Định nghĩa 2.2.1 (Chu trình). ChoX là một đa tạp xạ ảnh vàklà một số nguyên không âm.
(i) Một k-chu trình α trên X là một tổng hình thức hữu hạn α = P
ni[Vi], với
Vi là các đa tạp con k-chiều trong X và ni là các số nguyên. Mỗi 1-chu trình được gọi là một ước. Chu trình α =Pni[Vi] được gọi là hữu hiệu nếu tất cả
(ii) Nhóm các k−chu trình trên X, ký hiệu bởi Zk(X), là nhóm abel tự do trên các đa tạp con k-chiều của X.
(iii) Nhóm các chu trình trên X là tổng trực tiếp của các nhóm k-chu trình trên
X, ký hiệu bởi Z∗(X), tức là Z∗(X) = dimX M k=0 Zk(X).
Mỗi phần tử của nhóm Z∗(X) được gọi là một chu trình trên X.
Định nghĩa 2.2.2. Cho X là một đa tạp xạ ảnh và V ⊆ X là một đa tạp con đối chiều 1. Với mỗi f ∈ OX,V khác không, ta định nghĩa cấp của f trên V là
ordV(f) := lOX,V(OX,V/(f)). Nếu ϕ ∈ R(X) là một hàm hữu tỷ khác không thì ta viết ϕ= F
G, trong đó F, G∈ OX,V và định nghĩa
ordV(ϕ) := ordV(F)−ordV(G).
Với một đa tạp con(k+ 1)-chiềuW bất kì củaX và một hàm hữu tỷ khác không
f ∈R(W), một k-chu trình của f trên X, ký hiệu bởi [div(f)], được định nghĩa bởi
[div(f)] =XordV(f)[V]∈Zk(X),
trong đó tổng chạy qua tất cả các đa tạp con 1-chiều V của W. 2.2.2. Vành Chow của đa tạp
Định nghĩa 2.2.3 (Quan hệ tương đương hữu tỉ). (i) Một k-chu trình α được gọi là tương đương hữu tỉ với không, ký hiệu bởiα∼0, nếu α= 0 hoặc có hữu hạn các đa tạp con (k+ 1)-chiều Wi của X và các hàm fi∈R(Wi)∗ sao cho
α=X[div(fi)].
(ii) Hai k-chu trình α và β được gọi là tương đương hữu tỉ, ký hiệu bởi α ∼ β, nếu chu trình α−β tương đương hữu tỉ với 0.
Nhận xét 2.2.4. Một số định nghĩa khác của quan hệ tương đương hữu tỉ có thể được tìm thấy trong [2].
Vì[div(f−1)] = −[div(f)], nên tập tất cả cáck−chu trình sao cho mỗi k-chu trình là tương đương hữu tỉ với 0, lập thành một nhóm con của Zk(X), ta ký hiệu nhóm con này bởi Ratk(X). Khi đó với mỗi số nguyên dương k, ta có nhóm thương
Ak(X) = Zk(X)/Ratk(X).
Định nghĩa 2.2.5 (Nhóm Chow). Với các ký hiệu ở trên, nhóm
A∗(X) =
dimX M
k=0
Ak(X)
được gọi lànhóm Chow1 củaX. Mỗi phần tử của nhóm A∗(X)được gọi là một lớp chu trình trên X.
Giả sử X là một đa tạp xạ ảnh vàX1, X2, . . . , Xr là các thành phần bất khả quy củaX. Khi đó mỗi Xi là một k-chu trình, vớik nguyên dương. Định nghĩa bội hình học mi củaXi trong X là độ dài củaOX,Xi như một OX,Xi-môđun. Định nghĩachu trình cơ bản của X bởi
[X] = r X
i=1
mi[Xi].
Như vậy, chu trình cơ bản củaX cũng là một phần tử của Z∗(X) nên ta vẫn dùng ký hiệu [X]. Nếu dim(Xi) = k với mọi i= 1,2, . . . , r thì [X]∈Zk(X) =Ak(X).
Giả sử rằngdimX=n và X là bất khả quy. Vì không tồn tại đa tạp con của X
có số chiều làn+ 1 nên từ định nghĩa của Ratn(X) ta suy ra Ratn(X) = 0. Do đó
An(X)∼=Zn(X).
Mỗi đa tạp trongX mà khác X thì có số chiều bé thuan, nên tập các n-chu trình chính là Z.X. Do đó
An(X)∼= Z.
Để ý rằng nếuk > n và k < 0 thì Ak(X) = 0. Với mỗi k, ta ký hiệu lại như sau
và A∗(X) = n M k=0 Ak(X).
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ viết A(X) thay vì A∗(X) hay A∗(X) ở những nơi mà cách biểu diễn của chúng là không ảnh hưởng đến các tính toán.
Bây giờ ta sẽ xây dựng một cấu trúc vành trên A(X). Trước tiên, ta cần một số định nghĩa.
Định nghĩa 2.2.6. Cho X là một đa tạp xạ ảnh vàA, B là các đa tạp con của X. (i) Giả sử A và B bất khả quy. Khi đó A và B được gọi là hoành theo chiều nếu
với C ⊆A∩B ta có
codim(C) = codim(A) + codim(B).
(ii) Hai đa tạp con A và B được gọi là hoành tại điểmP nếu chúng trơn tại P, và không gian tiếp xúc của A và B tại điểm P sinh ra không gian tiếp xúc của
X tại điểm P.
(iii) Hai đa tạp con A và B được gọi là giao hoành nếu chúng là hoành theo chiều tại mọi điểm của A∩B.
(iv) Hai đa tạp con A và B được gọi là hoành tổng quát nếu chúng là hoành tại mọi điểm của mỗi tập con C ⊆A∩B.
Đặc biệt, hai chu trình P
miAi và P
njBj được gọi là hoành theo chiều (tương ứng, hoành tổng quát) nếu Ai và Bj là hoành theo chiều (tương ứng, hoành tổng quát) với mọii, j.
Định lý 2.2.7 ([1, Theorem-Definition 1.5]). Cho X là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó tồn tại duy nhất một phép nhân trên A(X) thỏa mãn điều kiện sau: Nếu A và B là hoành tổng quát thì
[A].[B] = [A∩B].
Phép nhân này làm cho A(X) trở thành một vành phân bậc, kết hợp và giao hoán; gọi là vành Chow của đa tạp X.
Tiếp theo ta sẽ thực hiện một số tính toán cụ thể trong không gian xạ ảnh Pn.
Ví dụ 2.2.8. Xét không gian xạ ảnh n chiều Pn. Ta có An(Pn) = Z.
(i) Ta sẽ tính nhómAn−1(Pn). Xét một đa tạp conV =V(g) đối chiều 1, vớig là một đa thức thuần nhất bậcd. Khi đó g
xd0 là một hàm hữu tỉ và div g xd0 ! = [V]−d[H0], trong đó H0 =V(x0). Ta suy ra [V]∼d[H0]. Định nghĩa một toàn cấu ϕ: Z −→ An−1(Pn) bởi m 7−→m[H0]. Nếu mH0 tương đương hữu tỉ với 0
thì tồn tại các hàm f1, f2, . . . , fr ∈R(Pn)∗ sao cho
d[H0] = r X i=1 [div(fi)] = r X i=1 di[H0].
Do đó nếu đặt f = f1f2. . . fr thì degf = 0 = d. Giả sử f = h m1 1 hm2 2 . . . hms s gp1 1 gp2 2 . . . gpt t , trong đó hi, gi không có nhân tử chung. Khi đó
[div(f)] = s X i=1 mi[V(hi)]− t X i=1 pi[V(gi)] =d[H0].
Từ đó suy ra pi = 0 với mọi i và mj = 0 với mọi j ngoại trừ m1. Hơn nữa, vì tổng các hệ số mi và pj là bằng nhau nên ta suy ra m1 = 0 và do đód[H0] = 0. Nhận xét thêm rằng ϕ là một đơn cấu. Vậy An−1(Pn) = Z, sinh bởi lớp các siêu phẳng trong Pn.
(ii) Ta sẽ tính nhóm A0(Pn). Giả sử P và Q là hai điểm phân biệt trong Pn. Gọi
L ⊆ Pn là đường thẳng đi qua P và Q và gọi ϕ là hàm hữu tỉ trên L thỏa
[div(ϕ)] = [P]−[Q]. Khi đó lớp tương đương theo quan hệ tương đương hữu tỉ của hai điểm bất kỳ trong Pn là như nhau. Do đó A0(Pn) sinh bởi lớp [P]của một điểm bất kỳ trong Pn. Mặt khác, nếu C là một đường cong bất kỳ trong
Pn và ϕlà một hàm hữu tỉ trên C thì deg(divϕ) = 0. Do đó lớp n[P]∈A0(Pn)
với n ∈ Z chỉ có thể bằng 0 khi n = 0. Vậy A0(Pn) = Z, sinh bởi lớp tương đương của một điểm bất kỳ trong Pn.
sinhi∗: Ak(Y)−→Ak(X) xác định bởi: Nếu Z là một đa tạp conk-chiều của Y thì
[Z]7−→[Z]. Giả sử U là một tập con mở của X với phép nhúng j: U ,→X. Khi đó, với mỗi số nguyên dươngk, ta có một đồng cấu cảm sinh j∗: Ak(X)−→Ak(U) xác định bởi: Nếu Z là một đa tạp con k-chiều của X thì [Z]7−→[Z∩U].
Mệnh đề 2.2.9. Giả sử X là một đa tạp xạ ảnh và Y là một đa tạp con của X. Khi đó với mỗi số nguyên k ≥0 ta có dãy khớp
Ak(Y)−i→∗ Ak(X) j
∗
−→Ak(X\Y)−→0,
trong đó i: Y ,→X và j: X\Y ,→X.
Chứng minh. Xem [3, Bổ đề 9.1.13].
Ví dụ 2.2.10 (Vành Chow của Pn). Với mọi 0≤ k ≤ n ta có Ak(Pn) = Z. Ta đã chứng minh cho các trường hợp k = 0, n−1, n trong Ví dụ 2.2.8. Cho k < n, ta sẽ chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n. Xét dãy khớp
Ak(Pn−1)−→Ak(Pn)−→Ak(Pn\Pn−1)−→0.
Chú ý rằng Ak(Cn) = 0. Do đó ta có toàn cấu Ak(Pn−1)−→ Ak(Pn). Bởi giả thiết quy nạp, Ak(Pn) sinh bởi lớp Pk. Vì đồng cấu Zk(Pn−1) −→ Zk(Pn) bảo toàn bậc nên ta chỉ cần chứng minh mỗi chu trình P
ni[Vi] tương đương với 0 trong Ak(Pn)
đều thỏa mãn P
nidegVi= 0. Điều này là hiển nhiên vìdeg(divϕ) = 0 với mọi hàm hữu tỉ ϕtrên Pn.
Xét đồng cấu vành ϕ: Z[h]−→A(Pn) xác định bởi
h7−→[Pn−1], Z3d7−→d[Pn].
Chú ý rằng, với các số nguyên không âm l, m∈Z ta có
[Pn−m∩Pn−l] = [0] nếu m+l > n [Pn−l−m] nếu m+l ≤n.
Ta có ϕ(h2) = [Pn−1].[Pn−1] = [Pn−1∩Pn−1] = [Pn−2]. Bằng quy nạp ta có ϕ(hi) = [Pn−1] với mọi i= 0,1,2, . . . . Từ chú ý trên ta suy ra ϕ(hn+1) =ϕ(hn.h) = [Pn−n].[Pn−1] = [0].
Như vậy ϕlà một toàn cấu và kerϕ=hn+1 và do đó
A(Pn) = Z[h]/(hn+1),
với h là lớp siêu phẳng trong Pn.
2.3. Các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ
Định nghĩa 2.3.1(Lớp Chern). Giả sửElà một phân thớ véctơ hạngrtrên đa tạp
X và p: P(E)−→X là phân thớ xạ ảnh liên kết. Gọi ζ ∈A1(P(E)) là lớp chu trình tương ứng với phân thớ OP(E)(1). Khi đó, thông qua đồng cấu p∗, nhóm A(P(E))
có cấu trúc một A(X)-môđun hữu hạn sinh với các phần tử sinh 1, ζ, ζ2, . . . , ζr−1. Các lớp Chern2 của E được định nghĩa bởi các quan hệ sau
c0(E) = 1,
r X
k=0
(−1)kp∗ck(E)ζr−i = 0.
Lớp Chern toàn phần của E, ký hiệu c(E), được định nghĩa bởi
c(E) = 1 +c1(E) +c2(E) +· · ·+cr(E).
Ta có thể xem các lớp Chern của E là các đa thức đối xứng cơ bản theo r biến 2Chern Shiing-Shen (1911-2004), nhà Toán học người Trung Quốc.
α1, α2, . . . , αr, mỗi αi được gọi là một nghiệm Chern của E. Cụ thể ta có c0(E) = 1, c1(E) = X 1≤i≤r αi, c2(E) = X 1≤i<j≤r αiαj, .. . cr(E) = α1α2. . . αr.
Với các ký hiệu trên, ta có thể định nghĩa đặc trưng Chern và lớp Todd3 của phân thớ véctơ E như sau:
ch(E) = r X i=1 eαi, và td(E) = r Y i=1 αi 1−e−αi.
Như vậy, từ cách khai triển các biểu thức ex và x
1−e−x ta có thể biểu diễn đặc trưng Chern và lớp Todd theo các lớp Chern như sau
ch(E) = r+c1+1 2(c 2 1−2c2) + 1 6(c 3 1−3c1c2+ 3c3) +· · · td(E) = 1 +1 2c1+ 1 12(c 2 1+c2) + 1 24c1c2− 1 720(c 4 1−4c21c2−3c22−c1c3+c4) +· · · Mệnh đề 2.3.2. Giả sử 0 −→ E0 −→ E −→ E00 −→ 0 là một dãy khớp ngắn các phân thớ véctơ trên X. Khi đó c(E) =c(E0).c(E00).
Chứng minh. Xem [3, Proposition 10.3.1].
Kết quả tiếp theo cho ta mối liên hệ giữa đặc trưng Chern và các lớp Chern của một phân thớ véctơ.
Mệnh đề 2.3.3. Mối liên hệ giữa đặc trưng Chern và các lớp Chern của một phân thớ véctơ E được cho bởi
ch(E) = X k≥0
1
k!det(Mk),
trong đó Mk = c1 1 0 . . . 0 2c2 c1 1 . . . 0 .. . ... ... · · · ... (k−1)ck−1 ck−2 ck−3 · · · 1 kck ck−1 ck−2 . . . c1
và ck =ck(E). Ta quy ước det(M0) = rankE.
Trước khi đưa ra phép chứng minh cho Mệnh đề 2.3.3, ta cần một kết quả liên quan đến các đa thức đối xứng cơ bản. Kết quả này được gọi là Công thức Newton-Girard4.
Nhắc lại rằng các đa thức đối xứng cơ bản theo các biến x1, x2, . . . , xn là các đa thức có dạng σ1 = X 1≤i≤n xi, σ2= X 1≤i<j≤n xixj, . . . , σn =x1x2. . . xn.
Mệnh đề 2.3.4 (Công thức Newton-Girard). Xét đa thức sk(x1, x2, . . . , xn) = xk1+
xk2+· · ·+xkn với k ≥0. Khi đó với 1≤k ≤n ta có
sn−sn−1σ1+· · ·+ (−1)n−1s1σn−1+ (−1)nnσn = 0.
Chứng minh. Để đơn giản, ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp ba biến. Xét đa thức
ϕ(t) = (1−x1t)(1−x2t)(1−x3t).
Khai triển đa thức ϕ(t), sau đó lấy đạo hàm ta có
ϕ0(T) = σ1+ 2σ2T −3σ3T2. (2.1) Lấy đạo hàm đa thức ϕ(t) trực tiếp ta có
ϕ0(t) = − x1 1−x1t + x2 1−x2t + x3 1−x3t ϕ(t). (2.2) 4Albert Girard (1595-1632), nhà Toán học gốc Pháp.
Chú ý rằng ta luôn có
1
1−xt = 1 +xt+x
2t2+· · · .
Do đó ta viết lại (2.2) dưới dạng
ϕ0(t) =−(x1+x12t+x31t2+· · ·)ϕ(t)−(x2+x22t+x32t2+· · ·)ϕ(t)
−(x3+x23t+x33t2+· · ·)ϕ(t).
Nhân hai vế đẳng thức trên cho t ta có
tϕ0(t) + (s1t+s2t+· · ·)ϕ(t) = 0.
Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra
−σ1t+ 2σ2t2−3σ3t3+ (s1t+s2t+· · ·)(1−σ1t+σ2t2−σ3t3) = 0.
Với chú ý rằng các hệ số của tk đều bằng 0 ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh Mệnh đề 2.3.3. Theo định nghĩa của đặc trưng Chern ta có
ch(E) = r X i=1 eαi = r X i=1 ∞ X k=0 αki k! = ∞ X k=0 1 k! r X i=1 αki = ∞ X k=0 sk k!, trong đó sk = r X i=1
αki với k = 1,2, . . .. Do đó ta chỉ cần chứng minh sk = det(Mk). Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp theo k.
Trường hợp k = 1 là tầm thường. Giả sử k ≥ 2 và kết quả đúng tới k−1. Khi đó, theo Công thức Newton-Girard ta có
sk−sk−1c1+sk−2c2+· · ·+ (−1)k−1s1ck−1+ (−1)kkck = 0.
Từ đó suy ra
sk =c1sk−1−c2sk−2+· · ·+ (−1)k−2ck−1s1+ (−1)k−1kck.
Theo giả thiết quy nạp ta có
sk = k−1
X i=1
(−1)k−1cidet(Mk−i) + (−1)k−1kck.
Chú ý rằng đây chính là công thức khai triển định thức của ma trận Mk theo cột thứk. Do đó sk = det(Mk). Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.3.5. Trong không gian xạ ảnh Pn, xét các phân thớ OPn(d) với d là một số nguyên, ta có
c1(OPn(1)) =h ∈A1(Pn), c1(OPn(d)) = d.h∈A1(Pn),
trong đó h là lớp các siêu phẳng, tương ứng với phân thớ OPn(1). 2.4. Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch
Giả sử E là một phân thớ véctơ hạng r trên đa tạp trơn X. Nhắc lại rằng, đặc trưng Euler của E, ký hiệu χ(X, E), được định nghĩa bởi tổng hình thức
χ(X, E) =X k
(−1)khk(X, E),
trong đó hk(X, E) là số chiều của nhóm đối đồng điều thứ k của E trên X.
Định lý 2.4.1(Hirzebruch-Riemann-Roch). 5 Đặc trưng Euler của phân thớ véctơ
E trên đa tạp trơn X được tính bởi công thức
χ(X, E) = Z
X
ch(E).td(TX),
trong đó RXα là bậc của chu trình α trong vành Chow A(X). Chứng minh. Xem [2, Hệ quả 15.2.1].
Nhận xét rằng, vế trái của công thức trong Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch liên quan đến số chiều của các nhóm đối đồng điều. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, việc nghiên cứu các nhóm đối đồng điều là rất khó khăn. Trong khi đó, vế phải của công thức chỉ đề cập đến đặc trưng Chern và lớp Todd. Do đó, Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch giúp ta giảm bớt khó khăn trong việc xác định các nhóm đối đồng điều.
Hơn nữa, khi làm việc trên không gian xạ ảnh, các lớp Chern và lớp Todd có cấu trúc rất đơn giản. Như ta sẽ thấy ở phần sau, các lớp đặc trưng này đều có thể biểu diễn dưới dạng các đa thức theo biến là lớp siêu phẳng h ⊆ Pn. Do đó Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch là một công cụ thực sự mạnh để thực hiện các tính toán trên không gian xạ ảnh.
Chương 3
Phân thớ Tango
Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết cách xây dựng phân thớ Tango trên không gian xạ ảnh Pn theo các tài liệu [8] và [10]. Đồng thời, các kết quả về các lớp đặc trưng của một phân thớ véctơ trên đa tạp xạ ảnh ở Chương 2 được cụ thể hóa cho phân thớ Tango. Từ đó, bằng cách áp dụng định lý Hirzebruch- Riemann-Roch 2.4.1, chúng tôi đưa ra công thức tính đặc trưng Euler của một phân thớ véctơ trên không gian xạ ảnh và áp dụng vào trường hợp cụ thể cho phân thớ Tango.
3.1. Xây dựng phân thớ Tango
Bổ đề 3.1.1 ([8, Lemma 4.3.1]). Giả sử E là một phân thớ toàn cục với hạng
r > n. Khi đó tồn tại một dãy khớp các phân thớ véctơ
0−→ Or−n
Pn −→E −→F −→0,
trong đó F là một phân thớ véctơ hạng n.
Chứng minh. VìE là một phân thớ toàn cục nên đồng cấu định giá evlà toàn cấu.