quy hoạch phi tuyến
Trong phần này ta sẽ thiết lập hai tính chất liên tục của bài toán nhiễu (3.11). Ta giữ nguyên ký hiệu giống như trong phần 3.2; ngoài ra, ta ký hiệu khoảng cách từ một điểm a đến một tập A bởi d(a, A) := inf{ka−a0k | a ∈ A}
(+∞ nếu A =∅), và B là hình cầu đơn vị trong Rn hoặc Rm; không gian được rõ ràng theo văn cảnh.
Định lý đầu tiên của chúng ta cho thấy rằng, nếu điều kiện đủ cấp hai đúng tại một cực tiểu địa phương và ràng buộc là chính quy, khi đó cực tiểu địa phương vẫn tồn tại với nhiễu đủ nhỏ.
Định lý 3.7. [21] Giả sử cho p = p0, (3.11) thỏa điều kiện đủ cấp hai tại x0 và với u0 ∈U0 và ràng buộc là chính quy tại x0. Khi đó với mỗi lân cận M của x0 trong Ω , lân cận N của p0 sao cho nếu p∈N, khi đó (3.11) có một cực tiểu địa phương trong M.
Chứng minh. Theo giả thiết p = p0 thì ràng buộc (3.11) là chính quy tại x0. Theo [20, Theorem 1] thì tồn tại lân cận M0 của x0 , lân cận N0 của p0 và hằng số ζ , sao cho với mỗi x∈C∩M0 và p∈N0,
d(x, F(p))≤ζd[g(x, p), Qo],
ở đó F(p) :={x∈ C |g(x, p)∈Qo}. Chọn 0 là mô-đun cho điều kiện đủ cấp hai tại (x0, u0); chọn ∈(0, 0) và δ > 0sao cho (x0+ 2δB)⊂M0∩M∩V, ở đây V là lân cận củax0 được cho bởi Định lý 3.2 theođã chọn. Chọn một lân cận N00 của
p0 với N00 ⊂N0, α >0 sao cho nếu p∈N00 và x1, x2 ∈x0+ 2δB với kx1−x2k ≤α, khi đó
kf(x1, p)−f(x2, p0)k< δ
2
16 =:β.
Tiếp theo, tìm một lân cận N củap0 với N ⊂N00 và sao cho nếu p∈N, thì
ζsup{kg(x, p)−g(x, p0)k |x∈x0+δB} ≤min{α,1
2δ}.
Chọn p ∈ N bất kì. Nếu F(p)∩ {x | kx−x0k =δ} là khác rỗng, với bất kì
x0∈F(p) . Ta có x0∈C∩ {x0+δB} và g(x0, p)∈Qo , vì vậy
d(x0, F(p0))≤ζd[g(x0, p0), Qo]≤ζkg(x0, p0)−g(x0, p)k ≤min{α,1
2δ}
Vậy nên, chox00 ∈F(p0)với kx0−x00k ≤min{α,12δ}, và ta suy ra được kx00−x0k ≥ kx0−x0k − kx0−x00k ≥ 12δ. Quay lại bài, theo Định lý 3.2 ta có:
f(x00, p0)≥φ0+1 2( 1 2δ) 2 =θ+ 2β. Tương tự, kx00−x0k ≤ kx0−x0k+kx0−x00k ≤δ+ 1 2δ = 3 2δ, Vì vậy x00 ∈x0+ 2δB ; khi kx00−x0k ≤α ta có: kf(x0, p)−f(x00, p0)k< β. Do đó f(x0, p) ≥f(x00, p0)− kf(x0, p)−f(x00, p0)k > φ0+ 2β−β =φ0+β. (3.18) Điều này cũng đúng d(x0, F(p))≤ζd[g(x0, p), Qo]< ζkg(x0, p)−g(x0, p0)k ≤min{α,1 2δ}.
Quay lại bài, có một số x”∈F(p) với kx0−x”k ≤min{α,12δ}. Khi đó kf(x”, p)− f(x0, p0)k< β, vì vậy
f(x”, p)≤f(x0, p0) +kf(x”, p)−f(x0, p0)k< φ0+β (3.19) Kết hợp (3.18) và (3.19), ta thấy tồn tại một cực tiểu của hàm f(·, p) trên tập
F(p)∩(x0+δB)( Bởi tính compact và x” ∈ F(p)∩(x0 +δB)), nhưng cực tiểu không nằm trên F(p)∩ {x| kx−x0k=δ}. Do đó mỗi cực tiểu của (3.11) là thuộc vào M. Chứng minh hoàn thành..
Nhận xét 3.8. Kết quả chính của chúng ta là tính liên tục của cực tiểu địa phương và điểm dừng được cho trong định lý tiếp theo. Với ánh xạ đa trị SP
được xác định trong Định lý 3.4 và tập M3 được định nghĩa dưới đây, SP ∩M3
Định lý 3.9. [21] Giả sử cho p = p0, cho x0 ∈ Ω và mỗi u ∈ U(x0, p0), (3.11)
thỏa điều kiện đủ cấp hai tại (x0, u),và ràng buộc tại x0 là chính quy.
Khi đó tồn tại lân cận M3 của x0 và N3 của p0 sao cho nếu ánh xạ đa trị LM:N3→M3 được định nghĩa bởi
LM(p) :={x∈M3 |xlà cực tiểu địa phương của (3.11)}, (3.20)
Khi đó SP ∩M3 liên tục tại p0 và với mỗi p∈N3 ta có ∅ 6=LM(p)⊂SP(p). Chứng minh. Đặt M2 và W lần lượt là lân cận của x0 trong Định lý 3.4 và 3.5; ta định nghĩa M3 :=M2∩W; giả sử M3 là bị chặn và đủ nhỏ, với N4 là lân cận của p0, p∈N4 và x∈M3 thỏa (3.13), thì hệ (3.13) là chính quy tại x. Gọi N2 là lân cận của p0 được cho bởi Định lý 3.4; N5 là lân cận đạt được bằng cách áp dụng Định lý 3.7 đối với (3.11) với M =M3, và định nghĩa N3 :=N2∩N4∩N5. Định nghĩa LM như trong (3.20).
Đầu tiên ta chứng minh rằng LM và SP ∩M3 là nửa liên tục dưới tại p0. Bởi Định lý 3.5,SP(p0)∩M3 ={x0}; tương tự, với bất kỳ p∈N3 nếux∈LM(p), khi đó, vì tính chính quy của (3.13) là một ràng buộc điều kiện đủ [30], ta có
x∈SP(p)∩M3 Vì thế nếu p∈ M3, thì ∅6=LM(p)⊂SP(p)∩M3. Tuy nhiên, vì
x0 ∈LM(p0) bởi Định lý 3.2, ta có LM(p0) =SP(p0)∩M3 ={x0}. Đặt S là một tập mở bất kì trong M3 với S∩LM(p0)6=∅. Khi đó rõ ràng (SP ∩M3)(p0) ⊂S. Bây giờ áp dụng Định lý 3.7 đến S chúng ta có thể tìm được một lân cận N6
của p0 sao cho N6⊂N3 và nếu p∈N6 thì LM(p)∩S 6=∅. Do đó LM là nửa liên tục dưới tại p0, nhưng vì LM ⊂SP ∩M3 và LM(p0) = (SP ∩M3)(p0), ta có thể kiểm tra được SP ∩M3 là nửa liên tục dưới tại p0. Nhưng SP là nửa liên tục trên từ N2 đến M2 , vì vậy SP ∩M3 là nửa liên tục trên từ N3 đến M3, và vì thế
SP ∩M3 là liên tục tại p0. Chứng minh hoàn thành.
Nhận xét 3.10. Định lý 3.9 cho thấy một phần của một tập điểm dừng gần x0
là liên tục tại p0, nhưng nó không thuyết phục lắm vì phụ thuộc vào p. Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ cho thấy rằng nếu các tập C và Q là đa diện, khi đó sự phụ thuộc của SP và U vào p có thể được thay thế bằng sự phụ thuộc vào các hàm trong bài toán và đạo hàm của nó lên p; đặc biệt, nếu đạo hàm
thấy rằng LM có thể không có giá trị đơn gần p0 và sự bao hàm của LM trong
P là chặt chẽ. Xét bài toán quy hoạch toàn phương min 12(x21−x22)−ηx1,
Với ràng buộc −x1+ 2x2 ≤0, −x1−2x2 ≤0,
Trong đó η là tham số. Choη = 0 bài toán này có cực tiểu duy nhất tại gốc tọa độ; với bất kì η > 0 nó có một cực tiểu địa phương tại 23η(2,±1) và một điểm yên ngựa tại (η,0).Vì thế trong trường hợp này LM là ánh xạ đa trị và là ngặt trong SP khi η >0.