3 Ứng dụng
3.3.1 Đặc trưng của phân phối hình học
Trong phần này bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy chúng tôi trình bày về đặc trưng của phân phối hình học theo thuộc tính không nhớ.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học nếu hàm mật độ xác suất của nó được cho bởi
trong đó p ∈ [0,1] là một tham số. Ở đây p được hiểu là xác suất thành công. Nếu X là một biến ngẫu nhiên hình học, thì nó chỉ số phép thử để lần đầu tiên biến cố xuất hiện.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là không nhớ nếu nó thỏa mãn P(X > m+n|X > n) = P(X > m)
với mọi m, n∈N.
Bây giờ ta chứng minh rằng một biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn tính chất không nhớ.
Ta có tính chất không nhớ là P(X > m+n|X > n) = P(X > m) Vì P((X > m+n)|(X > n)) = P((X > m+n) T (X > n)) P(X > n) ,
nên ta thu được
P((X > m+n)T
(X > n)) = P(X > m)P(X > n)
điều này dẫn đến
P(X > m+n) = P(X > m)P(X > n) ∀m, n∈N.
Nếu X là biến ngẫu nhiên hình học, thì, X ∼(1−p)x−1p, khi đó P(X > m+n) = ∞ X x=m+n+1 (1−p)x−1p = (1−p)n+m = (1−p)n(1−p)m = P(X > n)P(X > m). Do đó phân phối hình học có tính chất không nhớ.
Tiếp theo, cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thỏa mãn tính chất không nhớ, P(X > m+n) =P(X > m)P(X > n)
với mọi m, n∈N. Ta cần chứng minh X là biến ngẫu nhiên hình học. Ta định nghĩa g :N→R như sau
g(n) = P(X > n). Do đó, ta có
g(m+n) = g(m)g(n)
với mọi m, n∈N. Nghiệm tổng quát (ngay cả trường hợp không liên tục) được cho bởi g(n) =an, với a là hằng số. Vì vậy P(X > n) = an hoặc 1−F(n) = an, trong đó F(n) là hàm phân phối xác suất. Vì vậy
F(n) = 1−an. Do F(n) là hàm phân phối xác suất, ta có
1 = lim
n→∞F(n)
hoặc
1 = lim
n→∞(1−an).
Từ trên, ta kết luận rằng 0< a < 1. Ta thay a bằng (1−p), ta nhận được F(n) = 1−(1−p)n.
Khi đó, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi f(1) = F(1) =p f(2) = F(2)−F(1) = 1−(1−p)2−p= (1−p)p f(3) = F(3)−F(2) = 1−(1−p)3−1 + (1−p)2 = (1−p)2p.
f(x) = (1−p)x−1p cho x= 1,2,3, ...,∞. Vì thế
X∼Geo(p).