3 T¼m hiºu h» thèng nhúng ùng döng h m sinh trong gi£i mët sè
3.4 Ùng döng h m sin hº ¸m trong c¡c b i to¡n tê hñp
tê hñp
3.4.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i
V½ dö 3.4.1. Cho n l sè nguy¶n d÷ìng vîi n≥3. Vîi n håc sinh câ chi·u cao kh¡c nhau. Häi câ bao nhi¶u c¡ch º n håc sinh câ thº x¸p h ng li¶n ti¸p sao cho chi·u cao cõa 3 håc sinh b§t ký (khæng nh§t thi¸t ph£i ùng c¤nh nhau), tø tr¡i sang ph£i, khæng theo thù tü l trung b¼nh, cao, th§p?
Líi gi£i. Gåi an l sè c¡ch x¸p h ng thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n v cho d¢y {an}n≥0 = (a0, a1, a2, ...), vîi a0= 1, a1= 1 v a2 = 2.
Ta chùng minh ÷ñc
an =a0an−1+a1an−2+· · ·+an−1a0.
Gåi G(x) l h m sinh cõa d¢y {an}n≥0. Chó þ r¬ng v¸ ph£i cõa çng nh§t thùc tr¶n l Pn
k=0akan−k, ngh¾a l h» sè cõa xn−1 cõa (G(x))2. Nâi c¡ch kh¡c, vîi
n≥1, h» sè cõa xn−1 cõa (G(x))2 b¬ng vîi h» sè cõa sè h¤ng xn cõa G(x). Do â, chuéi x(G(x))2 khîp vîi chuéi G(x) ngo¤i trø h¬ng sè khæng êi. Ta câ
Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n d÷îi d¤ng bªc hai theo G(x), ta ÷ñc
G(x) = 1±√1−4x
2x .
Ti¸p theo ta khai triºn √1−4x ra chuéi lôy thøa. Cho f(x) =√
1−4x. Khi â, f0(x) = −2(1−4x)−21, f00(x) = −22(1−4x)−23, f(3)(x) = −23.3(1−4x)−25, f(4)(x) = −24.3.5(1−4x)−27, · · · f(n)(x) = −2n.3.5· · ·(2n−3)(1−4x)−(2n−2 1) =−2n. (2n−2)! 2.4· · ·(2n−2).(1−4x) −(2n−1) 2 =−2(2n−2)! (n−1)! .(1−4x)−(2n−2 1),
trong â vîi n ≥ 3, f(n)(x) l ¤o h m thù n cõa f(x). Do â, chuéi Maclaurin vîi √1−4x l ∞ X n=0 fn(0) n! x n = 1− ∞ X n=1 2(2n−2)! (n−1)!.n!x n = 1− ∞ X n=1 2 nC n−1 2n−2xn. Suy ra k¸t qu£ l 1±√1−4x= 1±1∓ ∞ X n=1 2 nC n−1 2n−2xn. V¼ ai khæng ¥m n¶n G(x) = 1−√1−4x 2x = P∞ n=1 2 nC2nn−−12xn 2x = ∞ X n=1 1 nC n−1 2n−2xn−1 = ∞ X n=0 1 n+ 1C n 2nxn, Vªy an = 1 n+ 1C n 2n.
V½ dö 3.4.2. Gåi an l sè c¡ch º tr£ n USD b¬ng c¡ch sû döng hâa ìn 10
USD, hâa ìn 5 USD v hâa ìn 1 USD. T¼m h m sinh chuéi lôy thøa h¼nh thùc A(x) = Pn≥0anxn.
Líi gi£i. Gåi f(n) l sè c¡ch ch¿ tr£ n USD b¬ng hâa ìn 10 USD. Khi â,
f(n) = 1 n¸u n chia h¸t cho 10 v f(n) = 0 n¸u n khæng chia h¸t cho 10. Do â,
F(x) = X
n≥0
fnxn = 1 +x10+x20+· · ·= 1 1−x10.
T÷ìng tü, gåig(n)l sè c¡ch ch¿ tr£nUSD b¬ng hâa ìn 5USD. Khi âg(n) = 1
n¸u n chia h¸t cho 5 v g(n) = 0 n¸u n khæng chia h¸t cho 5. Do â,
G(x) = X
n≥0
gnxn = 1 +x5+x10+· · ·= 1 1−x5.
Cuèi còng, n¸u gåi h(n) l sè c¡ch ch¿ tr£ n USD b¬ng hâa ìn 1 USD, th¼ rã r ng h(n) = 1,∀n≥0. Khi â, H(x) =X n≥0 hnxn = 1 +x+x2+· · ·= 1 1−x. Do â, F(x)G(x)H(x) = 1 (1−x10)(1−x5)(1−x) = (1 +x10+x20+· · ·)(1 +x5+x10+· · ·)(1 +x+x2+· · ·).
T¼m h» sè cõa x53 ð v¸ ph£i. º câ ÷ñc mët sè h¤ng câ sè mô l 53th¼ ta chån mët sè h¤ng cõa mët trong ba têng tr¶n sao cho têng sè mô cõa chóng b¬ng 53. i·u â câ ngh¾a l , mët sè mô chia h¸t cho 10, mët sè chia cho 5v mët sè mô cuèi còng l 30 + 20 + 3. Tuy nhi¶n, i·u n y cung c§p mët c¡ch º tr£ 53 USD b¬ng c¡c hâa ìn l 3 hâa ìn 10 USD (º tr£ 30 USD), 4 hâa ìn 5 USD (º tr£ 20USD) v 3 hâa ìn1 USD (º tr£ 3USD). B¬ng c¡ch n y, ta câ thº thi¸t lªp mët y¶u c¦u rã r ng giúa c¡c c¡ch º tr£ n USD v c¡c c¡ch chån mët sè h¤ng tø mët trong ba d§u ngo°c ìn º t½ch cõa chóng l xn.
Vªy h» sè cõa xn ð v¸ ph£i (ch½nh l sè c¡ch ta câ thº chån tø ba sè h¤ng nh÷ vªy) l an. V¼ vªy, ta chùng minh ÷ñc r¬ng
A(x) = F(x)G(x)H(x) = 1
V½ dö 3.4.3. (Sè Catalan) C¥y nhà ph¥n câ gèc l mët lo¤i sì ç °c bi»t ÷ñc quan t¥m trong mët sè l¾nh vüc cõa khoa håc m¡y t½nh. Mët c¥y nhà ph¥n câ gèc ÷ñc thº hi»n trong h¼nh 3.1. Gèc l ¿nh tr¶n còng. C¡c ¿nh b¶n d÷îi mët ¿nh n¸u ÷ñc nèi vîi ¿nh â b¬ng mët c¤nh ÷ñc gåi l con cõa ¿nh â. Nâ l mët c¥y nhà ph¥n v¼ t§t c£ c¡c ¿nh ·u câ 0,1 ho°c 2 con. Häi câ bao nhi¶u c¥y nhà ph¥n câ gèc kh¡c nhau câ n ¿nh?
H¼nh 3.1: C¥y nhà ph¥n câ gèc Líi gi£i.
Kþ hi»u c¥y nhà ph¥n câ gèc câ n ¿nh kh¡c nhau b¬ngCn, nâ ÷ñc gåi l sè Catalan. º thuªn ti»n, ta quy ÷îc mët c¥y nhà ph¥n khæng câ ¿nh l C0= 1. Khi â, d¹ d ng th§y C1 = 1 v C2 = 2, v C3 = 5. Chó þ r¬ng b§t ký c¥y nhà ph¥n câ gèc n o câ ½t nh§t mët ¿nh câ thº ÷ñc nh¼n nh÷ hai c¥y nhà ph¥n (câ thº khæng câ ¿nh) nèi vîi nhau th nh mët c¥y mîi b¬ng c¡ch ÷a mët ¿nh l gèc mîi v t¤o ra con cõa gèc n y th nh hai gèc cõa hai c¥y nhà ph¥n tr÷îc; xem h¼nh 3.2. (L m cho mët c¥y khæng câ ¿nh trð th nh mët con cõa ¿nh mîi, ch¿ ìn gi£n l khæng l m g¼ c£, tùc l bä qua con t÷ìng ùng.)
Do â, º t¤o ra t§t c£ c¡c c¥y nhà ph¥n câ n ¿nh, ta bt ¦u vîi mët ¿nh gèc v sau â èi vîi hai con cõa nâ ÷a ra c¡c c¥y nhà ph¥n câ gèc ùng vîi k
v l ¿nh, vîi k+l =n−1, vîi måi c¡ch chån cõa c¡c c¥y nhä hìn. Khi â,
Cn =
n−1
X
i=0
H¼nh 3.2: C¥y mîi ÷ñc t¤o ra tø nhúng c¥y nhä hìn V½ dö nh÷ C0=C1= 1 v C2 = 2. Suy ra
C3=C0C2+C1C1+C2C0 = 1·2 + 1·1 + 2·1 = 5.
Ta bi¸t c¡c c¥y tr¶n ùng vîi 0,1 v 2 ¿nh, ta câ thº k¸t hñp chóng b¬ng måi c¡ch º t¤o ra c¡c c¥y ùng vîi 3 ¿nh, nh÷ trong h¼nh 3.3. Chó þ r¬ng hai c¥y ¦u ti¶n khæng câ con b¶n tr¡i, v¼ ch¿ câ mët c¥y 0 ¿nh l réng v t÷ìng tü hai c¥y cuèi còng khæng câ con.
H¼nh 3.3: C¥y nhà ph¥n tr¶n 3 ¿nh
p döng h m sinh º t¼m cæng thùc t÷íng minh cõa Cn. Gåi f =P∞i=0Cixi. X²t f2, h» sè cõa sè h¤ng xn trong khai triºn cõa f2 l Pn
i=0CiCn−i t÷ìng ùng vîi t§t c£ c¡c c¡ch câ thº nh¥n c¡c sè h¤ng cõa f º ÷ñc sè h¤ng xn
C0·Cnxn+C1x·Cn−1xn−1+C2x2·Cn−2xn−2+· · ·+Cnxn.C0.
Do â f2 =P∞
n=0Cn+1xn.
Suy ra xf2+ 1 =f ho°c xf2−f + 1 = 0, vîi måi x. Ta câ
f = 1±√1−4x
vîi x6= 0. Khi x ti¸n tîi 0 th¼ 1 +√ 1−4x 2x ti¸n tîi væ còng v 1−√1−4x 2x
ti¸n tîi 1. V¼ f(0) =C0= 1 n¶n ¥y l f ta c¦n t¼m. p döng ành lþ 1.2.5, ta câ √ 1−4x= (1 + (−4x))12 = ∞ X n=0 Cn1 2 (−4x)n. Khi â, 1−√1−4x 2x = ∞ X n=1 −1 2C n 1 2 (−4)nxn−1= ∞ X n=0 −1 2C n+1 1 2 (−4)n+1xn. Khai triºn h» sè nhà thùc Cn1+1 2 , ta ÷ñc Cn =−1 2C n+1 1 2 (−4)n+1= 1 n+ 1C n 2n. 3.4.2 Mët sè b i tªp tü gi£i
1. Câ bao nhi¶u c¡ch êi tí 500 ngh¼n çng th nh c¡c tí 1 ngh¼n, 2 ngh¼n, 5
ngh¼n v 10 ngh¼n?
H÷îng gi£i. B i to¡n ¢ cho quy v· ¸m sè nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh
x1+ 2x2+ 5x3+ 10x4 = 500.
Sè nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n ch½nh l h» sè cõa x500
trong khai triºn cõa h m sinh
G(x) = (1 +x+x2+· · ·)(1 +x2+x4+· · ·)(1 +x5+x10+· · ·)(1 +x10+x20+· · ·)
= 1
(1−x)(1−x2)(1−x5)(1−x10) =
1
Ph¥n t½ch G(x) = 1 (1 +x)(1 +x5)(1−x)2(1−x5)2 = A 1 +x + B 1 +x5 + C 1−x + D (1−x)2 + E 1−x5 + F (1−x5)2. çng nh§t thùc h» sè, ta c¦n t¼m ÷ñc A, B, C, D, E, F.
Vªy sè c¡ch êi tí 500 ngh¼n çng ch½nh b¬ng h» sè cõa x500 trong khai triºn G(x).
2. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra25USD tø30ng÷íi n¸u29ng÷íi ¦u, méi ng÷íi câ thº ÷a ra nhi·u nh§t 1 USD, ng÷íi thù30 câ thº ÷a ra 1 USD ho°c 5
USD ho°c khæng câ USD n o?
H÷îng gi£i. H m sinh cho sè c¡ch chån nhi·u nh§t 1 USD tø 29 ng÷íi l
A(x) = (1 +x)29.
H m sinh cho sè c¡ch chån 1 USD ho°c 5 USD ho°c khæng câ USD n o cõa ng÷íi thù 30 l B(x) = 1 +x+x5.
H m sinh cho c¡ch chån ra 25 USD l
G(x) = A(x)B(x) = (1 +x)29(1 +x+x5)
Ta ch¿ c¦n t¼m h» sè cõa x25 trong khai triºn cõa G(x) l sè c¡ch chån ra
K¸t luªn
âng gâp cõa luªn v«n
Trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ tr¼nh b y chi ti¸t mët sè nëi dung sau. 1. ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§t cì b£n, t½ch v hñp cõa h m sinh lôy thøa h¼nh
thùc.
2. ành ngh¾a, t½ch v hñp cõa h m sinh d¤ng mô.
3. ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§t cì b£n, t½ch cõa h m sinh d¤ng a thùc.
4. Ùng döng h m sinh trong t¼m cæng thùc t÷íng minh cõa mët d¢y sè truy hçi.
5. Ùng döng h m sinh trong chùng minh ¯ng thùc tê hñp. 6. Ùng döng h m sinh trong c¡c b i to¡n sè håc tê hñp. 7. Ùng döng h m sinh º ¸m trong c¡c b i to¡n tê hñp.
T i li»u tham kh£o
[1] Titu Andreescu and Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergrad- uates - Counting Strategies, Birkhauser Basel in 2004.
[2] Peter J. Cameron, Combinatorics 1 - The art of counting, University of St Adrews, 2014.
[3] Miklos Bona, A Walk Through Combinatorics, An Introduction to Enumer- ation and Graph Theory - World Scientific Publishing Company, 2006. [4] David Guichard, An Introduction to Combinatorics and Graph Theory, 2016 [5] Miklos Bona, Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics, Dis-
crete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall, CRC, 2015 [6] Ho ng Minh Qu¥n, Sû döng h m sinh gi£i b i to¡n tê hñp, Mathsope.org. [7] B i to¡n ¸m v b i to¡n tçn t¤i tê hñp, B¡o TOPICA, cû nh¥n trüc tuy¸n,