2 Phương pháp xác suất trong tổ hợp và đồ thị
2.3 Một số bài tập áp dụng
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số bài tập, lời giải hoặc hướng dẫn có thể tìm trong [1], [13],. . .
Bài toán 2.3.1. Đặt A là tập gồmn thặng dư mod n2. Chỉ ra rằng có một tập B gồm n thặng dư mod n2 sao cho ít nhất một nửa thặng dư modn2 có thể viết dưới dạng a+b với a ∈ A vàb ∈ B.
Bài toán 2.3.2. Cho L = (L1,L2,· · · ,Lk) gồm các bộ ba thứ tự Li = (ai,bi,ci)
sao cho vớiibất kì, các sốai,bi,ci là các phần tử khác nhau của [n]. Tuy nhiên, các ký hiệu đó với các chỉ sối vàjkhác nhau có thể ký hiệu cho cùng một số. Đặt p = p1p2. . .pn là một n−hoán vị. Ta nói rằng p thỏa mãn Li nếu phần tử bi ở giữa ai và ci trong p (không quan tâm đến thứ tự của 3 phần tử này trong p là aibici hay cibiai). Chứng minh rằng tồn tại một n−hoán vị p thỏa mãn ít nhất 13 của tất cả Li trong một Lcho trước.
Bài toán 2.3.3. Cho G là một đồ thị đơn. Nếu G có 2n đỉnh và e cạnh thì nó chứa một đồ thị con hai mảng với ít nhất en
2n−1 cạnh. Nếu G có2n+1 đỉnh
vàe cạnh thì nó chứa một đồ thị con hai mảng với ít nhất e(n+1)
2n+1 cạnh.
Bài toán 2.3.4 (Austrian-Polish Competition 1997-1998). Cho |X| = n. Tìm số lớn nhất các tập con khác nhau của X sao cho mỗi tập con này có 3 phần tử và không có 2 tập con nào rời nhau.
Bài toán 2.3.5. Cho G là một đồ thị có n ≥ 10 đỉnh và giả sử rằng: nếu ta thêm vào G bất kì một cạnh nào đó không nằm trongG thì số đồ thị K10 của G tăng lên. Chứng minh rằng số cạnh trong Gít nhất là 8n−36.
Bài toán 2.3.6 (IMO - 1970). Trên mặt phẳng cho 100 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các tam giác có đỉnh tại các điểm đã cho. Chứng minh rằng không quá 70 các tam giác này là tam giác nhọn.
Bài toán 2.3.7 (IMO - 1971). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, tồn tại tập hữu hạn S các điểm trên mặt phẳng với tính chất sau: Với mỗi điểm A trong S, có đúngmđiểm của Scó khoảng cách 1 đến A.
Bài toán 2.3.8. Trong một cuộc thi, có a thi sinh và b giám khảo, trong đó b ≥ 3 là một số nguyên lẻ. Một giám khảo sẽ đánh giá thí sinh "đậu" hoặc "rớt". Giả sử k là số sao cho với mỗi cặp hai giám khảo, đánh giá của họ trùng ở nhiều nhất k thí sinh. Chứng minh rằng k
a ≥
b−1
2b .
Bài toán 2.3.9(MOP 2008). Giả sử a, b, clà các số thực dương thỏa mãn
[an] + [bn] = [cn]
Luận văn "phương pháp xác suất trong tổ hợp và đồ thị" đã đạt được những kết quả sau:
1. Hệ thống lại khái niệm và các tính chất cơ bản của xác suất, đồ thị. 2. Hệ thống lại và chứng minh một số kết quả quan trọng trong lý thuyết
tổ hợp, đồ thị bằng phương pháp xác suất (Mệnh đề 2.1, Định lý 2.5, Mệnh đề 2.2, Hệ quả 2.1, Mệnh đề 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.7, Định lý 2.8).
[1] Trần Nam Dũng, Phương pháp xác suất, Thông tin toán học tập 16 số 4, 2012.
[2] Nguyễn Văn Hộ,Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2008. [3] Phan Huy Khải,Các bài toán hình học tổ hợp, NXB Giáo dục,2007.
[4] Đoàn Quỳnh, Hạ Vũ Anh, Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Vũ Đình Hòa,Tài liệu chuyên toán - Hình học 12, NXB Giáo dục, 2012.
[5] Đặng Huy Ruận,Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội, 2004.
[6] N. Alon, J. Spencer, The Probabilistic Method, A Wiley-Interscience Pub- blication. John Wiley and Sons, Inc, 2000.
[7] M. Bóna, A Walk Through Combinatorics, An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific Publishing Co. , Inc, 2002.
[8] M. Bóna, G. Tóth,A Ramsey-type problem on right - angles in space, Discrete Math (150), 1-3, 61-67,1996.
[9] M. Bóna, A Euclidean Ramsey theorem, Discrete math (122), 349- 352,1993.
[10] Péter Csikvári, Probabilistic method, Lecture Note (2018). [11] A. Engel, Problem - Solving Strategies, Springer,1998.
[12] P. Erdos, R. L. Graham, P. Montgomery, B. L. Rothschild, J. Spencer and˝
E. G. Straus, "Euclidean Ramsey theorems I", Journal of combinatorial Theory, Series A (4), 341-363, 1973.
[13] http://www.princeton.edu/∼ploh/docs/math/mop2008/prob- comb-soln.pdf, 10/12/2008.