rằng đường kính của (Y, ρ) nhỏ hơn 1.
Định lý 3.4 ([5]). Cho φ là một đồng phôi của không gian mêtric com- pact (Y, ρ) và f : Y → R+ là một hàm liên tục. Khi đó suspension của
φ dưới f là BW-giãn nở và chỉ khi φ là giãn nở.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.3 và Hệ quả 2.10, ta chỉ xét f = 1. Ký hiệu
(ψt)t∈R là suspension củaφ dưới 1 và X = Y1. Giả sử (ψt)t∈R là BW-giãn nở và cho trước 0 < ε < 1
2 tùy ý. Lấy δ = δ(ε) > 0 là hằng số giãn nở
tương ứng (xem Định nghĩa 2.1) và sử dụng mêtric Bowen-Walters d trên X.
Giả sử suspension ψ là BW-giãn nở. Ta chứng minh rằng đồng phôi φ giãn nở. Giả sử y1, y2 ∈ Y và ρ(φn(y1), φn(y2)) < δ,∀n ∈ Z. Ta cần chứng minh y1 = y2. Xét x1 = (y1,0) và x2 = (y2,0). Từ định nghĩa của d, ta có
d(ψt(x1), ψt(x2)) ≤ρt−[t](φ[t](y1), φ[t](y2))
= (1−t+ [t])ρ(φ[t](y1), φ[t](y2)) + (t−[t])ρ(φ[t]+1(y1), φ[t]+1(y2))
< (1−t+ [t])δ −(t−[t])δ = δ.
Vì dòng suspension ψt là BW-giãn nở nên tồn tại |r| < 1/2 sao cho x2 = φr(x1) và vì thế y1 = y2. Suy ra đồng phôi φ giãn nở.
Ngược lại, giả sử đồng phôi φ là giãn nở (theo mêtricρ). Ta định nghĩa mêtric ρ0 trên Y như sau:
ρ0(y1, y2) = min[ρ(y1, y2), ρ(φ(y1), φ(y2))].
Khi đó φ cũng giãn nở theo mêtric ρ0. Gọi κ là hằng số giãn nở của φ ứng với mêtric ρ0.
Cho trước ε > 0. Chọn 0 < δ < min{1/4, ε, κ}. Giả sử x1, x2 ∈ X, s : R→ R liên tục, s(0) = 0 và
d(φt(x1), φs(t)(x2)) < δ ∀t ∈ R. Trường hợp 1: x1 ∈ X = Y1 có phần tử đại diện(y1,1
2) trong Y ×[0,1]
và x2 ∈ Y1 có phần tử đại diện(y2, t2) trong Y ×[0,1]. Khi đó d(x1, x2) < δ < 1
4 và vì thế
ρ0(y1, y2) ≤ d(x1, x2) < δ.
Hơn nữa, vì x1 có phần tử đại diện (y1,1
2) nên ψ1(x1) có phần tử đại diện (φ(y1),1 2) và d(φ1(x1), φs(1)(x2)) < δ < 1 4. Vì d(ψt(x1), ψs(t)(x2)) < δ < 1 4,∀t ∈ R
nên ψs(1)(x2) ∈ Y1 phải có đại diện là (φ(y2), s) với s ∈ [0,1] nào đó. Do đó
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được
ρ0(φn(y1), φn(y2)) < δ,∀n∈ Z
và vì φ là giãn nở nên y1 = y2. Hơn nữa x2 = φt(x1) với |t| < δ < ε. Trường hợp 2: x1 không có đại diện (y1,1
2). Khi đó ψr(x1) có đại diện (y1,1
2) với |r| ≤ 1/2 nào đó. Nếu x01 = φr(x1) và x02 = φs(r)(x2) thì d(ψt(x01), ψs(t−r)−s(r)(x02)) < δ,∀t ∈ R
và ta kết luận rằng x02 = φt(x01) với |r| < δ, tương tự x2 = φt+r−s(r)(x1). Lưu ý rằng |t +r −s(r)| = d(x1, x2) < δ < ε. Vì vậy dòng suspension
Kết luận
Tác giả đã chọn lọc các kiến thức đã có trong các tài liệu tham khảo và trình bày một số nội dung sau trong luận văn:
1. Giới thiệu các khái niệm, tính chất về tính giãn nở kiểu Bowen- Walters, tính giãn nở kiểu Komuro, tính giãn nở kiểu Katok-Hasselblatt, tính giãn nở kiểu Gura, tính giãn nở kiểu Artigue
2. Trình bày các mối liên hệ giữa các tính giãn nở.
3. Trình bày các ví dụ minh họa cho các tính BW-giãn nở, tính giãn nở động học, tính KH-giãn nở.
4. Giới thiệu khái niệm dòng suspension của một phép đồng phôi dưới một hàm dương liên tục, đồng thời chứng minh rằng dòng suspension của một đồng phôi là giãn nở kiểu Bowen-Walters khi và chỉ khi đồng phôi đó là giãn nở.
Vì thời gian và kiến thức có hạn nên còn những vấn đề về dòng giãn nở động học mạnh, dòng giãn nở tách mạnh hay dòng tách hình học chưa được trình bày trong luận văn này. Những vấn đề đó chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu trong tương lai.
Tài liệu tham khảo
[1] A. Artigue, Expansive flows on surfaces, Discrete & Continuous Dy- namical Systems - A 33(2), 505-525 (2013)
[2] A. Artigue, Positive expansive flows, Topology and its Applications, 165, 121-132 (2014)
[3] A. Artigue, Kinematic expansive flows, Ergodic Theory and Dynam- ical Systems 36 390-421 (2016)
[4] A. Artigue, Rescaled expansivity and separating flows, Discrete and Continuous Dynamical Systems - A 38(9): 4433-4447 (2018)
[5] R. Bowen and P. Walters, Expansive one-parameter flows, Jounrnal of Differential equations 12 180-193 (1972)
[6] R. Bowen, Periodic orbits for hyperbolic flows, American journal of mathematics Vol. 94 1-30 (1972)
[7] A. Gura, Horocycle flow on a surface of negative curvature is sepa- rating, Mat. Zametki 36 (1984)
[8] A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[9] H. Huynh, Expansiveness for the geodesic flow and horocycle flows on compact Riemann surfaces of constant negative curvature, sub- mitted
[10] M. Komuro, Expansive properties of Lorenz attractors, The Theory of Dynamical Systems and its Applications to Nonlinear Problems (Toyoto, 1984), World Scientific, Singapore (1984), 4-26
[11] M. Kunze, Dynamics of the Geodesic Flow on Compact Factors of the Hyperbolic Plane, preprint